Exercices Semaine 1 - Dénombrement et probabilités

Dans un jeu, le personnage se déplace dans un labyrinthe modélisé par la grille ci-dessous.

Il suit les lignes avec les règles suivantes :

• il part du point $E$, de coordonnées $(0\ ;\, 0)$, et se déplace sur les lignes et sur les points de coordonnées entières, par sauts de $1$ unité ;
• sur une ligne horizontale, il se déplace uniquement vers la droite,
• ce déplacement est noté $\text{D}$ ;
• sur une ligne verticale, il se déplace uniquement vers le haut,
• ce déplacement est noté $\text{H}$.

Le chemin est codé par un mot constitué d'une succession de lettres $\text{D}$ et $\text{H}$ correspondant à chaque saut effectué.

• La longueur de ce mot est appelée longueur du chemin et notée $n$, avec $n$ compris entre $0$ et $15$.

Par exemple, pour se rendre au point $A\,(\purple 2\ ;\, \blue 1)$, le personnage doit effectuer $\purple 2$ sauts vers la droite et $\blue 1$ saut vers le haut, dans n’importe quel ordre, soit $\purple 2+\blue 1=\green 3$ sauts au total.

• La longueur du chemin est toujours $\green 3$ dans ce cas.
• Un des chemins possibles est le chemin $\text{DHD}$.

Question 1

Justifier que, pour se rendre au point $A$ en partant de $E$, le personnage a $\binom 31$ choix possibles.
Donner la valeur de $\binom 31$.

Question 2

Le personnage doit aller chercher $3$ clés dans le labyrinthe. L’une d’entre elles est positionnée en $T\,(5\ ;\, 4)$.

• Quelle est la longueur des chemins entre $E$ et $T$ ?
• Dénombrer les chemins différents entre le point $E$ et le point $T$ : montrer qu’il y en a $126$.
• En $P\,(4\ ;\, 2)$ se trouve un piège que le personnage doit éviter.
  Combien de chemins y a-t-il qui permettent de passer de $E$ à $T$ sans passer par le point $P$ ?

Question 3

Dans le jeu, on peut programmer pour le personnage une marche aléatoire de longueur $n$, où $1\leq n\leq 15$ : l’ordinateur affecte un pas vers la droite ou vers le haut de manière aléatoire, $n$ fois consécutivement.

• Cette marche est codée par un mot de longueur $n$, où les lettres sont toujours $\text{H}$ ou $\text{D}$.
• Combien de chemins différents de longueur $n$ existe-t-il ?
• Quelle est la probabilité que, sur un chemin aléatoire de longueur $9$, le personnage effectue le chemin de $E$ à $T$ sans passer par $P$ ?

Question 4

Le personnage a récupéré ses $3$ clés, qui sont $3$ chiffres distincts entre $1$ et $7$.
Combien de codes différents peut-on écrire avec ces $3$ chiffres ?

Dans les réponses aux questions 1 à 4, les probabilités seront écrites sous forme de fraction irréductible.

Pour se faire connaître, une entreprise crée un jeu sous la forme d’un ticket de $16$ cases à gratter. Parmi les $16$ cases, sont cachées exactement $3$ cases représentant des trèfles.
Un joueur achète un ticket pour $3$ euros.
Les règles sont les suivantes : il gratte au hasard $2$ et seulement $2$ cases. S’il trouve $2$ trèfles, il gagne $15$ euros ; s’il trouve $1$ seul trèfle, il gagne $3$ euros ; enfin, s’il ne découvre aucun trèfle, il ne gagne rien.

On note $L_1$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la première case grattée », et $L_2$ l’événement : « Le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case grattée ».

Question 1

Quelle est la probabilité $P(L_1)$ que le joueur trouve un trèfle sous la première case choisie ?
Quelle est la probabilité $P_{L_1}(L_2)$ que le joueur trouve un trèfle sous la deuxième case sachant qu’il a déjà trouvé un trèfle sous la première ?

Question 2

Modéliser la situation par un arbre pondéré.

Question 3

Calculer la probabilité de l’événement $U$ : « Le joueur trouve un seul trèfle sur les deux cases choisies ».

