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Dynamique d’un circuit électrique : les capteurs capacitifs

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Introduction :

Un condensateur est un composant électronique formé de deux surfaces métalliques en regard séparées par un isolant. Un condensateur est essentiellement utilisé pour stabiliser une alimentation électrique ou pour emmagasiner des charges électriques, donc de l’énergie électrique.

Préalablement à ce cours, nous fournirons une définition précise ainsi qu’une modélisation d’un condensateur.
Dans un second temps, nous montrerons comment les charges électriques peuvent s’accumuler sur les armatures du condensateur, ce qui nous permettra alors d’en déduire la relation liant la charge et la tension aux bornes du condensateur.
La deuxième partie de ce cours, consacrée à l’étude du circuit RCRC série, permettra de décrire l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur au cours de sa charge et de sa décharge.
Enfin, nous définirons de façon très brève la notion de capteur capacitif et en donnerons quelques applications courantes.

Les condensateurs

Modélisation d’un condensateur

Il existe différents condensateurs selon leur caractéristique géométrique. À titre d’exemple, on peut citer le condensateur plan formé de deux plaques métalliques parallèles.

Img-01 : Schématisation d’un condensateur plan

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Définition

Condensateur :

Un condensateur est un ensemble de deux conducteurs métalliques voisins, appelés armatures, séparés par le vide (en pratique l’air) ou par un isolant appelé diélectrique.

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Définition

Milieu diélectrique :

Un milieu diélectrique ne possède pas de charges électriques qui se déplacent macroscopiquement.

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À retenir

Pour symboliser le condensateur, on adopte la convention suivante :

Img-02 : Convention du condensateur

Le courant électrique II est fléché dans le sens opposé à la tension UcU_c à ses bornes.

Intensité du courant électrique

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Définition

Intensité dans un conducteur  :

L’intensité II du courant électrique, à un instant tt, dans un conducteur est une grandeur algébrique qui correspond à la quantité de charge dqdq traversant la section pendant un intervalle de temps dtdt. I(t)=+dqA(t)dt=dqB(t)dtI(t)= +\dfrac{dqA(t)}{dt} = - \dfrac{dqB(t)}{dt}

Avec :

  • I(t)I(t) le courant électrique en A\text{A} ;
  • tt le temps en s\text{s} ;
  • qAq_A la charge électrique sur l’armature AA en C\text{C}.

La modélisation du condensateur étant maintenant posée, montrons maintenant comment ce composant électronique est capable d’accumuler des charges électriques sur ses faces en regard : c’est l’effet capacitif.

Effet capacitif : accumulation de charges

Considérons le montage suivant :

Img-03 : Circuit ouvert de charge d’un condensateur

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À retenir

Dans un circuit électrique, les électrons se déplacent du pôle négatif de la source de tension vers le pôle positif.
Par convention, le courant électrique II se déplace dans le sens inverse de celui des électrons.

Maintenant fermons l’interrupteur KK, on remarque que l’ampèremètre détecte le passage d’un courant électrique. Le générateur va permettre la circulation d’une partie des électrons présents sur l’armature AA qui vont alors s’accumuler sur l’armature BB.

Img-04 : Circuit fermé de charge d’un condensateur

Ce passage du courant électrique dans le circuit va faire apparaître des quantités de charges qA>0qA > 0 sur l’armature AA, dues à la perte d’électrons, et qB<0qB < 0 sur l’armature BB, en raison d’un gain d’électrons.

  • On constate alors qu’une tension UcUc apparaît entre les bornes AA et BB du condensateur. En fin de charge, plus aucun courant ne circule dans le circuit. Alors, d’après la loi d’additivité on peut écrire : E=UcE = Uc.
    Le condensateur est dit alors « chargé ».
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Définition

Charge électrique :

La charge électrique QQ du condensateur est la valeur absolue de la charge qui s’accumule sur l’une de ses armatures. Q=qA=qBQ =\vert qA\vert = \vert qB\vert

Nous avons ainsi montré comment il est possible de « charger » un condensateur. Voyons maintenant comment il est possible d’opérer la décharge de ce condensateur, ce qui nous conduira à trouver de façon intuitive la relation existant entre la charge et la tension aux bornes du condensateur.

Relation entre charge et tension

Considérons le montage suivant :

Img-05 : Circuit de décharge d’un condensateur

Court-circuitons un condensateur préalablement chargé en fermant l’interrupteur KK. Les électrons de l’armature BB vont circuler à travers le circuit pour compenser le défaut d’électrons dans l’armature AA.

