Fiche de révision Semaine 4 - Croissance exponentielle

Ce planning de révision concerne les élèves de Première suivant la spécialité mathématiques. Il regroupe les notions, QCM et exercices correspondant au programme spécifique de cet enseignement.

👉 Les élèves suivant l’enseignement spécifique doivent utiliser le planning dédié à la spécialité, disponible ici :

→ Planning Maths - Spé Maths

Suites géométriques

Définition

Une suite $(u(n))$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ : $$u(n+1) = q \times u(n)$$

$q$ est appelé la raison.

Formule explicite

Propriété

Pour tout entier naturel $n$ : $$u(n) = u(0) \times q^n$$ Si la suite commence à $u(1)$ : $$u(n) = u(1) \times q^{n-1}$$

À retenir

On multiplie toujours par $q$.
$q$ est le coefficient multiplicateur.
Permet de calculer directement n’importe quel terme.

Sens de variation

Propriété

Si $q > 1$ → la suite est strictement croissante.
Si $0 < q < 1$ → la suite est strictement décroissante.
Si $q = 1$ → la suite est constante.

À retenir

Contrairement aux suites arithmétiques, les points $(n ; u(n))$ ne sont pas alignés.

Taux d’évolution

À retenir

Si un phénomène augmente de $t %$ par période : $$q = 1 + \dfrac{t}{100}$$ Si un phénomène diminue de $t %$ : $$q = 1 - \dfrac{t}{100}$$

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

Croissance exponentielle et suites géométriques

Fonctions exponentielles

Définition

Soit $a > 0$. La fonction exponentielle de base $a$ est définie sur $[0 ; +\infty[$ par : $f(x) = a^x$

Elle prolonge la suite géométrique de premier terme 1 et de raison $a$.

Propriétés algébriques

Propriété

Pour tous réels $x$ et $y$ :

$a^x \times a^y = a^{x+y}$
$(a^x)^y = a^{xy}$
$\dfrac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$

Sens de variation

Propriété

Si $a > 1$ → la fonction est strictement croissante.
Si $0 < a < 1$ → la fonction est strictement décroissante.
Si $a = 1$ → la fonction est constante.

À retenir

La fonction exponentielle et la suite géométrique de même raison ont le même sens de variation.

Modélisation d’un phénomène exponentiel

À retenir

Une suite géométrique modélise un phénomène discret à croissance exponentielle.
Une fonction exponentielle modélise un phénomène continu à croissance exponentielle.

Exemple

Population augmentant de $0,3 %$ par an : $$u(n) = u(0) \times 1,003^n$$
Forêt perdant $4,5 %$ par an : $$v(n) = v(0) \times 0,955^n$$
Modèle continu : $$f(t) = v(0) \times 0,955^t$$

Astuce

Besoin de plus de détails ?
Consulte le cours :

Croissance et fonctions exponentielles

🎯 À maîtriser pour le bac

Reconnaître une suite géométrique.
Déterminer la raison $q$.
Utiliser $u(n) = u(0) \times q^n$.
Calculer un coefficient multiplicateur à partir d’un pourcentage.
Étudier le sens de variation selon $q$.
Utiliser les propriétés des puissances.
Modéliser un phénomène discret avec une suite géométrique.
Modéliser un phénomène continu avec $f(x) = a^x$.
Passer d’un modèle discret à un modèle continu.