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Droites, plans et vecteurs de l'espace

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Introduction :

En géométrie plane, nous avons utilisé les vecteurs dès la seconde. Ils permettent de modéliser les translations, d’étudier les figures et différentes configurations du plan : déterminer si deux droites sont parallèles, perpendiculaires, si un point appartient à une droite à l’aide des vecteurs directeurs sont quelques exemples.
Dans ce cours, la notion de vecteur va être prolongée dans l’espace à 33 dimensions ; ce sont des outils efficaces, notamment en sciences physiques ou en sciences de l’ingénieur, pour décrire des forces, la position, ou la vitesse de certains objets dans leurs déplacements dans l’espace.

Dans une première partie, nous définirons le vecteur dans l’espace et étudierons ses propriétés, similaires aux propriétés dans le plan. Les vecteurs vont permettre de définir l’appartenance à une droite ou à un plan.
Le lien entre droite, plan et vecteurs sera détaillé en deuxième partie.
Enfin, nous verrons, dans la troisième partie, comment on peut repérer un point en utilisant un système de coordonnées dans l’espace.

Dans tout le chapitre, nous nous placerons dans une configuration spatiale à 33 dimensions, qui est notre espace naturel.

  • Nous le notons E\mathcal E.

Vecteurs de l’espace

La plupart des notions vues en seconde se généralisent dans E\mathcal E.

Vecteurs et translations

Considérons le pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH :

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Observons la translation qui amène AA vers BB ; c’est un déplacement qui :

  • a pour direction la droite (AB)(AB) ;
  • sur cette direction, va dans le sens de AA vers BB ;
  • se fait sur la longueur ABAB.
  • On définit avec ces trois caractéristiques le vecteur AB \overrightarrow{AB\ }.

Ce même déplacement transforme EE en FF et HH en GG.
On dit que les vecteurs EF \overrightarrow{EF\ } et HG \overrightarrow{HG\ } sont égaux à AB\overrightarrow{AB\,}.

  • Ils représentent le même vecteur et la même translation.
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Définition

Vecteur :

À tout couple de points (A,B)(A,\,B) de E\mathcal E, on peut associer un unique vecteur AB\overrightarrow{AB\,} à la translation qui transforme AA en BB.
Ce vecteur AB\overrightarrow{AB\,} a trois caractéristiques :

  • sa direction : la droite (AB)(AB) ;
  • son sens : de AA vers BB ;
  • et sa norme : AB =AB\Vert\overrightarrow{AB\ }\Vert = AB.

Tout vecteur qui vérifie ces trois caractéristiques est égal à AB \overrightarrow{AB\ }.

  • C’est un représentant du même vecteur, qu’on peut noter u\vec u.

Nous avons les cas particuliers suivants.

  • Si BB et AA sont confondus, alors le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } est égal au vecteur nul : AB =0\overrightarrow{AB\ }=\vec 0.
  • BA \overrightarrow{BA\ } est le vecteur de direction (AB)(AB), de sens de BB vers AA et de norme ABAB.
  • On l’appelle vecteur opposé à AB \overrightarrow{AB\ } :

BA =AB \overrightarrow{BA\ }=-\overrightarrow{AB\ }

Comme dans le plan, nous pouvons définir la somme de vecteurs et le produit de vecteurs par des réels, puis les combinaisons linéaires de vecteurs.

Combinaisons linéaires de vecteurs

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Définition

Somme de deux vecteurs :

u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs non nuls de E\mathcal E.
Si AB\overrightarrow{AB\,} représente u\vec u et AC \overrightarrow{AC\ } représente v\vec v, alors la somme u+v\vec u + \vec v est représentée par le vecteur AD\overrightarrow{AD\,} tel que ABDCABDC est un parallélogramme.

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Propriété

Relation de Chasles :

AA, BB et CC sont trois points de E\mathcal E. On a alors :

AB+BC =AC \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{AC\ }

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Définition

Produit d’un vecteur par un nombre réel :

Soit λ\lambda un nombre réel et un vecteur u\vec u.
Le produit de u\vec u par λ\lambda est un vecteur noté λu\lambda\cdot \vec u, et si λR\lambda \in \mathbb R^* et u0\vec u \neq 0, alors λu\lambda \cdot \vec u est un vecteur qui a :

  • la direction de u\vec u ;
  • pour norme λu=λ×u\Vert \lambda \cdot \vec u \Vert=\vert \lambda \vert \times \Vert \vec u \Vert ;
  • le sens de u\vec u si λ>0\lambda >0, et le sens contraire si λ<0\lambda < 0.

