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Écoulement d’un fluide incompressible
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Introduction :
La mécanique des fluides se consacre à l’étude du comportement des fluides (liquide, gaz) et des forces internes associées. Cette branche de la physique se divise en deux parties :
Dans une première partie, nous nous intéressons aux résultantes des forces que peuvent subir des objets au contact d’un fluide au repos et développons le cas particulier bien connu de la poussée d’Archimède.
La seconde partie du cours traite des fluides en mouvement. Après avoir exposé les limitations de notre programme, nous définissons plus précisément une grandeur : le débit volumique, et montrons dans quelles conditions ce dernier se conserve.
Enfin, la dernière partie permet d’exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides : la relation de Bernoulli, ainsi qu’une conséquence directe de cette relation que l’on rencontre très souvent dans la vie courante : l’effet Venturi.
Qu’est-ce que la poussée d’Archimède ?
Nous avons tous entendu parler de la poussée d’Archimède, de la fameuse légende du « Eurêka » crié par ce savant grec du IIIe siècle av. J.-C., lorsqu’il comprit les forces qui agissaient sur un corps plongé dans un fluide.
Nous savons maintenant que cette poussée, par exemple, permet aux bateaux de flotter, aux montgolfières de s’élever dans les airs, ou explique pourquoi on rencontre une résistance quand on essaie d’atteindre le fond d’une piscine.
Mais savons-nous quelle est l’origine de cette force ? comment la déterminer ? C’est ce que nous allons voir dans cette première partie, à travers un exemple.
Origine de la poussée d’Archimède
Un fluide est incompressible si son volume reste constant malgré les forces extérieures qui s’exercent sur lui. Sa masse volumique est donc constante et ne dépend pas de la pression qui s’y exerce.
Afin de mieux comprendre son origine, considérons tout d’abord un solide dans les conditions suivantes :
En classe de première, nous avons appris qu’un fluide au repos exerce, sur chaque petite surface du solide, une force pressante , normale à cette surface d’aire et d’intensité : , où est la pression du fluide à l’altitude considérée.
Intéressons-nous à la résultante des forces de pression que le fluide exerce sur l’ensemble des faces du cube, c’est-à-dire à la somme des forces qui s’exercent sur ses faces latérales, inférieure et supérieure.
Regardons une vue en coupe du dessus du cube, par exemple à l’altitude :
Nous voyons que les forces pressantes qui s’exercent sur des faces opposées se compensent deux à deux.
Idem aux altitudes et : l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur, mais, à une altitude égale, elles se compensent deux à deux.
Et il en va de même sur toute la hauteur du cube.
Chaque portion de la face inférieure est à la même altitude et est soumise à la même pression . De plus, la force pressante qui s’exerce sur cette face est verticale et orientée vers le haut, soit dans le même sens que .
De la même façon, la force qui s’exerce sur la face supérieure, aussi d’aire , placée à l’altitude et soumise à une pression , est orientée vers le bas, soit dans le sens contraire à , et s’écrit :
La résultante s’écrit donc comme la somme des forces pressantes que nous venons d’établir :
Or, la loi fondamentale de la statique des fluides, aussi vue en première, nous dit que :
En remplaçant par cette expression, nous obtenons :
Comme , nous obtenons :
Le solide, complètement immergé, a déplacé un volume de fluide égal à son volume . D’où :
Le produit de la masse volumique par le volume de fluide déplacé donne la masse de fluide déplacé :
Nous venons d’établir que, dans le cas particulier d’un solide de forme cubique, la résultante des forces pressantes est une force opposée au poids du volume de fluide déplacé : de direction verticale, orientée vers le haut et de même intensité.
Elle est due, comme nous l’avons vu, à une différence de pression entre la partie inférieure du solide et sa partie supérieure.
Expression de la poussée d’Archimède
Le résultat obtenu dans la partie précédente avec un solide cubique se généralise à tout solide, quelle que soit sa forme.
Théorème d’Archimède :
« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. »
Et nous pouvons aussi donner l’expression vectorielle de la poussée d’Archimède, si le fluide considéré est incompressible.
Dans un champ de pesanteur uniforme , soit un solide plongé dans un fluide incompressible de masse volumique . est le volume de la partie immergée du solide.
La poussée d’Archimède est alors égale à :
Avec :
Remarquons que la poussée d’Archimède ne dépend que de la masse volumique du fluide, du volume immergé et du champ de pesanteur.
Si la valeur du poids d’un corps immergé est inférieure à celle de la poussée d’Archimède, alors le corps remontera à la surface et « flottera ». Dans le cas contraire, il « coulera ».
Dans le champ de pesanteur terrestre (), on plonge complètement dans de l’eau de mer, de masse volumique , deux boules (pleines) en bois, de même rayon :
Écoulement d’un fluide en régime permanent
Limitations du programme
La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés.
Par souci de simplification, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquels les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent à des vitesses différentes.
Fluide parfait :
Un fluide parfait est un fluide de viscosité nulle dont l’écoulement se fait sans frottement interne.
Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.
Régime d’écoulement permanent indépendant du temps :
Un régime d’écoulement est dit permanent indépendant du temps, ou stationnaire, si, en une position donnée, la vitesse d’écoulement reste constante au cours du temps.
Conservation du débit volumique
Considérons un fluide incompressible qui s’écoule, en régime permanent indépendant du temps, dans une canalisation (représentée ci-dessous).
Pour étudier l’écoulement de ce fluide, nous considérons de tout petits volumes élémentaires, des cubes par exemple, que nous appelons particules de fluide.
Une particule de fluide en mouvement suit alors, en régime permanent, une trajectoire appelée ligne de courant et son vecteur vitesse est tangent, à tout instant, à la ligne de courant.
Imaginons maintenant une section droite de la conduite, appelée surface de contrôle, dont on note l’aire .
Pendant une durée , un volume de fluide traverse cette surface.
Débit volumique :
Soit le volume de fluide qui s’écoule à travers la surface de contrôle pendant une durée .
Le débit volumique, noté , est le volume de fluide qui traverse la surface de contrôle par unité de temps. Il est donné par la formule :
Avec :
Pour l’écoulement dans notre conduite, la vitesse des particules de fluide est uniforme sur toute la section droite.
Pendant une durée , le fluide qui traverse la section droite parcourt donc une distance .
Le volume de fluide, dans notre cas, est égal au produit de l’aire par la longueur : .
Or, , soit le quotient de la distance parcourue par la durée, c’est la vitesse d’écoulement du fluide.
Le débit volumique est ainsi égal au produit de l’aire de la section droite par la vitesse d’écoulement du fluide :
Avec :
Maintenant que nous avons défini le débit volumique et que nous avons les formules pour le calculer, nous pouvons donner une propriété importante : la conservation du débit volumique.
Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, indépendant du temps, le débit volumique se conserve.
Nous en tirons une conséquence immédiate : si un fluide s’écoule en régime permanent indépendant du temps dans une conduite de section variable, alors les vitesses d’écoulement ne sont pas égales.
En effet, à partir de la formule du débit volumique, nous pouvons écrire :
est une constante.
On s’intéresse à une conduite cylindrique qui se rétrécit, dans laquelle circule de l’eau :
Conservation du débit volumique et vitesses d’écoulement
On considère que l’eau est un fluide parfait et incompressible et que l’écoulement se fait en régime permanent.
Il y a conservation du débit volumique . On a donc, avec et , les aires respectives des sections 1 et 2 :
La conduite étant cylindrique, les sections sont des disques. On obtient ainsi :
On peut aussi préciser la valeur du débit volumique :
Dans l’exemple précédent, on peut aussi remarquer que le rayon de la section 2 est fois plus petit que celui de la section 1. L’aire est donc fois plus petite que .
Relation de Bernoulli et effet Venturi
Relation de Bernoulli
Relation de Bernoulli :
On considère l’écoulement, en régime permanent indépendant du temps, d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique constante.
Soit et deux points situés sur une même ligne de courant. On a alors :
Avec :
En considérant la relation de Bernoulli :
Précisons que :
Si le fluide est au repos, la vitesse d’écoulement est nulle. On s’aperçoit alors que l’on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides.
Effet Venturi
Considérons maintenant un fluide répondant aux mêmes conditions mais qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire possédant un étranglement de section droite d’aire . On considère deux points et se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.
D’après la relation de Bernoulli, nous pouvons écrire :
Nous savons que la conduite est horizontale alors : .
Ainsi, nous pouvons en déduire que la pression est inférieure à :
L’effet Venturi est une conséquence de la relation de Bernoulli et de la loi de conservation du débit volumique.
Effet Venturi :
L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Le fluide subit alors une dépression.
Prenons un exemple afin de mieux comprendre cet effet.
La trompe à eau est un dispositif utilisé en chimie pour réaliser des filtrations ou des distillations sous pression réduite. Elle permet d’avoir une dépression par effet Venturi. Nous branchons la trompe à un robinet afin de faire circuler l’eau dans une canalisation cylindrique dont le diamètre diminue :
Nous allons étudier son principe.
Données
Au point , on a : , soit : , avec :
Dans les conditions données, on peut appliquer la relation de Bernoulli, avec et les pressions respectives en et :
Cette relation nous permet d’exprimer la différence de pression :
Nous avons calculé les valeurs de et .
Nous ne connaissons pas les altitudes et , mais nous connaissons leur différence : , et cela nous suffit.
est négatif, la pression en est donc inférieure à celle en .
En travaux pratiques, lorsqu’on réalise une filtration sous vide, la trompe à eau est reliée à un entonnoir de Büchner. Le liquide présent dans l’entonnoir est aspiré et la filtration se fait plus rapidement. Ce dispositif permet, par exemple, de séparer le solide et le liquide, et donc de sécher le solide plus rapidement.
L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages matériels comme l’arrachement des toitures.