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Écoulement d’un fluide incompressible

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  • La mécanique des fluides se consacre à l’étude du comportement des fluides (liquides, gaz) et des forces internes associées. Cette branche de la physique se divise en deux parties : la statique des fluides qui est l’étude des fluides au repos et la dynamique des fluides, qui traite de l’étude de fluides en mouvement.

Poussée d’Archimède

  • Chaque portion de la surface d’un corps totalement immergé dans un fluide au repos, dans le champ de pesanteur uniforme, subit une force pressante Fp\vec F_p exercée par le fluide qui l’entoure.
  • La poussée d’Archimède, notée Π\vec{\Pi}, est la somme des forces pressantes exercées par le fluide au repos sur le corps totalement immergé dans ce fluide : Π=Pfluide\vec{\Pi}= - \vec{P}_{\text{fluide}}
  • La pression étant plus forte sur la partie inférieure du corps immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte la poussée d’Archimède.
  • Caractéristique de la poussée d’Archimède Π\vec{\Pi} :
  • point d’application : centre de masse du fluide déplacé ;
  • direction : verticale ;
  • sens : ascendant ;
  • norme : égale à celle du liquide déplacé, soit : Π=ρfluide×Vfluide×g \Pi= \rho{\text{fluide}} \times V{\text{fluide}} \times \text{g}.

Écoulement d’un fluide en régime permanent

  • Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons notre étude aux écoulements non tourbillonnaires en régime permanent, indépendant du temps, de fluides parfaits et incompressibles.

Débit volumique et conservation

  • Le débit volumique DVD_\text{V} (exprimé en m3s1\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}) d’un fluide parfait et incompressible, en écoulement permanent, indépendant du temps, est le volume de fluide qui traverse une section droite par unité de temps.

DV=S×vD_\text{V}= S \times v

  • Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, le débit volumique se conserve en tout point de la conduite.
  • Si la section de la conduite diminue, alors la vitesse du fluide augmente.

Relation de Bernoulli

  • Un écoulement en régime permanent d’un fluide parfait et incompressible, soumis au champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Alt texte

  • Loi de Bernoulli : l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique ρ\rho constante vérifie la relation de Bernoulli : 12ρv2+ρgz+P=Constante\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho \text{g}z+P=\text{Constante}

Avec :

  • ρ\rho la masse volumique du fluide en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • vv la vitesse du fluide en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • zz l’altitude du fluide m\text{m} ;
  • PP la pression du fluide Pa\text{Pa} ;
  • g\text{g} l’intensité du champ de pesanteur.

Effet Venturi

  • Considérons maintenant un fluide répondant aux mêmes conditions mais qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire S1S1 possédant un étranglement de section droite d’aire S2S2. On considère deux points M1M1 et M2M2 se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.

Alt texte

D’après la relation de Bernoulli, nous pouvons écrire : 12ρv12+ρgz1+P1=12ρv22+ρgz2+P2\dfrac{1}{2}\rho v^21+\rho \text{g}z1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+\rho \text{g}z2+P2

Nous savons que la conduite est horizontale alors : z1=z2z1 = z2.

  • Ainsi, la relation de Bernoulli s’écrit :

12ρv12+P1=12ρv22+P2\dfrac{1}{2}\rho v^21+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+P2

  • Comme nous l’avons dit précédemment, il y a conservation du débit volumique donc la diminution de l’aire de la section d’aire S2S2 entraîne une vitesse d’écoulement v2v2 supérieure à v1v_1.

Donc, 12ρv22>12ρv12\dfrac{1}{2}\rho v^22 > \dfrac{1}{2}\rho v^21

Ainsi, nous pouvons en déduire que la pression P2P2 est inférieure à P1P1. Soit,

12ρv22>12ρv12P2<P1\dfrac{1}{2}\rho v^22 > \dfrac{1}{2}\rho v^21 \Rightarrow P2 1

  • Il se forme alors une dépression .
  • L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Alors le fluide subit une dépression.