Continuité

Notion de continuité sur un intervalle

Définition : notion de continuité

Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et si $a$ est un nombre réel de $I$. $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, $f$ a une limite en $a$ égale à $f(a)$, ainsi :

$\lim\limits_{x \to a}f(x)= f(a)$

$f$ est continue sur $I$ si, et seulement si, $f$ est continue en tout nombre réel de $I$.

Propriétés :

• Les fonctions dérivables sur un intervalle $I$ sont continues sur cet intervalle.
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$, alors $u+v$ et $u \times v$ sont continues sur $I$.
• Si $u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur $I$ et non nulles sur $I$, alors $\dfrac{1}{u}$ et $u \times v$ sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

Propriétés sur la continuité des fonctions usuelles

Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de dérivabilité.

• Les fonctions affines sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
• Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$ ;
• La fonction inverse est continue sur $]-\infty ;0[∪]0 ; +\infty[$ ;
• La fonction racine carrée est continue sur $[0 ; +\infty[$ ;
• La fonction valeur absolue est continue sur $\mathbb{R}$ ;
• La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$.

Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire

Théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction $f$ est définie et continue sur un intervalle $[a;b]$ alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c)=k$.

Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :

Si une fonction $f$ est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle $[a;b]$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a une unique solution dans l’intervalle $[a;b]$.

Méthode d’encadrement d’une solution :

On cherche à approcher (à $10^{-2}$ près) l’unique solution $f(x)=0$ dans l’équation $f(x)=2x^3-3x^2-1$.

On rentre la fonction et on observe le tableau de valeur correspondant. Il faut ensuite régler un pas de $0,01$ puis chercher les deux valeurs de $x$ entre lesquelles $y$ change de signe.