Cours : Écoulement d’un fluide incompressible

Poussée d’Archimède

Origine de la poussée d’Archimède

Considérons un corps totalement immergé dans un fluide au repos, dans le champ de pesanteur uniforme. Chaque portion de la surface de ce corps immergé subit une force pressante $\vec F_p$ exercée par le fluide qui l’entoure.

Or, on sait que d’après la loi fondamentale de la statique des fluides, vue en première, l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur d’immersion.

• Ainsi, $\vec F$1F1​ est supérieure à $\vec F$2.

Rappel

La loi de la statique des fluides décrit l’évolution de la pression en fonction de l’altitude.
Pour un fluide incompressible de masse volumique $\rho$, avec $\text g$ la constante de pesanteur, la différence entre les pressions mesurées à deux altitudes $z$1z1​ et $z$2 s’écrit : $P(z$1)-P(z2)=\text g\times\rho\times(z2-z1)

D’après l’image ci-dessus, les forces pressantes latérales $\vec F$3F3​ sont égales, car elles sont appliquées sur une même ligne horizontale et se compensent. Tandis que la force pressante au bas $\vec F$1 sera supérieure à la force pressante en haut $\vec F_2$.

À retenir

La force $\vec{\Pi}$, appelée poussée d’Archimède est alors la somme des forces pressantes exercées par le fluide au repos sur le corps totalement immergé dans ce fluide.

Après avoir expliqué l’origine de la poussée d’Archimède, nous allons maintenant en donner une expression vectorielle.

Expression de la poussée d’Archimède

Remarquons bien qu’un corps totalement immergé déplace un volume de fluide égal à son propre volume.

Comme nous l’avions indiqué, la pression étant plus forte sur la partie inférieure du corps immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte alors une poussée globalement verticale ascendante : la poussée d’Archimède.

Définition

Théorème d’Archimède :

La poussée exercée par un fluide au repos sur un corps immergé, en partie ou entièrement, est une force verticale égale et directement opposée au poids du volume de fluide déplacé. Elle est portée par une droite passant par le centre de masse du fluide déplacé.
La poussée d’Archimède, notée $\vec{\Pi}$, s’exprime ainsi :

$\vec{\Pi}= - \vec{P}${\text{fluide}} = - m{\text{fluide}}\cdot \vec{{\text{g}}} = - \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot \vec{{\text{g}}}

De module : $\Pi= \rho${\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot {\text{g}}

Avec :

• $m_{\text{fluide}}$ la masse du fluide déplacé en $\text{kg}$ ;
• $\rho_{\text{fluide}}$ la masse volumique de fluide déplacé en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• $V_{\text{fluide}}$ le volume de fluide déplacé $\text{m}^3$ ;
• ${\text{g}}$ l’intensité de la pesanteur, ${\text{g}} = 9,81\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$.

Exercice d’application

Considérons un iceberg de volume $V$ dont la proportion du volume imergé est égale à $80\ \%$. On donne les masses volumiques de l’eau de mer en surface et de l’air :
$\rho${\text{eau}}=1,03\ \text{kg}\cdot \text{L}^{-1}ρeau​=1,03 kg⋅L−1 et $\rho${\text{air}} = 1,30\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}.

Comparons la poussée d’Archimède due à l’action de l’eau à celle due à l’action de l’air.

La poussée d’Archimède due à l’action de l’air s’écrit : $\Pi${\text{air}} = \rho{air} \times V_{\text{air déplacé}} \times {\text{g}}

La poussée d’Archimède due à l’action de l’eau s’écrit : $\Pi${\text{eau}} = \rho{\text{eau}} \times V_{\text{eau déplacé}} \times {\text{g}}

• Le rapport des deux poussées s’écrit :

$\begin{aligned}\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times V{\text{eau déplacé}}}{ \rho{\text{air}} \times V{\text{air déplacé}}} \ &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times0,8V}{\rho{\text{air}} \times0,2V}\end{aligned}

Avec $V$, le volume total de l’iceberg.
Soit, $\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}}= \dfrac{4\rho{\text{eau}}}{\rho{\text{air}}}

Ainsi, $\begin{aligned}\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &=\dfrac{4\times1,03\times10^3}{1,30} \ &\approx 3,2\times 10^3\end{aligned}

Donc, $\boxed{\Pi${\text{eau}}=3,2\times10^3\ \Pi{\text{air}}}

• La force de poussée d’Archimède due à l’action de l’air est négligeable devant celle due à l’action de l’eau.