  • Le mouvement des électrons va prendre fin lorsque la tension aux bornes du condensateur UcUc sera nulle : Uc=0 VUc= 0\ \text{V}. Sa charge électrique QQ sera également nulle : Q=0 CQ = 0\ \text{C}.
    On dit alors que le condensateur est « déchargé ».
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À retenir

Lorsqu’on court-circuite un condensateur chargé, sa tension à ses bornes ainsi que sa charge s’annulent.

En effet, nous avons pu constater au travers des deux expériences précédentes que plus la charge électrique QQ du condensateur est élevée et plus la tension UCUC à ses bornes est grande. De plus, nous avons vu que la tension UCUC est nulle si la charge électrique QQ du condensateur est nulle.

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À retenir

De façon expérimentale, on peut remarquer qu’à chaque instant tt, la charge qA(t)qA(t) est proportionnelle à la tension UC(t)UC(t) aux bornes du condensateur. Le coefficient de proportionnalité qui lie ces deux grandeurs est appelé capacité du condensateur.

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Définition

Charge du condensateur :

La charge qAqA du condensateur, à un instant tt, a pour expression : qA(t)=CUc(t)qA(t) = C U_c(t) Avec :

  • qA(t)q_A(t) la charge à l’instant tt en coulomb (C)(\text{C}) ;
  • CC la capacité en farad (F)(\text{F}) ;
  • Uc(t)U_c(t) la tension aux bornes du condensateur en volt (V)(\text{V}).
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À retenir

La capacité CC d’un condensateur est défini comme étant le coefficient de proportionnalité entre la charge et la tension aux bornes du condensateur.

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Attention

Il ne faut pas confondre le symbole de la capacité d’un condensateur CC exprimée en farad (F)(\text{F}) avec le coulomb C\text{C}, unité de la charge électrique QQ.

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Exemple

La tension aux bornes d’un condensateur de capacité C=150 nFC = 150\ \text{nF} est UC=40 mVUC = 40\ \text{mV}.
Calculer la charge qAq
A accumulée sur son armature chargée positivement.

Nous savons que la charge qAqA s’écrit : qA(t)=CUc(t)qA (t) = C U_c(t)

Alors, qA=150×109×40×103=6,0×109 C\begin{aligned}q_A &= 150\times10^{-9}\times 40\times10^{-3} \ &=6,0\times10^{-9}\ \text{C}\end{aligned}

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Exemple

Le tableau ci-dessous représente les valeurs mesurées de la charge électrique QQ et de la tension UCU_C aux bornes d’un condensateur.

Tension UCU_C en V\text{V} 0,10,1 0,20,2 0,30,3 0,40,4 0,50,5 0,60,6 0,70,7
Charge QQ en mC\text{mC} 0,030,03 0,060,06 0,090,09 0,120,12 0,150,15 0,180,18 0,210,21

Déterminer la valeur de la capacité CC du condensateur.

On sait que la capacité CC d’un condensateur est définie comme le coefficient de proportionnalité entre la charge électrique QQ et la tension à ses bornes.

À l’aide du tableau de valeurs, on peut trouver la valeur de la capacité CC.

Prenons ainsi, deux valeurs pour la tension UcUc, soit : U1=0,2 VU1=0,2\ \text{V} et U2=0,5 VU2=0,5\ \text{V}, correspondant respectivement à une charge QQ : Q1=0,06 mCQ1=0,06\ \text{mC} et Q2=0,15 mCQ_2=0,15\ \text{mC}. Nous avons alors :

C=(Q2Q1)(U2U1)=(0,150,06)×103(0,50,2)=3×104 F\begin{aligned} C&= \dfrac{(Q2-Q1)}{(U2-U1)}\ &= \dfrac{(0,15-0,06) \times10^{-3}}{(0,5-0,2)}\ &=3\times 10^{-4}\ \text{F} \end{aligned}

Soit, C=30 mFC = 30\ \text{mF}.

Nous avons montré qu’il était possible de charger ou de décharger un condensateur. Nous allons maintenant décrire l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur au cours de sa charge et de sa décharge dans un circuit RCRC série.

Circuit RCRC série : charge du condensateur

Considérons le montage en série suivant associant une résistance RR et un condensateur de capacité CC.

Img-06 : Circuit de charge d’un condensateur

Essayons d’exprimer la tension aux bornes du condensateur UC(t)U_C(t) en fonction du temps tt.

