Cours : Écoulement d’un fluide incompressible

Poussée d’Archimède

Origine de la poussée d’Archimède

Considérons un corps totalement immergé dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur uniforme. Chaque portion de la surface de ce corps immergé subit une force pressante $\vec F_p$ exercée par le fluide qui l’entoure.

Or, on sait d’après la loi fondamentale de la statique des fluides, vue en première, que l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur d’immersion. Ainsi $F$1F1​ est supérieure à $F$2.

Rappel

La loi de la statique des fluides décrit l’évolution de la pression en fonction de l’altitude.
Pour un fluide incompressible de masse volumique $\rho$, avec $g$ la constante de pesanteur, la différence entre les pressions mesurées à deux altitudes $z$1z1​ et $z$2 s’écrit : $P(z$1)-P(z2)=g\times\rho\times(z2-z1)

D’après l’image ci-dessus, les forces pressantes latérales $\vec F$3F3​ sont égales, car elles sont appliquées sur une même ligne horizontale et se compensent. Tandis que la force pressante au bas $\vec F$1 sera supérieure à la force pressante en haut $\vec F_2$.

À retenir

La force $\vec{\Pi}$, appelée poussée d’Archimède est alors la somme des forces pressantes exercées par le fluide au repos sur le corps totalement immergé dans ce fluide.

Après avoir expliqué l’origine de la poussée d’Archimède, nous allons maintenant en donner une expression vectorielle.

Expression de la poussée d’Archimède

Remarquons bien qu’un corps totalement immergé déplace un volume de fluide égal à son propre volume.

Comme nous l’avions indiqué, la pression étant plus forte sur la partie inférieure du corps immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte alors une poussée globalement verticale ascendante : la poussée d’Archimède.

Définition

Théorème d’Archimède :

La poussée exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est une force verticale, égale et directement opposée au poids du fluide déplacé. Elle portée par une droite passant par le centre de masse du fluide déplacé.
La poussée d’Archimède notée $\vec{\Pi}$ s’exprime ainsi :

$\vec{\Pi}= - \vec{P}${\text{fluide}} = - m{\text{fluide}}\cdot \vec{{\text{g}}} = - \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot \vec{{\text{g}}}

De module : $\Pi= \rho${\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot {\text{g}}

Avec :

• $m_{\text{fluide}}$ la masse du fluide déplacé en $\text{kg}$ ;
• $\rho_{\text{fluide}}$ la masse volumique de fluide déplacé en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• $V_{\text{fluide}}$ le volume de fluide déplacé $\text{m}^3$ ;
• ${\text{g}}$ l’intensité de la pesanteur, ${\text{g}} = 9,81\ \text{m}\ \text{s}^{-2}$.

Exercice d’application

Considérons un iceberg de volume $V$ dont la proportion du volume imergé est égale à $80\ \%$. On donne les masses volumiques de l’eau de mer en surface et de l’air : $\rho${\text{eau}}=1,03\ \text{kg}\cdot \text{L}^{-1}ρeau​=1,03 kg⋅L−1 et $\rho${\text{air}} = 1,30\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}.

Comparer la poussée d’Archimèdedue à l’action de l’eau à celle due à l’action de l’air.

La poussée d’Archimède due à l’action de l’air s’écrit : $\Pi${\text{air}} = \rho{air} \times V_{\text{air déplacé}} \times g

La poussée d’Archimède due à l’action de l’eau s’écrit : $\Pi${\text{eau}} = \rho{\text{eau}} \times V_{\text{eau déplacé}} \times g

• Le rapport des deux poussées s’écrit :

$\begin{aligned}\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times V{\text{eau déplacé}}}{ \rho{\text{air}} \times V{\text{air déplacé}}} \ &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times0,8V}{\rho{\text{air}} \times0,2V}\end{aligned}

Avec $V$ est le volume total de l’iceberg.
Soit, $\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}}= \dfrac{4\rho{\text{eau}}}{\rho{\text{air}}}

Ainsi, $\begin{aligned}\dfrac{\Pi${\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &=\dfrac{4\times1,03\times10^3}{1,30} \ &\approx 3,2\times 10^3\end{aligned}

Donc, $\boxed{\Pi${\text{eau}}=3,2\times10^3\ \Pi{\text{air}}}

• La force de poussée d’Archimède due à l’action de l’air est négligeable devant celle due à l’action de l’eau.

À retenir

Dans les exercices, la poussée d’Archimède due à l’action de l’air est très souvent négligée.

La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés. Cependant, par souci de simplification notre programme impose quelques limitations que nous allons maintenant détailler.

Fluide en écoulement

Limitations du programme

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquelles les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent selon une même direction mais à des vitesses différentes.

Définition

Fluide parfait :

On appelle fluide parfait, un fluide dont l’écoulement se fait sans frottement interne.

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.

Définition

Fluide incompressible :

Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique $\rho$ est constante.

• De plus, l’écoulement étudié sera supposé non tourbillonnaire et en régime permanent.

Considérons un fluide en mouvement dans lequel nous délimitons un petit volume et observons le mouvement de ce petit volume de fluide par rapport à notre référentiel.

Si cette portion de fluide tourne par rapport à notre référentiel, nous pouvons, ainsi, dire que le fluide a un mouvement tourbillonnaire.

Définition

Régime d’écoulement permanent :

Un régime d’écoulement est dit permanent ou stationnaire si la vitesse en tout point du fluide a une valeur constante.

• En résumé, nous limiterons donc notre étude aux écoulements non tourbillonnaires en régime permanent de fluides parfaits et incompressibles.

