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Droites, plans et vecteurs de l'espace
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Introduction :
En géométrie plane, nous avons utilisé les vecteurs dès la seconde. Ils permettent de modéliser les translations, d’étudier les figures et différentes configurations du plan : déterminer si deux droites sont parallèles, perpendiculaires, si un point appartient à une droite à l’aide des vecteurs directeurs sont quelques exemples.
Dans ce cours, la notion de vecteur va être prolongée dans l’espace à dimensions ; ce sont des outils efficaces, notamment en sciences physiques ou en sciences de l’ingénieur, pour décrire des forces, la position, ou la vitesse de certains objets dans leurs déplacements dans l’espace.
Dans une première partie, nous définirons le vecteur dans l’espace et étudierons ses propriétés, similaires aux propriétés dans le plan. Les vecteurs vont permettre de définir l’appartenance à une droite ou à un plan.
Le lien entre droite, plan et vecteurs sera détaillé en deuxième partie.
Enfin, nous verrons, dans la troisième partie, comment on peut repérer un point en utilisant un système de coordonnées dans l’espace.
Dans tout le chapitre, nous nous placerons dans une configuration spatiale à dimensions, qui est notre espace naturel.
Vecteurs de l’espace
La plupart des notions vues en seconde se généralisent dans .
Vecteurs et translations
Considérons le pavé droit :
Observons la translation qui amène vers ; c’est un déplacement qui :
Ce même déplacement transforme en et en .
On dit que les vecteurs et sont égaux à .
Vecteur :
À tout couple de points de , on peut associer un unique vecteur à la translation qui transforme en .
Ce vecteur a trois caractéristiques :
Tout vecteur qui vérifie ces trois caractéristiques est égal à .
Nous avons les cas particuliers suivants.
Comme dans le plan, nous pouvons définir la somme de vecteurs et le produit de vecteurs par des réels, puis les combinaisons linéaires de vecteurs.
Combinaisons linéaires de vecteurs
Somme de deux vecteurs :
et sont deux vecteurs non nuls de .
Si représente et représente , alors la somme est représentée par le vecteur tel que est un parallélogramme.
Relation de Chasles :
, et sont trois points de . On a alors :
Produit d’un vecteur par un nombre réel :
Soit un nombre réel et un vecteur .
Le produit de par est un vecteur noté , et si et , alors est un vecteur qui a :
Nous avons, par convention :
Pour tout , les vecteurs et sont dits colinéaires.
Vecteurs colinéaires :
Deux vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un réel tel que .
Comme dans le plan, nous avons les propriétés de calcul suivantes.
On considère et , deux vecteurs de , et et , deux nombres réels.
Nous pouvons maintenant définir une nouvelle notion, à partir des propriétés que nous venons de voir.
Combinaison linéaire :
et sont deux vecteurs de , et et deux nombres réels.
On appelle une combinaison linéaire des vecteurs et .
Remarquons que l’on peut définir une combinaison linéaire d’un nombre fini de vecteurs.
Nous allons voir avec un exemple comment utiliser les combinaisons linéaires de vecteurs pour placer ou situer un point dans l’espace.
Considérons le pavé droit , où est le centre du rectangle .
Pour cela, utilisons les propriétés du pavé droit et la décomposition avec la relation de Chasles :
Pour trouver le point , commençons par chercher le représentant de d’origine .
Puisque est le milieu de , on a ainsi :
Nous avons donc :
étant le centre du rectangle , l’image de par est le centre du rectangle .
L’écriture sous forme de combinaisons linéaires d’autres vecteurs sera utile quand nous voudrons repérer un point de l’espace.
Commençons d’abord par étudier le lien entre les vecteurs et les droites et plans de l’espace.
Droites et plans de l’espace
Droites de l’espace
Comme en géométrie plane, une droite de l’espace est déterminée par deux points distincts.
Vecteur directeur d’une droite :
On considère un vecteur non nul, et une droite de .
On dit que est un vecteur directeur de la droite lorsqu’il existe deux points distincts et appartenant à tels que .
Prenons l’exemple simple d’un tétraèdre.
Ici, et sont deux vecteurs directeurs de la droite .
Et et sont deux vecteurs directeurs de .
Nous pouvons en tirer quelques conclusions.
Nous allons maintenant nous servir des vecteurs pour caractériser l’alignement de points.
On considère deux points distincts et de .
Soit un point de .
Donc, appartient à la droite si et seulement si et sont colinéaires.
La droite passant par les points et est l’ensemble des points tels que , où .
Nous pouvons formuler cette propriété d’une autre façon : la droite passant par et de vecteur directeur est l’ensemble des points tels que et sont colinéaires.
Méthodologie :
En pratique, quand nous voudrons montrer l’alignement de trois points , et de l’espace, nous prouverons qu’ils forment deux vecteurs colinéaires.
Nous allons appliquer cette méthode dans l’exemple ci-dessous.
Soit le pavé droit .
On a placé le point tel que :
Transformons maintenant l’expression de :
Les vecteurs et sont colinéaires.
