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Écoulement d’un fluide incompressible

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Introduction :

La mécanique des fluides se consacre à l’étude du comportement des fluides (liquides, gaz) et des forces internes associées. Cette branche de la physique se divise en deux parties : la statique des fluides qui est l’étude des fluides au repos et la dynamique des fluides, qui traite de l’étude de fluides en mouvement.

Dans une première partie, nous nous intéressons aux résultantes des forces que peuvent subir des objets au contact d’un fluide au repos et développons le cas particulier bien connu de la poussée d’Archimède.
La seconde partie du cours traite des fluides en mouvement. Après avoir exposé les limitations de notre programme, nous définissons une nouvelle grandeur : le débit volumique, et montrons dans quelles conditions cette dernière se conserve.
Enfin, la dernière partie de ce cours permet d’exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides : la relation de Bernoulli, ainsi qu’une conséquence directe de cette relation que l’on rencontre très souvent dans la vie courante : l’effet Venturi.

Poussée d’Archimède

Origine de la poussée d’Archimède

Considérons un corps totalement immergé dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur uniforme. Chaque portion de la surface de ce corps immergé subit une force pressante Fp\vec F_p exercée par le fluide qui l’entoure.

Img-01 : Forces pressantes exercées par un fluide au repos sur un solide immergé

Or, on sait d’après la loi fondamentale de la statique des fluides, vue en première, que l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur d’immersion. Ainsi F1F1 est supérieure à F2F2.

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Rappel

La loi de la statique des fluides décrit l’évolution de la pression en fonction de l’altitude.
Pour un fluide incompressible de masse volumique ρ\rho, avec gg la constante de pesanteur, la différence entre les pressions mesurées à deux altitudes z1z1 et z2z2 s’écrit : P(z1)P(z2)=g×ρ×(z2z1)P(z1)-P(z2)=g\times\rho\times(z2-z1)

D’après l’image ci-dessus, les forces pressantes latérales F3\vec F3 sont égales, car elles sont appliquées sur une même ligne horizontale et se compensent. Tandis que la force pressante au bas F1\vec F1 sera supérieure à la force pressante en haut F2\vec F_2.

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À retenir

La force Π\vec{\Pi}, appelée poussée d’Archimède est alors la somme des forces pressantes exercées par le fluide au repos sur le corps totalement immergé dans ce fluide.

Après avoir expliqué l’origine de la poussée d’Archimède, nous allons maintenant en donner une expression vectorielle.

Expression de la poussée d’Archimède

Remarquons bien qu’un corps totalement immergé déplace un volume de fluide égal à son propre volume.

Img-02 : Volume de fluide déplacé par un solide totalement immergé

Comme nous l’avions indiqué, la pression étant plus forte sur la partie inférieure du corps immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte alors une poussée globalement verticale ascendante : la poussée d’Archimède.

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Définition

Théorème d’Archimède :

La poussée exercée par un fluide au repos sur un corps immergé est une force verticale, égale et directement opposée au poids du fluide déplacé. Elle portée par une droite passant par le centre de masse du fluide déplacé.
La poussée d’Archimède notée Π\vec{\Pi} s’exprime ainsi :

Π=Pfluide=mfluideg=ρfluideVfluideg\vec{\Pi}= - \vec{P}{\text{fluide}} = - m{\text{fluide}}\cdot \vec{{\text{g}}} = - \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot \vec{{\text{g}}}

De module : Π=ρfluideVfluideg \Pi= \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot {\text{g}}

Avec :

  • mfluidem_{\text{fluide}} la masse du fluide déplacé en kg\text{kg} ;
  • ρfluide\rho_{\text{fluide}} la masse volumique de fluide déplacé en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • VfluideV_{\text{fluide}} le volume de fluide déplacé m3\text{m}^3 ;
  • g{\text{g}} l’intensité de la pesanteur, g=9,81 m s2{\text{g}} = 9,81\ \text{m}\ \text{s}^{-2}.