À retenir

Dans les exercices, la poussée d’Archimède due à l’action de l’air est très souvent négligée.

La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés.
Cependant, par souci de simplification, notre programme impose quelques limitations que nous allons maintenant détailler.

Vocabulaire et limitations du programme

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquels les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent à des vitesses différentes.

Définition

Fluide parfait :

On appelle fluide parfait, un fluide de viscosité nulle dont l’écoulement se fait sans frottement interne.

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.

Définition

Fluide incompressible :

Un fluide est dit incompressible si son volume reste constant malgré les forces extérieures qui s’exercent sur lui. Ainsi, sa masse volumique $\rho$ est constante et ne dépend donc pas de la pression qui s’y exerce.

• De plus, l’écoulement étudié sera supposé non tourbillonnaire et en régime permanent.

Considérons un fluide en mouvement dans lequel nous délimitons un petit volume et observons le mouvement de ce petit volume de fluide par rapport à notre référentiel.

Si cette portion de fluide tourne par rapport à notre référentiel, nous pouvons dire que le fluide a un mouvement tourbillonnaire.

Définition

Régime d’écoulement permanent indépendant du temps :

Un régime d’écoulement est dit permanent, indépendant du temps, ou stationnaire si la vitesse en tout point du fluide a une valeur constante au cours du temps.

• En résumé, nous limiterons notre étude aux écoulements non tourbillonnaires en régime permanent, indépendant du temps, de fluides parfaits et incompressibles.

Écoulement d’un fluide en régime permanent

Débit volumique

Supposons une conduite dans laquelle s’écoule un fluide qui répond aux caractéristiques énoncées précédemment.

À retenir

Pour étudier l’écoulement de ce fluide, nous considérons de tout petits volumes élémentaires, des cubes par exemple, qu’on appelle particules de fluide.
Une particule de fluide suit alors une trajectoire appelée ligne de courant et son vecteur vitesse est tangent, à tout instant, à la ligne de courant.

Dans notre situation, la vitesse d’écoulement est indépendante du temps : en un point, elle reste constante à tout instant.

• Attention, cela ne signifie pas que la vitesse d’une même particule sera toujours la même.

Dans cette conduite, imaginons une section droite d’aire $S$ avec un volume $V$ de fluide qui la traverse et se déplaçant sur une distance $l$, à une vitesse $v$ constante, pendant une durée $\Delta t$.

On considère le volume de fluide ($\text{m}^3$) qui traverse la section d’aire $S$ pendant une durée $\Delta t$ : $V = S\times l$

Avec $l$ la distance parcourue par le fluide.

Ainsi, le débit volumique $D_\text{V}$ d’un fluide à travers une section droite d’aire $S$ et de volume $V$ de fluide qui la traverse par unité de temps s’écrit :

$\begin{aligned}D_\text{V} &= \dfrac{V}{\Delta t} \ &=\dfrac{S\times l}{\Delta t}\end{aligned}$

Enfin, on définit la vitesse d’écoulement ($\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$) de ce fluide par la distance $l$ qu’il parcourt pendant une durée $\Delta t$ : $v=\dfrac{l}{\Delta t}$

Alors, $D_\text{V} = S \times v$

Définition

Débit volumique :

On appelle débit volumique $D$\text{V}DV​ d’un fluide parfait et incompressible, en écoulement permanent, indépendant du temps, le volume de fluide qui traverse une section droite par unité de temps. $D$\text{V}= S \times v Avec :

• $D_\text{V}$ le débit volumique en $\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $S$ l’aire de la section droite de la conduite en $\text{m}^2$ ;
• $v$ la vitesse du fluide en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.

Conservation du débit volumique

Supposons maintenant une conduite de section variable. Imaginons alors une section droite d’aire $S$1S1​ avec un volume $V$1 de fluide qui la traverse pendant une durée $\Delta t$.

Le volume $V$2V2​ de fluide qui traverse la section droite d’aire $S$2 pendant une durée $\Delta t$ est conservé.

À retenir

Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, le débit volumique se conserve en tout point de la conduite.

Alors, si la section de la conduite diminue, nous pouvons écrire : $\boxed{D${\text{V}1} = D{\text{V}2}}

Ou encore : $S$1 \times V1 = S2 \times V2

Sachant que la section droite d’aire $S$2S2​ est plus petite que $S$1, la vitesse d’écoulement $v$2v2​ est plus grande que $v$1.