Nous venons de voir comment montrer, avec les vecteurs, qu’un point appartient à une droite et que l’alignement de trois points peut être démontré en utilisant les vecteurs directeurs.
Qu’en est-il maintenant de l’appartenance à un plan de l’espace ?
Plans de l’espace
Commençons par donner une définition précise d’un plan de l’espace.
Plan :
Un plan de l’espace est défini par points non alignés, c’est-à-dire droites sécantes.
On schématise un plan par un parallélogramme pour donner un effet de perspective, mais il n’a pas de bord.
On peut nommer ce plan à l’aide de de ses points non alignés, ou le désigner par une lettre.
Prenons l’exemple d’un tétraèdre posé sur une table :
Ici, le plan et le plan du plateau de la table sont identiques.
Nous approfondirons ces notions dans le chapitre suivant « Positions relatives de droites et de plans de l’espace ».
Dans l’exemple ci-dessus, et sont deux droites sécantes du plan .
Base d’un plan :
est un plan de .
On appelle base du plan tout couple de vecteurs non nuls et non colinéaires dont il existe des représentants dans le plan.
Étudions le plan suivant et les points représentés qui lui appartiennent :
Nous pouvons relever différentes bases en choisissant des couples de vecteurs non colinéaires :
Dans cet exemple, nous pouvons aussi dire que les vecteurs , et sont coplanaires.
Il en va de même pour les vecteurs , et .
Vecteurs coplanaires :
, et sont vecteurs de .
Ces vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’il existe points , , et du plan tels que , et .
Ces vecteurs coplanaires vont nous permettre de mieux définir le repère d’un plan, que nous manipulons depuis la seconde.
On considère un plan de dans lequel on a une base .
est un point de ; et sont points tels que et .
Soit un point du plan.
Illustrons cette situation :
On peut, d’après la règle du parallélogramme, écrire, avec et deux réels :
Nous en déduisons les propriétés suivantes.
On considère un plan , contenant le point et dont est une base.
Repère du plan :
On appelle repère du plan tout triplet , où est un point du plan et est une base de ce plan.
Dans ce repère, tout point de est déterminé par des coordonnées uniques, c’est-à-dire le couple de réels tel que .
Nous allons maintenant donner une méthodologie, suivie d’un exemple, pour montrer comment exprimer un vecteur dans une base donnée.
Méthodologie :
est un point du plan muni d’un repère .
Pour trouver les coordonnées d’un point dans le repère , on décompose le vecteur pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.
est un pavé droit. est le centre du rectangle .
Prenons comme repère du plan : c’est possible puisque , et appartiennent au plan et que et sont deux vecteurs non nuls et non colinéaires.
Dans ce repère, le point a pour coordonnées , car .
Et nous avons :
Soit le symétrique de par rapport à .
De plus, la relation
Nous avons redécouvert la notion de repère du plan, cette fois en en donnant une définition rigoureuse.
Nous allons maintenant étudier comment on peut repérer un point dans l’espace en nous aidant des notions de ce paragraphe.
Repérage dans l’espace
Bases et repères de l’espace
Considérons un plan
Considérons
Dans ce cas, les vecteurs
Base de l’espace :
On appelle base de l’espace
Par analogie avec le travail vu pour les plans, nous admettons les propriétés suivantes.
Quel que soit le point
Repère de l’espace :
On appelle repère de l’espace
Dans ce repère, tout point
En sciences physiques, la coordonnée
Il ne faudra pas oublier que, dans un repère de
Nous allons maintenant nous servir de ces coordonnées pour résoudre des problèmes de géométrie dans l’espace. Elles vont servir à démontrer certaines propriétés.
Méthodologie :
Pour trouver les coordonnées d’un point
Prenons l’exemple du tétraèdre
Les vecteurs
Soit
On cherche les coordonnées de
On décompose le vecteur :
Ainsi, les coordonnées de
Nous remarquons ce faisant que
Nous admettons ainsi la propriété suivante.
L’espace
Dans ce repère,
Comme dans le plan, les vecteurs de l’espace ont des coordonnées dans un repère donné. Les propriétés dans un plan se généralisent à l’espace.
Coordonnées d’un vecteur
On considère un repère
Soit
Coordonnées d’un vecteur :
Soit
On appelle coordonnées de
En particulier, le vecteur nul a pour coordonnées
Si on change de repère, les coordonnées des points et des vecteurs changent.
Nous pouvons effectuer des opérations sur les coordonnées des vecteurs de l’espace comme celles dans le plan, en n’oubliant pas qu’il y a
Soit
Soit
Le vecteur
Prenons un exemple pour illustrer toutes ces propriétés.
On considère un repère
Nous allons calculer les coordonnées de
Nous en tirerons ensuite des propriétés géométriques.
Le vecteur
Le vecteur
Le vecteur
C’est le vecteur nul. Cela signifie que
Nous avons les coordonnées suivantes :
Le vecteur
Nous en déduisons :