On sait que, i(t)=dqA(t)dti(t) = \dfrac{dq_A(t)}{dt}

Et en outre nous avons montré que, qA(t)=C×UC(t)qA(t) = C \times UC(t)

  • De ces deux expressions nous pouvons exprimer l’intensité i(t)i(t) de la façon suivante :

i(t)=dqA(t)dt=d(CUc(t))dt\begin{aligned}i(t)&= \dfrac{dqA(t)}{dt}\ &=\dfrac{d(CUc(t))}{dt}\end{aligned}

Soit, i(t)=CdUc(t)dt (1)i(t) = C \dfrac{dU_c(t)}{dt}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(1)}}}

  • La loi d’additivité des tensions nous permet d’écrire :

UR(t)+UC(t)=EUR(t) + UC(t) = E

  • Or, selon la loi d’Ohm, nous pouvons écrire :

Ri(t)+UC(t)=E (2)Ri(t) + U_C(t) = E\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}

  • On peut alors réécrire l’expression (2)(2) :

RCdUc(t)dt+UC(t)=E (2)RC \dfrac{dUc(t)}{dt}+ UC(t) = E\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}

  • Divisons maintenant chaque membre de cette égalité par RCRC :

dUc(t)dt+Uc(t)RC=ERC\dfrac{dUc(t)}{dt}+\dfrac{Uc(t)}{RC}=\dfrac{E}{RC}

  • Ensuite, posons τ\tau, la constante de temps caractéristique, telle que τ=RC\tau= RC.

dUc(t)dt+Uc(t)τ=Eτ\dfrac{dUc(t)}{dt}+\dfrac{Uc(t)}{\tau}=\dfrac{E}{\tau}

  • L’équation obtenue est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants avec un second membre.
  • La solution de cette équation différentielle est la somme de deux solutions :
  • Uc1(t)=ketτU_{c1}(t) = k e^{\frac{-t}{\tau}}, solution de l’équation sans second membre avec kk une constante à déterminer ;
  • Uc2(t)=EU_{c2}(t) = E, solution particulière de l’équation avec second membre, avec EE la tension aux bornes du générateur.
  • La solution générale peut donc s’écrire :

Uc(t)=Uc1(t)+Uc2(t)Uc(t) = U{c1}(t) + U{c2}(t) Uc(t)=E+ketτUc(t) = E + k e^{\frac{-t}{\tau}}

Déterminons la valeur de la constante kk.
À t=0t = 0, on sait que Uc(0)=0Uc(0) = 0, donc en remplaçant tt par 00 dans l’expression précédente, on obtient : Uc(0)=E+k=0Uc(0) = E + k = 0

Soit, k=Ek = -E

  • La solution de l’équation différentielle est donc finalement :

Uc(t)=E(1etτ)U_c(t) = E(1 - e^{\frac{-t}{\tau}})

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Définition

Équation différentielle du circuit RCRC lors de sa charge :

L’équation décrivant l’évolution temporelle de la tension Uc(t)Uc(t) aux bornes d’un condensateur lors de sa charge s’écrit : Uc(t)=E(1etτ)Uc(t) = E(1 - e^{\frac{-t}{\tau}})

Avec :

  • Uc(t)U_c(t) la tension aux bornes du condensateur en V\text{V} ;
  • EE la tension aux bornes du générateur en V\text{V} ;
  • τ=RC\tau= RC la constante de temps en s\text{s}.

Img-07 : Évolution temporelle de la tension Uc(t) lors de la charge du condensateur

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À retenir

La constante de temps τ=RC\tau= RC est appelée « temps caractéristique » du circuit RCRC et s’exprime en seconde. De plus, RR s’exprime en ohm (Ω)(\Omega) et CC en farad (F)(\text{F}).

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Exemple

  • Quelle est la valeur de la tension Uc(t)U_c(t) lorsque t=τt =\tau ?

On sait que, Uc(t)=E(1etτ)U_c(t) = E(1 - e^{\frac{-t}{\tau}})

Si t=τt = \tau alors, Uc(τ)=E(1e1)0,63EU_c(\tau) = E(1 - e^{-1}) \approx 0,63E

Lorsque tt est égal au temps caractéristique τ\tau du circuit RCRC, alors la valeur de UcU_c à cet instant avoisine 63 %63\ \% de la valeur de la tension du générateur.

  • La tension aux bornes d’un condensateur au cours de sa charge est Uc=8,0 VU_c = 8,0\ \text{V} lorsque t=τt =\tau.

Quelle est la valeur de la tension EE du générateur ?
On sait d’après la question 11 que si t=τt =\tau, alors Uc0,63EUc\approx 0,63E.
Donc, E=Uc0,63E =\dfrac{U
c}{0,63}

Soit, E=80,6313 VE =\dfrac{8}{0,63}\approx 13\ \text{V}

Circuit RCRC série : décharge du condensateur

Considérons le circuit suivant mettant en jeu une résistance RR et un condensateur initialement chargé montés en série. Dans ce cas, Uc=EUc=E à t=0t=0 (avant la décharge).

Img-08 : Circuit de décharge d’un condensateur

Essayons d’exprimer la tension aux bornes du condensateur UC(t)U_C(t) en fonction du temps tt.