$S$2 < S1 \Rightarrow v2>v1

À retenir

Si la section de la conduite diminue, alors la vitesse du fluide augmente.

Relation de Bernoulli et effet Venturi

Relation de Bernoulli

Considérons un écoulement en régime permanent, indépendant du temps, d’un fluide parfait et incompressible, de masse volumique $\rho$ dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Définition

Loi de Bernoulli :

L'écoulement d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique $\rho$ constante vérifie la relation de Bernoulli : $\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho \text{g}z+P=\text{Constante}$

Avec :

• $\rho$ la masse volumique du fluide en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• $v$ la vitesse du fluide en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $z$ l’altitude du fluide $\text{m}$ ;
• $P$ la pression du fluide $\text{Pa}$ ;
• $\text{g}$ l’intensité du champ de pesanteur.

Observons l’écoulement d’un fluide entre les points $M$1M1​ et $M$2 appartenant à la même ligne de courant, aux conditions exprimées précédemment.

Donc, dans la conduite ci-dessus, la relation de Bernoulli s’écrit : $\dfrac{1}{2}\rho v^2$1+\rho \text{g}z1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+\rho \text{g}z2+P2

Astuce

Si le fluide est au repos, la vitesse d’écoulement est nulle. On s’aperçoit alors que l’on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides. La vitesse d’écoulement est alors nulle.

La relation de Bernoulli traduit une conservation d’énergie d’un fluide incompressible le long d’une même ligne de courant d’une conduite. Cette énergie se décompose en trois catégories :

• l’énergie cinétique d’une particule de fluide vaut :

$E_c=\dfrac 1 2 m v^2$

• l’énergie potentielle de pesanteur d’une particule de fluide vaut :

$E_{pp}=m \text{g} z$

• l’énergie de pression d’une particule de fluide est également une énergie qui est associée aux forces pressantes.

Divisons nos termes par un volume $V$ afin de trouver une énergie par unité de volume.
Nous obtenons une énergie volumique qui est la somme de :

• de l’énergie cinétique volumique, qui s’exprime en $\text{J}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• de l’énergie potentielle de pesanteur volumique, qui s’exprime en $\text{J}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• de l’énergie volumique due aux forces pressantes, qui s’exprime en $\text{J}\cdot \text{m}^{-3}$.

• La relation de Bernoulli traduit donc une conservation d’énergie volumique.

Effet Venturi

Considérons maintenant un fluide répondant aux mêmes conditions mais qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire $S$1S1​ possédant un étranglement de section droite d’aire $S$2. On considère deux points $M$1M1​ et $M$2 se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.

D’après la relation de Bernoulli, nous pouvons écrire : $\dfrac{1}{2}\rho v^2$1+\rho \text{g}z1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+\rho \text{g}z2+P2

Nous savons que la conduite est horizontale alors : $z$1 = z2.

• Ainsi, la relation de Bernoulli s’écrit :

$\dfrac{1}{2}\rho v^2$1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+P2

• Comme nous l’avons dit précédemment, il y a conservation du débit volumique donc la diminution de l’aire de la section d’aire $S$2S2​ entraîne une vitesse d’écoulement $v$2 supérieure à $v_1$.

Donc, $\dfrac{1}{2}\rho v^2$2 > \dfrac{1}{2}\rho v^21

Ainsi, nous pouvons en déduire que la pression $P$2P2​ est inférieure à $P$1. Soit,

$\dfrac{1}{2}\rho v^2$2 > \dfrac{1}{2}\rho v^21 \Rightarrow P2 121​ρv22​>21​ρv12​⇒P2​<P1​

• Il se forme alors une dépression .

L’effet Venturi est une conséquence de la relation de Bernoulli mais également de la loi de conservation du débit volumique.

Définition

Effet Venturi :

L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Alors le fluide subit une dépression.

L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages comme l’arrachement des toitures.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons pu aborder deux aspects essentiels de la mécanique des fluides à savoir la statique des fluides et la dynamique des fluides.

L’étude des fluides au repos nous a permis de mieux comprendre l’origine d’une propriété physique bien connue, mais pas toujours bien comprise : la poussée d’Archimède.
Enfin, tout en gardant à l’esprit que ce cours est limité par les contraintes imposées par notre programme, nous avons pu exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides : la relation de Bernoulli. Ainsi qu’une de ses conséquences : l’effet Venturi. Cette dernière peut parfois provoquer, comme nous l’avons vu, des dommages matériels.