Question 4

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui donne, en euro, le gain algébrique du joueur, c’est-à-dire la différence entre ce qu’il a gagné et les $3$ euros que coûte un ticket.

• Quels sont les valeurs possibles pour $Y$ ?
• Calculer $E(Y)$, l’espérance de la variable aléatoire $Y$.
  Ce jeu est-il équitable ?
• Le joueur se considère « gagnant » et le ticket est dit « gagnant » si le gain algébrique est supérieur ou égal à $0$.
  Montrer que $P(Y\geq 0)=\dfrac 7{20}$.

Dans la suite de l’exercice, on notera $p$ cette probabilité et on utilisera $p=0,35$.
Les probabilités seront données sous forme décimale arrondie au millième.

Question 5

Antoine a acheté un ticket et n’a pas trouvé de trèfle : il a perdu. Mécontent, il décide d’acheter $10$ autres tickets et de jouer en grattant $2$ cases au hasard sur chacun d’entre eux.
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de tickets gagnants.

• Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ?
• Calculer la probabilité que, sur ces $10$ tickets, $2$ soient des tickets gagnants.
• Calculer la probabilité qu’il y ait au moins $1$ ticket gagnant sur les $10$.

Question 6

Dans cette question, Antoine achète $n$ tickets ($n\geq 1$) et joue.
Quelle doit être la valeur minimale de $n$ pour que la probabilité qu’Antoine gagne au moins une fois soit supérieure à $99\,\%$ ?

Une région possède des terrains sportifs qu’elle loue tous les jours de la semaine.
La location d’un terrain dure une heure. Les créneaux horaires de réservation sont classés suivant la demande, « rouges » s’ils sont très demandés, et « verts » le reste du temps.
$75\,\%$ des créneaux horaires de réservation sont classés verts.

Une étude statistique sur plusieurs semaines montre qu’en horaire vert $20\,\%$ des terrains sont occupés. En horaire rouge, ils sont $80\,\%$.

Question 1

On choisit un terrain au hasard sur le planning hebdomadaire des réservations.
On note $O$ l’événement : « Le terrain est occupé », et $V$ : « L’horaire est vert ».

• Modéliser la situation par un arbre de probabilité pondéré.
• Calculer la probabilité $P(O\cap V)$.
• Montrer que $P(O)$, la probabilité que le terrain soit occupé, est égale à $0,35$.

Question 2

À l’hôtel de région, Olympe gère la location de ces terrains. Elle s’intéresse à leur occupation et au bénéfice généré.

La première semaine, pour mener son enquête, elle étudie l’occupation de $10$ terrains sélectionnés au hasard. Les terrains de la région sont assez nombreux pour considérer ce choix comme un tirage avec remise.

• On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de terrains occupés.
  Quelle est la loi de probabilité de $X$ ?
• Calculer l’espérance et l’écart-type de $X$.
  Quelle interprétation donner à ces deux valeurs ?

Question 3

Olympe poursuit son enquête de la même manière pendant $k$ semaines.
Elle obtient donc un échantillon de $k$ variables aléatoires $X_i$ indépendantes et suivant la même loi de probabilité que $X$.

• Déterminer l’espérance de :

$$\dfrac{X_1+X_2+…+X_{k-1}+X_k}k$$

• On rappelle que l’écart-type de la moyenne d’un échantillon de $k$ variables aléatoires indépendantes suivant la même loi que $X$ est :

$$\dfrac{\sigma(X)}{\sqrt k}$$

Pendant combien de semaines Olympe devra-t-elle mener son étude pour que cet écart-type soit inférieur ou égal à $0,5$ ?

Question 4

La location horaire d’un terrain en horaire rouge est de $15$ €.
Dans le but d’inciter les associations à louer les terrains sur les horaires verts, Olympe en propose un tarif réduit de $x$ €, avec $x\in\ ]0\ ;\, 15[$.

On note $Y$ la variable aléatoire qui donne la recette horaire, en euros, générée par un terrain choisi au hasard.

• Quelles sont les valeurs prises par la variable $Y$ ?
  Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant la loi de probabilité de $Y$ :

• Prouver que $E(Y)=0,15x+3$.