Conservation de la masse et du débit volumique

Supposons une conduite de section $S$ dans laquelle s’écoule un fluide qui répond aux caractéristiques énoncées précédemment.
Isolons par la pensée, une portion de fluide de section $S$ se déplaçant à une vitesse $v$ constante. Le volume de fluide, en $\text{m}^3$, qui s’écoule pendant un temps $\Delta t$ est : $V = S\times d$

La vitesse d’écoulement, en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$, de ce fluide peut s’écrire : $v=\dfrac{d}{\Delta t}$

On appelle débit volumique $D$VDV​ à travers une surface $S$, le volume de fluide qui traverse cette surface par unité de temps : $\begin{aligned}D$V &= \dfrac{V}{\Delta t} \ &=\dfrac{S\times d}{\Delta t}\end{aligned}

Soit, $D_V = S \times v$

Définition

Débit volumique :

On appelle débit volumique $D$VDV​ à travers une surface $S$, le volume de fluide qui traverse cette surface par unité de temps. $D$V= S \times v Avec :

• $D_V$ le débit volumique en $\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $S$ la section de la conduite en $\text{m}^2$ ;
• $v$ la vitesse du fluide en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$.

Supposons maintenant une conduite de section variable. Suivons par la pensée une portion de fluide de volume $V$1V1​ et de section $S$1. Lorsque le diamètre de la conduite se rétrécit, la masse $m$ de fluide est bien entendu inchangée.

Or, le fluide étant par hypothèse incompressible c’est-à-dire de masse volumique constante, cette condition implique que le volume $V$2V2​ de la portion de fluide de section $S$2 est conservé.
Nous avons donc : $V$1 = V2.
Soit, $S$1\times d1= S2\times d2

Avec $d$1d1​ et $d$2 les largeurs de nos deux portions de fluides.

Nous pouvons alors écrire : $S$1\times d1\times \Delta t= S2\times d2\times \Delta t

Ou encore : $S$1\times v1= S2\times v2

Soit, $D${V1} = D{V2}

À retenir

La conservation du débit volumique implique que toute conservation de la masse de fluide se traduit nécessairement par une conservation du débit volumique. $S$1\times v1= S2\times v2

La dernière partie de ce cours aura pour objet d’exposer la relation de Bernoulli admise dans le cadre de notre programme ainsi qu’une application particulière de cette relation : l’effet Venturi.

Relation de Bernoulli

Considérons un écoulement en régime permanent d’un fluide parfait et incompressible, de masse volumique $\rho$ sous l’action du champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Définition

Loi de Bernoulli :

Sur un axe $(Oz)$, nous admettons la relation suivante, dite relation de Bernoulli : $\dfrac{\rho v^2}{2}+\rho \text{g}z+p=\text{Constante}$

Avec :

• $\rho$ la masse volumique du fluide en $\text{kg}\cdot \text{m}^{-3}$ ;
• $v$ la vitesse du fluide en $\text{m}\cdot \text{s}^{-1}$ ;
• $z$ l’altitude du fluide $\text{m}$ ;
• $p$ la pression du fluide $\text{Pa}$ ;
• $\text{g}$ l’intensité du champ de pesanteur, $\text{g} = 9,81\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$.

Effet Venturi

Considérons un fluide répondant aux conditions exprimées précédemment qui s’écoule dans une conduite horizontale de section $S$1S1​ possédant un étranglement de section $S$2.

D’après la relation de Bernoulli, on peut écrire : $\dfrac{\rho v^2$1}{2}+\rho \text{g}z1+p1=\dfrac{\rho v^22}{2}+\rho\text{g}z2+p2

Nous pouvons écrire également, d’après la conservation du débit volumique : $S$1\times v1=S2\times v2

Donc, $\dfrac{S$1}{S2}=\dfrac{v2}{v1}

Or la conduite étant horizontale, nous avons : $z$1 = z2.

• La relation de Bernoulli se simplifie alors :

$\dfrac{\rho v^2$1}{2}+p1=\dfrac{\rho v^22}{2}+p2

D’où, $p$1-p2=\dfrac{\rho v^22}{2}-\dfrac{\rho v^21}{2}

$p$1-p2=\dfrac{\rho v^21}{2} \left(\left(\dfrac{v2}{v_1}\right)^2 -1\right)

En utilisant enfin la conservation du débit volumique, on peut exprimer la dépression $\Delta p$, qui correspond à la différence de pression que subit le fluide entre les positions $1$ et $2$, de la manière suivante : $\Delta p=p$1-p2

$\Delta p =\dfrac{\rho v^2$1}{2} \left(\left(\dfrac{S1}{S_2}\right)^2 -1\right)

• Nous remarquons que si $S$1 = S2, nous avons $\Delta p=0$.

En revanche, plus la section $S$2S2​ est petite devant $S$1 et plus la dépression $\Delta p$ augmente.
De même, de la conservation du débit volumique il découle que plus la section $S$2S2​ diminue et plus la vitesse du fluide $v$2 augmente.

À retenir

Propriétés de l’effet Bernoulli

La dépression est d’autant plus grande que la section de la conduite diminue.
La diminution de la section de la conduite provoque une accélération du fluide au niveau de l’étranglement.

L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages comme l’arrachement des toitures.

Application : effet Venturi

L’effet Venturi permet en effet d’expliquer l’arrachement des toitures de maisons. Lorsque le vent souffle très fort, l’air est accéléré à la surface de la toiture qui se comporte comme un goulot d’étranglement.
La dépression qui trouve naissance, à cause de l’effet Venturi, provoque alors un arrachement de la toiture.