Nous avons, par convention :

  • 0u=00\cdot \vec u=\vec 0 ;
  • pour tout nombre réel λ\lambda : λ0=0\lambda\cdot \vec 0 = \vec 0.
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À retenir

Pour tout λR\lambda \in \mathbb R, les vecteurs λu\lambda\cdot \vec u et u\vec u sont dits colinéaires.

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Définition

Vecteurs colinéaires :

Deux vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ\lambda tel que v=λu\vec v=\lambda \cdot \vec u.

  • En particulier, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.

Comme dans le plan, nous avons les propriétés de calcul suivantes.

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Propriété

On considère u\vec u et v\vec v, deux vecteurs de E\mathcal E, et λ\lambda et μ\mu, deux nombres réels.

  • λu=0\lambda \cdot \vec u=\vec 0 si et seulement si u=0\vec u=\vec 0 ou λ=0\lambda = 0 ;
  • λ(u+v)=λu+λv\lambda \cdot (\vec u + \vec v)=\lambda \cdot \vec u+\lambda \cdot \vec v ;
  • (λ+μ)u=λu+μu(\lambda +\mu)\cdot \vec u=\lambda\cdot \vec u + \mu \cdot \vec u ;
  • λ(μu)=λμu\lambda (\mu\cdot \vec u)=\lambda\cdot \mu\cdot \vec u.

Nous pouvons maintenant définir une nouvelle notion, à partir des propriétés que nous venons de voir.

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Définition

Combinaison linéaire :

u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs de E\mathcal E, et λ\lambda et μ\mu deux nombres réels.
On appelle λu+μv\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v une combinaison linéaire des vecteurs u\vec u et v\vec v.

Remarquons que l’on peut définir une combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs.

Nous allons voir avec un exemple comment utiliser les combinaisons linéaires de vecteurs pour placer ou situer un point dans l’espace.

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Exemple

Considérons le pavé droit ABCDHEFGABCDHEFG, où OO est le centre du rectangle ABCDABCD.

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  • Exprimons le vecteur BG \overrightarrow{BG\ } comme combinaison linéaire des vecteurs AB \overrightarrow{AB\ }, AH \overrightarrow{AH\ } et AD \overrightarrow{AD\ }.

Pour cela, utilisons les propriétés du pavé droit et la décomposition avec la relation de Chasles :

BG =BC +CD +DG =AD =BC AB =DC +AH =DG \begin{aligned} \overrightarrow{BG\ }&=\overrightarrow{BC\ }+\overrightarrow{CD\ }+\overrightarrow{DG\ } \ &=\underbrace{\overrightarrow{AD\ }}{\textcolor{#A9A9A9}{=\overrightarrow{BC\ }}}-\underbrace{\overrightarrow{AB\ }}{\textcolor{#A9A9A9}{=\overrightarrow{DC\ }}}+\underbrace{\overrightarrow{AH\ }}_{\textcolor{#A9A9A9}{=\overrightarrow{DG\ }}} \end{aligned}

  • Représentons ensuite le point JJ tel que :

AJ =12HF +BE \overrightarrow{AJ\ }=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{HF\ }+\overrightarrow{BE\ }

  • AJ \overrightarrow{AJ\ } est une combinaison linéaire des vecteurs HF \overrightarrow{HF\ } et BE \overrightarrow{BE\ }.

Pour trouver le point JJ, commençons par chercher le représentant de HF \overrightarrow{HF\ } d’origine AA.

  • C’est AC \overrightarrow{AC\ }.

Puisque OO est le milieu de [AC][AC], on a ainsi :

12AC =12HF =AO \begin{aligned} \dfrac 12\cdot \overrightarrow{AC\ }&=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{HF\ } \ &=\overrightarrow{AO\ } \end{aligned}

Nous avons donc :

AJ =AO +BE \overrightarrow{AJ\ }=\overrightarrow{AO\ }+\overrightarrow{BE\ }

  • Le point JJ est le translaté de AA par la translation de vecteur AO \overrightarrow{AO\ } suivie de la translation de vecteur BE \overrightarrow{BE\ }.

OO étant le centre du rectangle ABCDABCD, l’image de OO par BE \overrightarrow{BE\ } est le centre du rectangle EFGHEFGH.

  • Nous pouvons donc placer le point JJ :

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L’écriture sous forme de combinaisons linéaires d’autres vecteurs sera utile quand nous voudrons repérer un point de l’espace.

