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Continuité d'une fonction sur un intervalle
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Notion de continuité sur un intervalle
Définition : notion de continuité
Si est une fonction définie sur un intervalle et si est un nombre réel de . est continue en si, et seulement si, a une limite en égale à , ainsi :
est continue sur si, et seulement si, est continue en tout nombre réel de .
Propriétés :
Propriétés sur la continuité des fonctions usuelles
Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue, exponentielle, sont continues sur tout intervalle de leur ensemble de dérivabilité.
Théorème des valeurs intermédiaires et corollaire
Théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction est définie et continue sur un intervalle alors, pour tout réel compris entre et , il existe au moins un réel compris entre et tel que .
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :
Si une fonction est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel compris entre et , l’équation a une unique solution dans l’intervalle .
Méthode d’encadrement d’une solution :
On cherche à approcher (à près) l’unique solution dans l’équation .
On rentre la fonction et on observe le tableau de valeur correspondant. Il faut ensuite régler un pas de puis chercher les deux valeurs de entre lesquelles change de signe.