On admet pour la suite de l’exercice que :

$$V(Y)=0,1275x^2-0,9x+36$$

• Estimer la valeur $x_{\text{min}}$ de $x$ pour laquelle cette variance est minimale.
  On pourra s’aider de la calculatrice et de la représentation graphique, et on donnera une valeur approchée à $0,1$ près.

Question 5

$100$ terrains sportifs, mis en location $40$ heures par semaine, engendrent des coûts fixes de l’ordre de $2\,500$ €.

• On note $Z$ la variable aléatoire qui donne le bénéfice hebdomadaire généré par $100$ terrains en location.
  Justifier que $Z=4\,000 Y-2\,500$.
• Exprimer $E(Z)$ en fonction de $x$.
  Déterminer le bénéfice moyen hebdomadaire généré par la location de $100$ terrains lorsque $x=x_\text{min}$.

Dans une cité scolaire constituée de $3\,000$ élèves, professeurs et personnels, la direction veut connaître rapidement la proportion $p$ de personnes favorables à l’organisation d’un bal de fin d’année. Elle interroge donc $N$ personnes choisies au hasard en leur demandant si elles y sont favorables ou non.

Pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $N$, on note $X_k$ la variable aléatoire qui prend la valeur $1$ si la $k\text{-ième}$ personne interrogée a répondu « favorable », et $0$ sinon.
On admet que les variables $X_k$ sont indépendantes.

Question 1

Soit un entier $k$ compris entre $1$ et $N$.

• Quelle est la loi de probabilité de $X_k$ ?
• Déterminer l’espérance de $X_k$.
  Puis prouver que la variance de $X_k$ peut s’écrire $V(p)=p-p^2$.

Question 2

On note $M_N$ la variable aléatoire :

$$\dfrac{X_1+X_2+…+X_{N-1}+X_N}N$$

$M_N$ est la moyenne des variables $X_k$, donc représente la proportion de personnes ayant répondu favorablement à l’organisation du bal.

• Donner sans justification l’espérance de $M_N$.
• En utilisant la loi de concentration, justifier que, pour tout réel $\alpha > 0$ :

$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha) \leq \dfrac {p-p^2}{N\alpha^2}\qquad \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(1)}}}$$

• Étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto x-x^2$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 1]$ et calculer sa valeur maximale.
  En déduire que, pour tout réel $\alpha > 0$ :

$$P(\vert M_N-p\vert \geq \alpha)\leq \dfrac 1{4N\alpha^2}\qquad\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}$$

• Trouver alors une condition sur la taille $N$ de l’échantillon afin que $P(\vert M_N-p\vert <0,1)$ soit supérieure à $95\,\%$.
  Comment interpréter ce résultat ?

Après le sondage, la direction de la cité scolaire estime que $80\,\%$ de la population sera présente, soit $2\,400$ personnes. Elle décide d’organiser cette fête. Elle met en place une billetterie en ligne pour financer cette organisation.
Lorsqu’ils sont édités, les $2\,400$ billets sont affectés d’un numéro aléatoire composé de $7$ chiffres. L’obtention de ce numéro est semblable à $7$ répétitions indépendantes du tirage aléatoire d’un chiffre entre $0$ et $9$.
La direction décide que les billets où le chiffre $1$ apparaît $3$ fois ou plus donneront une entrée gratuite.

Question 3

Pour un ticket donné, on note $Y$ le nombre de chiffres $1$ qui apparaissent sur son numéro.

• Donner la loi de probabilité de $Y$.
• Prouver que l’espérance de $Y$ est $E(Y)=0,7$ et que sa variance est $V(Y)=0,63$.

Question 4

• Écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable $Y$.
• Démontrer que :

$$P(\vert Y-0,7\vert\geq 2,3)\leq 0,12$$

Que peut-on en déduire sur la probabilité que le nombre de $1$ soit supérieur ou égal à $3$ sur ce billet ?

• Dans le programme en Python ci-dessous, la fonction $\purple{\text{Y()}}$ simule la variable aléatoire $Y$.

Quel est le rôle de la fonction $\purple{\text{Echantillon(n)}}$?

On écrit plusieurs fois sur la console Python la commande $\purple{\text{Echantillon(1000)}}$, et on obtient le résultat suivant :

Comparer ce résultat avec la réponse à la question b.