Commençons d’abord par étudier le lien entre les vecteurs et les droites et plans de l’espace.

Droites et plans de l’espace

Droites de l’espace

Comme en géométrie plane, une droite de l’espace est déterminée par deux points distincts.

  • Nous pouvons donc, comme dans le plan, définir une droite avec un vecteur.
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Définition

Vecteur directeur d’une droite :

On considère u\vec u un vecteur non nul, et (d)(d) une droite de E\mathcal E.
On dit que u\vec u est un vecteur directeur de la droite (d)(d) lorsqu’il existe deux points distincts AA et BB appartenant à (d)(d) tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ }.

Prenons l’exemple simple d’un tétraèdre.

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Exemple

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Ici, AE \overrightarrow{AE\ } et EC \overrightarrow{EC\ } sont deux vecteurs directeurs de la droite (AC)(AC).
Et CF \overrightarrow{CF\ } et DC \overrightarrow{DC\ } sont deux vecteurs directeurs de (CD)(CD).

Nous pouvons en tirer quelques conclusions.

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À retenir

  • Si u\vec u est un vecteur directeur de (d)(d), il indique la direction de (d)(d).
  • Tout vecteur non nul colinéaire à u\vec u est aussi un vecteur directeur de (d)(d).
  • (d)(d) admet donc une infinité de vecteurs directeurs : tous les vecteurs non nuls et colinéaires à u\vec u.

Nous allons maintenant nous servir des vecteurs pour caractériser l’alignement de points.

On considère deux points distincts AA et BB de E\mathcal E.
Soit MM un point de E\mathcal E.

M(AB){M est confondu avec AouMA, et (AM) et (AB) ont la meˆme directionM\in (AB)\Leftrightarrow \begin{cases} M \text{ est confondu avec } A \ \text{ou} \ M\neq A, \text{ et } (AM) \text{ et } (AB) \text{ ont la même direction} \end{cases}

Donc, MM appartient à la droite (AB)(AB) si et seulement si AM \overrightarrow{AM\ } et AB \overrightarrow{AB\ } sont colinéaires.

  • Nous en déduisons les propriétés suivantes.
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Propriété

La droite (D)(D) passant par les points AA et BB est l’ensemble des points MM tels que AM =λAB \overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }, où λR\lambda \in \mathbb R.

Nous pouvons formuler cette propriété d’une autre façon : la droite (D)(D) passant par AA et de vecteur directeur u\vec u est l’ensemble des points MM tels que u\vec u et AM \overrightarrow{AM\ } sont colinéaires.

  • Une droite est caractérisée par la donnée d’un point AA lui appartenant et d’un vecteur directeur u\vec u.
  • On note : (D)=(A ;u)(D) = (A\ ;\,\vec u).
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À retenir

Méthodologie :

En pratique, quand nous voudrons montrer l’alignement de trois points AA, MM et BB de l’espace, nous prouverons qu’ils forment deux vecteurs colinéaires.

  • Nous vérifierons qu’il existe un réel λ\lambda tel que AM =λAB \overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }.

Nous allons appliquer cette méthode dans l’exemple ci-dessous.

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Exemple

Soit le pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH.

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On a placé le point AA^{\prime} tel que :

AA =12AE +12AC \overrightarrow{AA^{\prime}\ }=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AE\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AC\ }

Transformons maintenant l’expression de AA \overrightarrow{AA^{\prime}\ } :

AA =12AE +12EG  [car AC =EG ]=12(AE +EG ) [par distributiviteˊ]=12AG  [par la relation de Chasles]\begin{aligned} \overrightarrow{AA^{\prime}\ } &= \dfrac 12\cdot \overrightarrow{AE\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{EG\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\overrightarrow{AC\ }=\overrightarrow{EG\ }$]}}} \ &=\dfrac 12\cdot \left(\overrightarrow{AE\ }+\overrightarrow{EG\ }\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par distributivité]}}} \ &= \dfrac 12\cdot \overrightarrow{AG\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}} \end{aligned}

Les vecteurs AA \overrightarrow{AA^{\prime} \ } et AG \overrightarrow{AG\ } sont colinéaires.

  • Cela indique que les points AA, AA^{\prime} et GG sont alignés, et donc que le point AA^{\prime} appartient à la droite (AG)(AG).
  • Plus précisément, en comparant le sens et la norme de AA \overrightarrow{AA^{\prime} \ } et AG \overrightarrow{AG\ }, AA^{\prime} est le milieu de [AG][AG].

