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Continuité d'une fonction sur un intervalle

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Notion de continuité sur un intervalle

Définition : notion de continuité

Si ff est une fonction définie sur un intervalle II et si aa est un nombre réel de II. ff est continue en aa si, et seulement si, ff a une limite en aa égale à f(a)f(a), ainsi :

limxaf(x)=f(a)\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)

ff est continue sur II si, et seulement si, ff est continue en tout nombre réel de II.

Propriétés :

  • Les fonctions dérivables sur un intervalle II sont continues sur cet intervalle.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II, alors u+vu+v et u×vu \times v sont continues sur II.
  • Si uu et vv sont deux fonctions continues sur II et non nulles sur II, alors 1u\dfrac{1}{u} et u×vu \times v sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

Propriétés sur la continuité des fonctions usuelles

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de dérivabilité.

Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie et continue sur un intervalle [a;b][a;b] alors, pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), il existe au moins un réel cc compris entre aa et bb tel que f(c)=kf(c)=k.

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction ff est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b][a;b], alors pour tout réel kk compris entre f(a)f(a) et f(b)f(b), l’équation f(x)=kf(x)=k a une unique solution dans l’intervalle [a;b][a;b].

continuité de fonctions mathématiques terminale ES L

Méthode d’encadrement d’une solution :

On cherche à approcher (à 10210^{-2} près) l’unique solution f(x)=0f(x)=0 dans l’équation f(x)=2x33x21f(x)=2x^3-3x^2-1.

On rentre la fonction et on observe le tableau de valeur correspondant. Il faut ensuite régler un pas de 0,010,01 puis chercher les deux valeurs de xx entre lesquelles yy change de signe.