On sait que, i(t)=dqA(t)dti(t) = \dfrac{dq_A(t)}{dt}

Et en outre nous avons montré que, qA(t)=C×UC(t)qA(t) = C \times UC(t)

  • De ces deux expressions nous pouvons exprimer l’intensité i(t) de la façon suivante :

i(t)=dqA(t)dt=d(CUc(t))dt\begin{aligned}i(t)&= \dfrac{dqA(t)}{dt}\ &=\dfrac{d(CUc(t))}{dt}\end{aligned}

Soit, i(t)=CdUc(t)dt (1)i(t) = C \dfrac{dU_c(t)}{dt}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(1)}}}

  • La loi d’additivité des tensions nous permet d’écrire : UR(t)+UC(t)=0UR(t) + UC(t) = 0
  • Or, selon la loi d’Ohm, nous pouvons écrire : Ri(t)+UC(t)=0 (2)Ri(t) + U_C(t) = 0\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}
  • On peut alors réécrire l’expression (2)(2) :

RCdUc(t)dt+UC(t)=0 (2)RC \dfrac{dUc(t)}{dt}+ UC(t) = 0\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(2)}}}

  • Divisons maintenant chaque membre de cette égalité par RCRC : dUc(t)dt+Uc(t)RC=0\dfrac{dUc(t)}{dt}+\dfrac{Uc(t)}{RC}=0
  • Ensuite, posons τ\tau, la constante de temps caractéristique, telle que τ=RC\tau= RC. dUc(t)dt+Uc(t)τ=0\dfrac{dUc(t)}{dt}+\dfrac{Uc(t)}{\tau}=0
  • L’équation obtenue est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre.
  • La solution de cette équation est Uc(t)=ketτU_c(t) = k e^\frac{-t}{\tau}, avec kk une constante à déterminer.

Déterminons la valeur de la constante kk.
On sait qu’à l’instant t=0t = 0, nous avons Uc(0)=EUc(0) = E puisque le condensateur était chargé. On en déduit alors :
Uc(0)=k=EU
c(0) = k = E

  • La solution générale de l’équation peut enfin s’écrire :

Uc(t)=EetτU_c(t) = E e^\frac{-t}{\tau}

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Définition

Équation différentielle du circuit RCRC lors de sa décharge :

L’équation décrivant l’évolution temporelle de la tension Uc(t)Uc(t) aux bornes d’un condensateur lors de sa décharge s’écrit : Uc(t)=EetτUc(t) = E e^\frac{-t}{\tau}

Avec :

  • Uc(t)U_c(t) la tension aux bornes du condensateur en V\text{V} ;
  • EE la tension aux bornes du générateur en V\text{V} ;
  • τ=RC\tau= RC la constante de temps en s\text{s}.

Img-09 : Évolution temporelle de la tension Uc(t) lors de la décharge du condensateur

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Exemple

Quelle est la valeur de la tension Uc(t)U_c(t) lorsque t=τt = \tau ?

On sait que, Uc(t)=EetτU_c(t) = E e^\frac{-t}{\tau}

Si t=τt =\tau alors,
Uc(τ)=E×e10,36EU_c (\tau) = E \times e^{-1}\approx 0,36E

Lorsque tt est égal au temps caractéristique τ\tau du circuit RCRC, alors la valeur de UcU_c à cet instant avoisine 36 %36\ \% de la valeur de la tension du générateur.

Capteurs capacitifs

Un capteur capacitif est un condensateur ouvert utilisé comme capteur.

  • Le principe de fonctionnement, expliqué simplement, consisterait à dire que lorsqu’un objet pénètre dans la zone du capteur, on assiste à une modification du champ électrique régnant dans la zone ainsi que de la capacité du condensateur.

Img-10 : Principe d’un capteur capacitif

Ainsi, les capteurs capacitifs analysent la modification de la capacité causée par l’apparition d’un objet dans le champ électrique du condensateur.
Les capteurs capacitifs offrent plusieurs applications industrielles dont le contrôle de présence ou encore le contrôle qualité, la détection de déplacements…

Img-11 : Contrôle final sur lignes d’emballage. Emballages, contenu.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons pu aborder l’étude d’un composant électronique très courant : le condensateur.
Après avoir défini et modélisé le condensateur, nous avons pu montrer comment se produisait la charge et la décharge de ce composant électronique.
Une seconde partie de ce cours a été consacrée à l’étude du circuit RCRC série et à la description de l’évolution temporelle de la tension aux bornes du condensateur au cours de sa charge et de sa décharge dans un tel circuit.
Enfin, pour clore ce cours nous avons abordé brièvement la notion de capteur capacitif et donné quelques-unes de ses applications courantes.