Nous venons de voir comment montrer, avec les vecteurs, qu’un point appartient à une droite et que l’alignement de trois points peut être démontré en utilisant les vecteurs directeurs.
Qu’en est-il maintenant de l’appartenance à un plan de l’espace ?

Plans de l’espace

Commençons par donner une définition précise d’un plan de l’espace.

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Définition

Plan :

Un plan de l’espace E\mathcal E est défini par 33 points non alignés, c’est-à-dire 22 droites sécantes.

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On schématise un plan par un parallélogramme pour donner un effet de perspective, mais il n’a pas de bord.

  • Il est semblable à une étendue plane sans limite.
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À retenir

On peut nommer ce plan à l’aide de 33 de ses points non alignés, ou le désigner par une lettre.

  • Ici, le plan peut s’appeler indifféremment (P)(P), ou (ABC)(ABC), ou (BCA)(BCA)
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Exemple

Prenons l’exemple d’un tétraèdre HGKFHGKF posé sur une table :

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Ici, le plan (GKF)(GKF) et le plan (P)(P) du plateau de la table sont identiques.

  • Le point HH n’appartient pas à (P)(P).
  • Le point LL appartient à la droite (GF)(GF), donc appartient aussi au plan (P)(P).

Nous approfondirons ces notions dans le chapitre suivant « Positions relatives de droites et de plans de l’espace ».

Dans l’exemple ci-dessus, (GF)(GF) et (GK)(GK) sont deux droites sécantes du plan (P)(P).

  • Nous pouvons donc choisir un vecteur directeur de chaque droite pour former une base de ce plan.
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Définition

Base d’un plan :

(P)(P) est un plan de E\mathcal E.
On appelle base du plan (P)(P) tout couple (u,v)(\vec u,\,\vec v) de vecteurs non nuls et non colinéaires dont il existe des représentants dans le plan.

  • Il existe une infinité de bases dans un plan donné.
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Exemple

Étudions le plan (P)(P) suivant et les points représentés qui lui appartiennent :

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Nous pouvons relever différentes bases en choisissant des couples de vecteurs non colinéaires :

  • (AB ,AE )\left(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AE\ }\right), (AD ,AH )\left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{AH\ }\right) et (EB ,EA )\left(\overrightarrow{EB\ },\,\overrightarrow{EA\ }\right) en sont trois.

Dans cet exemple, nous pouvons aussi dire que les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ }, AE \overrightarrow{AE\ } et AH \overrightarrow{AH\ } sont coplanaires.
Il en va de même pour les vecteurs EB \overrightarrow{EB\ }, EA \overrightarrow{EA\ } et DH \overrightarrow{DH\ }.

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Définition

Vecteurs coplanaires :

u\vec u, v\vec v et w\vec w sont 33 vecteurs de E\mathcal E.
Ces 33 vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’il existe 44 points AA, BB, CC et DD du plan (P)(P) tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ }, v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ } et w=AD \vec w=\overrightarrow{AD\ }.

Ces vecteurs coplanaires vont nous permettre de mieux définir le repère d’un plan, que nous manipulons depuis la seconde.

On considère un plan (P)(P) de E\mathcal E dans lequel on a une base (u,v)(\vec u,\,\vec v).
AA est un point de (P)(P) ; BB et CC sont 22 points tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ } et v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ }.
Soit MM un point du plan.

  • Si MM appartient à (AB)(AB), alors AM \overrightarrow{AM\ } est colinéaire à AB \overrightarrow{AB\ }.
  • AM =λAB =λu\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }=\lambda\cdot \vec u, avec λ\lambda réel.
  • Si MM appartient à (AC)(AC), alors AM \overrightarrow{AM\ } est colinéaire à AC \overrightarrow{AC\ }.
  • AM =μAC =μv\overrightarrow{AM\ }=\mu\cdot \overrightarrow{AC\ }=\mu\cdot \vec v, avec μ\mu réel.
  • Dans les autres cas, on peut construire un parallélogramme AEMDAEMD tel que :

{D(AB) et (MD) paralleˋle aˋ (AC)E(AC) et (ME) paralleˋle aˋ (AB)\begin{cases} D\in (AB) \text{ et } (MD) \text{ parallèle à } (AC) \ E\in (AC) \text{ et } (ME) \text{ parallèle à } (AB) \end{cases}

Illustrons cette situation :

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On peut, d’après la règle du parallélogramme, écrire, avec λ\lambda et μ\mu deux réels :

