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Droites, plans et vecteurs de l'espace

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  • Nous nous plaçons dans une configuration spatiale à 33 dimensions, noté E\mathcal E.
  • Souvenons-nous aussi que nombre de propriétés valables dans le plan, que nous avons apprises en seconde, sont aussi valables dans l’espace.

Vecteurs de l’espace

La plupart des notions vues en seconde se généralisent dans E\mathcal E.

  • À tout couple de points (A,B)(A,\,B) de E\mathcal E, on peut associer un unique vecteur AB\overrightarrow{AB\,} à la translation qui transforme AA en BB.
  • AB\overrightarrow{AB\,} a trois caractéristiques :
  • sa direction : la droite (AB)(AB) ;
  • son sens : de AA vers BB ;
  • sa norme : AB =AB\Vert\overrightarrow{AB\ }\Vert = AB.
  • Tout vecteur qui vérifie ces trois caractéristiques est égal à AB \overrightarrow{AB\ }. C’est un représentant du même vecteur, qu’on peut noter u\vec u.
  • Si BB et AA sont confondus, alors AB =0\overrightarrow{AB\ }=\vec 0.
  • BA \overrightarrow{BA\ } est le vecteur de direction (AB)(AB), de sens de BB vers AA et de norme ABAB.
  • C’est le vecteur opposé à AB \overrightarrow{AB\ } : BA =AB \overrightarrow{BA\ }=-\overrightarrow{AB\ }
  • u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs non nuls de E\mathcal E.
  • Si AB\overrightarrow{AB\,} représente u\vec u et AC \overrightarrow{AC\ } représente v\vec v, alors la somme u+v\vec u + \vec v est représentée par le vecteur AD\overrightarrow{AD\,} tel que ABDCABDC est un parallélogramme.
  • AA, BB et CC sont trois points de E\mathcal E.
  • AB+BC =AC \overrightarrow{AB\,} + \overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{AC\ }.
  • Soit λ\lambda un nombre réel non nul et un vecteur u\vec u non nul.
  • λu\lambda \cdot \vec u est un vecteur a :
  • la direction de u\vec u ;
  • pour norme λu=λ×u\Vert \lambda \cdot \vec u \Vert=\vert \lambda \vert \times \Vert \vec u \Vert ;
  • le sens de u\vec u si λ>0\lambda >0, et le sens contraire si λ<0\lambda < 0.
  • Pour tout réel λ\lambda et tout vecteur u\vec u :
  • 0u=00\cdot \vec u=\vec 0 ;
  • λ0=0\lambda\cdot \vec 0 = \vec 0.
  • Deux vecteurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel λ\lambda tel que v=λu\vec v=\lambda \cdot \vec u.
  • Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur de l’espace.
  • u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs de E\mathcal E, λ\lambda et μ\mu deux nombres réels.
  • λu=0\lambda \cdot \vec u=\vec 0 si et seulement si u=0\vec u=\vec 0 ou λ=0\lambda = 0.
  • λ(u+v)=λu+λv\lambda \cdot (\vec u + \vec v)=\lambda \cdot \vec u+\lambda \cdot \vec v.
  • (λ+μ)u=λu+μu(\lambda +\mu)\cdot \vec u=\lambda\cdot \vec u + \mu \cdot \vec u.
  • λ(μu)=λμu\lambda (\mu\cdot \vec u)=\lambda\cdot \mu\cdot \vec u.
  • On appelle λu+μv\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v une combinaison linéaire des vecteurs u\vec u et v\vec v.