AM =AD +AE =λAB +μAC [car D(AB) et E(AC)]=λu+μv\begin{aligned} \overrightarrow{AM\ }&=\overrightarrow{AD\ }+\overrightarrow{AE\ } \ &=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }+\mu\cdot \overrightarrow{AC\ } \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $D\in (AB)$ et $E\in (AC)$]}}} \ &=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v \end{aligned}

  • Ainsi, dans tous les cas, AM \overrightarrow{AM\ } est combinaison linéaire des vecteurs u\vec u et v\vec v.
  • Réciproquement, il est possible de montrer que, si AM =λu+μv\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v , alors on peut construire un seul point MM sur le plan.

Nous en déduisons les propriétés suivantes.

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Propriété

On considère un plan (P)(P), contenant le point AA et dont (u,v)(\vec u,\,\vec v) est une base.

  • MM appartient à (P)(P) si et seulement si il existe deux réels λ\lambda et μ\mu tels que :

AM =λu+μv\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v

  • C’est-à-dire si et seulement si AM \overrightarrow{AM\ } est combinaison linéaire de u\vec u et v\vec v.
  • Ou encore si et seulement si les vecteurs AM \overrightarrow{AM\ }, u\vec u et v\vec v sont coplanaires.
  • Un plan est caractérisé par un point AA lui appartenant et un couple de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v) formant une base.
  • On note (P)=(A ;u,v)(P) = (A\ ;\,\vec u,\,\vec v).
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Définition

Repère du plan :

On appelle repère du plan (P)(P) tout triplet (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v), où AA est un point du plan et (u,v)(\vec u,\,\vec v) est une base de ce plan.

  • AA est appelée origine du repère.
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À retenir

Dans ce repère, tout point MM de (P)(P) est déterminé par des coordonnées uniques, c’est-à-dire le couple de réels (λ ;μ)(\lambda\ ;\,\mu) tel que AM =λu+μv\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v.

Nous allons maintenant donner une méthodologie, suivie d’un exemple, pour montrer comment exprimer un vecteur dans une base donnée.

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À retenir

Méthodologie :

MM est un point du plan (P)(P) muni d’un repère (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v).
Pour trouver les coordonnées d’un point MM dans le repère (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v), on décompose le vecteur AM \overrightarrow{AM\ } pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.

  • Pour décomposer ce vecteur, nous pouvons utiliser la relation de Chasles, les propriétés de calcul vues dans la partie 1 de ce cours, ainsi que toute propriété induite par la figure ou déjà démontrée.
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Exemple

ABCDHEFGABCDHEFG est un pavé droit. OO est le centre du rectangle ABCDABCD.

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Prenons (O ;OB ,OC )\left(O\ ;\,\overrightarrow{OB\ }, \overrightarrow{OC\ }\right) comme repère du plan (ABC)(ABC) : c’est possible puisque OO, BB et CC appartiennent au plan (ABC)(ABC) et que OB \overrightarrow{OB\ } et OC \overrightarrow{OC\ } sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires.

Dans ce repère, le point OO a pour coordonnées (0 ;0)(0\ ;\,0), car OO =0OB +0OC \overrightarrow{OO\ }=0\cdot \overrightarrow{OB\ }+0\cdot \overrightarrow{OC\ }.

Et nous avons :

  • OB =1OB +0OC \overrightarrow{OB\ }=1\cdot \overrightarrow{OB\ }+0\cdot \overrightarrow{OC\ }.
  • BB a pour coordonnées (1 ;0)(1\ ;\,0).
  • OA =0OB 1OC \overrightarrow{OA\ }=0\cdot \overrightarrow{OB\ }-1\cdot \overrightarrow{OC\ }.
  • AA a pour coordonnées (0 ;1)(0\ ;\,-1).

Soit CC^{\prime} le symétrique de CC par rapport à DD.

OC =OC +CC  [par la relation de Chasles]=OC +2CD  [car D est le milieu de [CC]]=OC +2(CO +OD )=OC 2OC 2OB  [car OB =OD ]=2OB OC \begin{aligned} \overrightarrow{OC^\prime\ } &= \overrightarrow{OC\ } + \overrightarrow{CC^{\prime} \ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par la relation de Chasles]}}}\ &=\overrightarrow{OC\ }+2\cdot \overrightarrow{CD\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\ \big[\text{car DD est le milieu de $[CC^{\prime}]\big]$}}} \ &=\overrightarrow{OC\ }+2\cdot \left(\overrightarrow{CO\ }+\overrightarrow{OD\ }\right) \ &=\overrightarrow{OC\ }-2\cdot \overrightarrow{OC\ }-2\cdot \overrightarrow{OB\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\overrightarrow{OB\ }=-\overrightarrow{OD\ }$]}}} \ &=-2\cdot \overrightarrow{OB\ }-\overrightarrow{OC\ } \end{aligned}

OC \overrightarrow{OC^{\prime}\ } est une combinaison linéaire de OC \overrightarrow{OC\ } et OB \overrightarrow{OB\ }, donc les trois vecteurs sont coplanaires.

  • Ce qui vérifie que CC^{\prime} appartient bien au plan (ABC)(ABC).

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De plus, la relation OC =2OB OC \overrightarrow{OC^{\prime}\ }=-2\cdot \overrightarrow{OB\ }-\overrightarrow{OC\ } donne les coordonnées de CC^{\prime} dans ce repère du plan (ABC)(ABC).

  • CC^{\prime} a pour coordonnées (2 ;1)(-2\ ;\,-1).

Nous avons redécouvert la notion de repère du plan, cette fois en en donnant une définition rigoureuse.
Nous allons maintenant étudier comment on peut repérer un point dans l’espace en nous aidant des notions de ce paragraphe.

Repérage dans l’espace

Bases et repères de l’espace

Considérons un plan (P)(P) de l’espace muni d’un repère (A ;ı,ȷ)(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,).
Considérons LL, un point de E\mathcal E n’appartenant pas à (P)(P).

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Dans ce cas, les vecteurs AL \overrightarrow{AL\ }, ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath ne sont pas coplanaires.

  • On note : k=AL \vec k=\overrightarrow{AL\ }.
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Définition

Base de l’espace :

On appelle base de l’espace E\mathcal E tout triplet de vecteurs (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) non coplanaires.

  • Nous remarquons qu’il existe une infinité de choix pour les vecteurs ı\vec \imath, ȷ\vec \jmath et k\vec k, et donc une infinité de bases possibles.

Par analogie avec le travail vu pour les plans, nous admettons les propriétés suivantes.

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Propriété

AA est un point et (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) une base de E\mathcal E.
Quel que soit le point MM de E\mathcal E, AM \overrightarrow{AM\ } peut s’écrire de manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).

  • C’est-à-dire qu’il existe un triplet unique de 33 réels (x ;y ;z)(x\ ;\,y\ ;\,z) tels que :

AM =xı+yȷ+zk\overrightarrow{AM\ }=x\cdot \vec \imath+y\cdot \vec \jmath+z\cdot \vec k

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Définition

Repère de l’espace :

On appelle repère de l’espace E\mathcal E tout quadruplet (A ;ı,ȷ,k)(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)AA est un point et (ı,ȷ,k) (\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) une base de E\mathcal E.

  • AA est appelée origine du repère.
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À retenir

Dans ce repère, tout point MM est déterminé par ses coordonnées uniques telles que :

AM =xı+yȷ+zk\overrightarrow{AM\ }= x\cdot \vec \imath+y\cdot \vec \jmath+z\cdot \vec k

  • On note : M(x ;y ;z)M\,(x\ ;\,y\ ;\,z).
  • On appelle xx l’abscisse de MM, yy son ordonnée et zz sa cote.
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Astuce

En sciences physiques, la coordonnée zz est souvent utilisée pour repérer l’altitude d’un objet ou d’un point en mouvement.

Il ne faudra pas oublier que, dans un repère de E\mathcal E, la position des points est déterminée par 33 nombres. Nous remarquons d’ailleurs le lien avec la dénomination « 3 dimensions » ou « 3D » quand on parle de volumes ou de figures spatiales.

Nous allons maintenant nous servir de ces coordonnées pour résoudre des problèmes de géométrie dans l’espace. Elles vont servir à démontrer certaines propriétés.

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À retenir

Méthodologie :

Pour trouver les coordonnées d’un point MM dans le repère (A ;ı,ȷ,k)(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), on décompose le vecteur AM \overrightarrow{AM\ } pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.

  • Comme dans le plan, pour décomposer ce vecteur, nous pouvons utiliser la relation de Chasles, les propriétés de calcul vues dans la partie 1 de ce cours, ainsi que toute propriété induite par la figure ou déjà démontrée.
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Exemple

Prenons l’exemple du tétraèdre ABCDABCD :

Alt Mathématiques terminale spécialité géométrie droites plans vecteurs espace

Les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ }, AC \overrightarrow{AC\ } et AD \overrightarrow{AD\ } ne sont pas coplanaires. Donc ces 33 vecteurs forment une base de l’espace.