Droites et plans de l’espace

  • Soit u\vec u un vecteur non nul, et (d)(d) une droite de E\mathcal E.
  • u\vec u est un vecteur directeur de la droite (d)(d) lorsqu’il existe deux points distincts AA et BB appartenant à (d)(d) tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ }.
  • Si u\vec u est un vecteur directeur de (d)(d), il indique la direction de (d)(d).
  • Tout vecteur non nul colinéaire à u\vec u est aussi un vecteur directeur de (d)(d).
  • (d)(d) admet donc une infinité de vecteurs directeurs.
  • La droite (D)(D) passant par les points AA et BB est l’ensemble des points MM tels que AM =λAB \overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }, où λR\lambda \in \mathbb R.
  • C’est-à-dire : la droite (D)(D) passant par AA et de vecteur directeur u\vec u est l’ensemble des points MM tels que u\vec u et AM \overrightarrow{AM\ } sont colinéaires.
  • Une droite est caractérisée par la donnée d’un point AA lui appartenant et d’un vecteur directeur u\vec u.
  • On note : (D)=(A ;u)(D) = (A\ ;\,\vec u).
  • Pour montrer l’alignement de trois points AA, MM et BB de l’espace, nous prouvons qu’ils forment deux vecteurs colinéaires.
  • Nous vérifions qu’il existe un réel λ\lambda tel que AM =λAB \overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \overrightarrow{AB\ }.
  • Un plan de l’espace E\mathcal E est défini par 33 points non alignés, c’est-à-dire 22 droites sécantes.
  • On peut nommer un plan à l’aide de 33 de ses points non alignés, ou le désigner par une lettre.
  • (P)(P) est un plan de E\mathcal E.
  • On appelle base du plan (P)(P) tout couple (u,v)(\vec u,\,\vec v) de vecteurs non nuls et non colinéaires dont il existe des représentants dans le plan.
  • u\vec u, v\vec v et w\vec w sont 33 vecteurs de E\mathcal E.
  • Ces 33 vecteurs sont dits coplanaires lorsqu’il existe 44 points AA, BB, CC et DD du plan (P)(P) tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ }, v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ } et w=AD \vec w=\overrightarrow{AD\ }.
  • Soit un plan (P)(P), contenant le point AA et dont (u,v)(\vec u,\,\vec v) est une base.
  • MM appartient à (P)(P) :
  • si et seulement si il existe deux réels λ\lambda et μ\mu tels que : AM =λu+μv\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v.
  • si et seulement si les vecteurs AM \overrightarrow{AM\ }, u\vec u et v\vec v sont coplanaires.
  • Un plan est caractérisé par un point AA lui appartenant et un couple de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v) formant une base.
  • On note : (P)=(A ;u,v)(P) = (A\ ;\,\vec u,\,\vec v).
  • Tout triplet (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v), où AA est un point du plan et (u,v)(\vec u,\,\vec v) une base de ce plan, est appelé repère du plan.
  • Dans ce repère, tout point MM de (P)(P) est déterminé par des coordonnées uniques, c’est-à-dire le couple de réels (λ ;μ)(\lambda\ ;\,\mu) tel que AM =λu+μv\overrightarrow{AM\ }=\lambda\cdot \vec u+\mu\cdot \vec v.
  • MM est un point du plan (P)(P) muni d’un repère (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v).
  • Pour trouver les coordonnées d’un point MM dans le repère (A ;u,v)(A\ ;\,\vec u,\,\vec v), on décompose le vecteur AM \overrightarrow{AM\ } pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.

Repérage dans l’espace

  • On appelle base de l’espace E\mathcal E tout triplet de vecteurs (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) non coplanaires.
  • AA est un point et (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) une base de E\mathcal E.
  • On appelle repère de l’espace E\mathcal E tout quadruplet (A ;ı,ȷ,k)(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)AA est un point et (ı,ȷ,k) (\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) une base de E\mathcal E.
  • Dans ce repère, tout point MM est déterminé par ses coordonnées uniques telles que AM =xı+yȷ+zk\overrightarrow{AM\ }= x\cdot \vec \imath+y\cdot \vec \jmath+z\cdot \vec k .
  • On note : M(x ;y ;z)M\,(x\ ;\,y\ ;\,z) et on appelle xx l’abscisse de MM, yy son ordonnée et zz sa cote.
  • Pour trouver les coordonnées d’un point MM dans le repère (A ;ı,ȷ,k)(A\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), on décompose le vecteur AM \overrightarrow{AM\ } pour retrouver une combinaison linéaire des vecteurs du repère.
  • L’espace E\mathcal E est muni d’un repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k). Dans ce repère, AA a pour coordonnées (xA ;yA ;zA)(xA\ ;\,yA\ ;\,zA) et B(xB ;yB ;zB)B\,(xB\ ;\,yB\ ;\,zB).
  • Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées :

(xA+xB2 ;yA+yB2 ;zA+zB2)\left( \dfrac{xA+xB}2\ ;\, \dfrac{yA+yB}2\ ;\, \dfrac{zA+zB}2\right)

  • On considère un repère (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) de E\mathcal E. Soit u\vec u un vecteur et le point MM tel que OM =u\overrightarrow{OM\ }=\vec u.
  • On appelle coordonnées de u\vec u le triplet (x ;y ;z)(x\ ;\,y\ ;\,z) tel que OM =xı+yȷ+zk\overrightarrow{OM\ }=x\cdot \vec \imath + y\cdot \vec \jmath + z\cdot \vec k.
  • On note : u(xyz)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}.
  • Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans un même repère de E\mathcal E.
  • Soit u(xyz)\vec u \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et v(xyz)\vec v\begin{pmatrix} x^{\prime} \ y^{\prime} \ z^{\prime} \end{pmatrix} deux vecteurs de E\mathcal E, et λR\lambda \in \mathbb R.
  • u+v\vec u +\vec v a pour coordonnées :

(x+xy+yz+z)\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \ y+y^{\prime} \ z+z^{\prime} \end{pmatrix}

  • λu\lambda\cdot \vec u a pour coordonnées :

(λxλyλz)\begin{pmatrix} \lambda x \ \lambda y \ \lambda z \end{pmatrix}

  • Soit A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, zA) et B(xB ;yB ;zB)B\,(xB\ ;\, yB\ ;\, zB) deux points de E\mathcal E.
  • Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour coordonnées :

(xBxAyByAzBzA)\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \ zB-zA \end{pmatrix}