  • On peut munir l’espace du repère (A ;AB ,AC ,AD )\left(A\ ;\,\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ },\,\overrightarrow{AD\ }\right).

Soit EE le milieu de [DC][DC].
On cherche les coordonnées de EE dans ce repère.

On décompose le vecteur :

AE =AC +CE =AC +12CD =AC +12CA +12AD =12AC +12AD \begin{aligned} \overrightarrow{AE\ } &=\overrightarrow{AC\ }+\overrightarrow{CE\ } \ &=\overrightarrow{AC\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{CD\ } \ &=\overrightarrow{AC\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{CA\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AD\ } \ &=\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AC\ }+\dfrac 12\cdot \overrightarrow{AD\ } \end{aligned}

Ainsi, les coordonnées de EE dans le repère (A ;AB ,AC ,AD )\left(A\ ;\,\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ },\,\overrightarrow{AD\ }\right) sont (0 ;12 ;12)\left(0\ ;\,\frac 12\ ;\,\frac 12\right).

Nous remarquons ce faisant que CC a pour coordonnées (0 ;1 ;0)(0\ ;\,1\ ;\,0) et D(0 ;0 ;1)D\,(0\ ;\,0\ ;\,1).

  • Donc les coordonnées du milieu de [CD][CD] sont égales à la demi-somme des coordonnées de CC et de DD.

Nous admettons ainsi la propriété suivante.

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Propriété

L’espace E\mathcal E est muni d’un repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k).
Dans ce repère, AA a pour coordonnées (xA ;yA ;zA)(xA\ ;\,yA\ ;\,zA) et B(xB ;yB ;zB)B\,(xB\ ;\,yB\ ;\,zB).

  • Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées :

(xA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2)\left( \dfrac{xA+xB}2\ ;\, \dfrac{yA+yB}2\ ;\, \dfrac{zA+zB}2\right)

Comme dans le plan, les vecteurs de l’espace ont des coordonnées dans un repère donné. Les propriétés dans un plan se généralisent à l’espace.

Coordonnées d’un vecteur

On considère un repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) de E\mathcal E.
Soit u\vec u un vecteur et le point MM tel que OM =u\overrightarrow{OM\ }=\vec u.

  • Nous avons vu que MM a des coordonnées uniques dans ce repère.
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Définition

Coordonnées d’un vecteur :

Soit u\vec u un vecteur de E\mathcal E.
On appelle coordonnées de u\vec u le triplet (x ;y ;z)(x\ ;\,y\ ;\,z) tel que :

OM =xı+yȷ+zk\overrightarrow{OM\ }=x\cdot \vec \imath + y\cdot \vec \jmath + z\cdot \vec k

  • On note : u(xyz)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}.

En particulier, le vecteur nul a pour coordonnées (000)\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}.

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Propriété

  • Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un même repère de E\mathcal E.
  • Ces coordonnées ne dépendent pas du choix du représentant.
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Attention

Si on change de repère, les coordonnées des points et des vecteurs changent.

Nous pouvons effectuer des opérations sur les coordonnées des vecteurs de l’espace comme celles dans le plan, en n’oubliant pas qu’il y a 33 coordonnées, et non 22.

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Propriété

Soit u(xyz)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et v(xyz)\vec v\begin{pmatrix} x^{\prime} \ y^{\prime} \ z^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs de E\mathcal E, et λR\lambda \in \mathbb R.

  • u+v\vec u +\vec v a pour coordonnées :

(x+xy+yz+z)\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \ y+y^{\prime} \ z+z^{\prime} \end{pmatrix}

  • λu\lambda\cdot \vec u a pour coordonnées :

(λxλyλz)\begin{pmatrix} \lambda x \ \lambda y \ \lambda z \end{pmatrix}

bannière propriete

Propriété

Soit A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, zA) et B(xB ;yB ;zB)B\,(xB\ ;\, yB\ ;\, zB) deux points de E\mathcal E.
Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour coordonnées :

(xBxAyByAzBzA)\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{pmatrix}

Prenons un exemple pour illustrer toutes ces propriétés.

bannière exemple

Exemple

On considère un repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) de E\mathcal E dans lequel les points AA, BB, CC et DD ont pour coordonnées :

A(6 ;1 ;2), B(3 ;4 ;5), C(9 ;0 ;1), D(0 ;3 ;4)A\, (-6\ ;\, 1\ ;\, 2),\ B\, (3\ ;\, 4\ ;\, 5),\ C\, (-9\ ;\, 0\ ;\, 1),\ D\,(0\ ;\,3\ ;\, 4)

Nous allons calculer les coordonnées de AB +3AC\overrightarrow{AB\ }+3\cdot \overrightarrow{AC\,}, puis de OD 13(OA +2OB )\overrightarrow{OD\ }-\frac 13\cdot \left(\overrightarrow{OA\ }+2\cdot \overrightarrow{OB\ }\right).
Nous en tirerons ensuite des propriétés géométriques.

  • Calculons les coordonnées du vecteur AB +3AC \overrightarrow{AB\ }+3\cdot \overrightarrow{AC\ }.

Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour coordonnées :

(xBxAyByAzBzA)=(3(6)4152)\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-(-6) \ 4-1 \ 5-2 \end{pmatrix}

  • Donc : AB (933)\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} 9 \ 3 \ 3 \end{pmatrix}.

Le vecteur AC \overrightarrow{AC\ } a pour coordonnées :

(xCxAyCyAzCzA)=(9(6)0112)\begin{pmatrix} xC-xA \ yC-yA \ zC-zA \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -9-(-6) \ 0-1 \1-2 \end{pmatrix}

  • Donc : AC (311)\overrightarrow{AC\ }\begin{pmatrix} -3 \ -1 \ -1 \end{pmatrix}.

Le vecteur AB +3AC\overrightarrow{AB\ }+3\cdot \overrightarrow{AC\,} a pour coordonnées :

(9+3×(3)3+3×(1)3+3×(1))\begin{pmatrix} 9 + 3\times (-3) \ 3 +3\times (-1) \ 3 +3\times (-1) \end{pmatrix}

  • Donc : AB +3AC(000)\overrightarrow{AB\ }+3\cdot \overrightarrow{AC\,}\begin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 \end{pmatrix}.

C’est le vecteur nul. Cela signifie que AB =3AC \overrightarrow{AB\ }=-3\cdot \overrightarrow{AC\ }.

  • Les vecteurs AB \overrightarrow{AB\ } et AC \overrightarrow{AC\ } sont colinéaires, donc les points AA, BB et CC sont alignés.
  • Calculons les coordonnées du vecteur OD 13(OA +2OB )\overrightarrow{OD\ }-\frac 13\cdot \left(\overrightarrow{OA\ }+2\cdot \overrightarrow{OB\ }\right).

Nous avons les coordonnées suivantes :

OD (034)OA (612)OB (345)\begin{aligned} \overrightarrow{OD\ } &\begin{pmatrix} 0 \ 3 \ 4 \end{pmatrix} \ \overrightarrow{OA\ } &\begin{pmatrix} -6 \ 1 \ 2 \end{pmatrix} \ \overrightarrow{OB\ } &\begin{pmatrix} 3 \ 4 \ 5 \end{pmatrix} \end{aligned}

Le vecteur OD 13(OA +2OB )\overrightarrow{OD\ }-\frac 13\cdot \left(\overrightarrow{OA\ }+2\cdot \overrightarrow{OB\ }\right) a pour coordonnées :

(013×(6+2×3)313×(1+2×4)413×(2+2×5))=(000)\begin{pmatrix} 0-\dfrac13\times(-6+2\times 3) \ \3-\dfrac13\times(1+2\times 4) \ \ 4-\dfrac13\times(2+2\times 5) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \ 0 \0 \end{pmatrix}

Nous en déduisons :

OD =13OA +23OB \overrightarrow{OD\ }=\dfrac 13\cdot \overrightarrow{OA\ }+\dfrac 23\cdot \overrightarrow{OB\ }

  • Cela implique que les vecteurs OD \overrightarrow{OD\ }, OA \overrightarrow{OA\ } et OB \overrightarrow{OB\ } sont coplanaires : $D$ appartient au plan (OAB)(OAB).

Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons commencé l’étude de configurations spatiales en utilisant les vecteurs de l’espace. Les vecteurs permettent de caractériser l’appartenance à une droite, à un plan, ou encore de placer un point de l’espace sur une figure.
Ils permettent également de définir des repères de l’espace, où un point sera déterminé par la donnée de ses trois coordonnées.

L’utilisation des vecteurs avec ou sans coordonnées facilitera dan