Exercice d’application

Considérons un iceberg de volume VV dont la proportion du volume imergé est égale à 80 %80\ \%. On donne les masses volumiques de l’eau de mer en surface et de l’air : ρeau=1,03 kgL1\rho{\text{eau}}=1,03\ \text{kg}\cdot \text{L}^{-1} et ρair=1,30 kgm3\rho{\text{air}} = 1,30\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}.

Img-03

Comparer la poussée d’Archimèdedue à l’action de l’eau à celle due à l’action de l’air.

La poussée d’Archimède due à l’action de l’air s’écrit : Πair=ρair×Vair deˊplaceˊ×g \Pi{\text{air}} = \rho{air} \times V_{\text{air déplacé}} \times g

La poussée d’Archimède due à l’action de l’eau s’écrit : Πeau=ρeau×Veau deˊplaceˊ×g \Pi{\text{eau}} = \rho{\text{eau}} \times V_{\text{eau déplacé}} \times g

  • Le rapport des deux poussées s’écrit :

ΠeauΠair=ρeau×Veau deˊplaceˊρair×Vair deˊplaceˊ=ρeau×0,8Vρair×0,2V\begin{aligned}\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times V{\text{eau déplacé}}}{ \rho{\text{air}} \times V{\text{air déplacé}}} \ &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times0,8V}{\rho{\text{air}} \times0,2V}\end{aligned}

Avec VV est le volume total de l’iceberg.
Soit, ΠeauΠair=4ρeauρair\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}}= \dfrac{4\rho{\text{eau}}}{\rho{\text{air}}}

Ainsi, ΠeauΠair=4×1,03×1031,303,2×103\begin{aligned}\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &=\dfrac{4\times1,03\times10^3}{1,30} \ &\approx 3,2\times 10^3\end{aligned}

Donc, Πeau=3,2×103 Πair\boxed{\Pi{\text{eau}}=3,2\times10^3\ \Pi{\text{air}}}

  • La force de poussée d’Archimède due à l’action de l’air est négligeable devant celle due à l’action de l’eau.
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À retenir

Dans les exercices, la poussée d’Archimède due à l’action de l’air est très souvent négligée.

La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés. Cependant, par souci de simplification notre programme impose quelques limitations que nous allons maintenant détailler.

Fluide en écoulement

Limitations du programme

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquelles les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent selon une même direction mais à des vitesses différentes.

Img-04

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Définition

Fluide parfait :

On appelle fluide parfait, un fluide dont l’écoulement se fait sans frottement interne.

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.

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Définition

Fluide incompressible :

Un fluide est dit incompressible si sa masse volumique ρ\rho est constante.

  • De plus, l’écoulement étudié sera supposé non tourbillonnaire et en régime permanent.

Considérons un fluide en mouvement dans lequel nous délimitons un petit volume et observons le mouvement de ce petit volume de fluide par rapport à notre référentiel.

Si cette portion de fluide tourne par rapport à notre référentiel, nous pouvons, ainsi, dire que le fluide a un mouvement tourbillonnaire.

Img-05 : Mouvement non tourbillonnaire à gauche (translation) et tourbillonnaire à droite (rotation)

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Définition

Régime d’écoulement permanent :

Un régime d’écoulement est dit permanent ou stationnaire si la vitesse en tout point du fluide a une valeur constante.

  • En résumé, nous limiterons donc notre étude aux écoulements non tourbillonnaires en régime permanent de fluides parfaits et incompressibles.

Conservation de la masse et du débit volumique

Supposons une conduite de section SS dans laquelle s’écoule un fluide qui répond aux caractéristiques énoncées précédemment.
Isolons par la pensée, une portion de fluide de section SS se déplaçant à une vitesse vv constante. Le volume de fluide, en m3\text{m}^3, qui s’écoule pendant un temps Δt\Delta t est : V=S×dV = S\times d

La vitesse d’écoulement, en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}, de ce fluide peut s’écrire : v=dΔtv=\dfrac{d}{\Delta t}

Img-06 : Déplacement d’un fluide dans une conduite la durée delta t

On appelle débit volumique DVDV à travers une surface SS, le volume de fluide qui traverse cette surface par unité de temps : DV=VΔt=S×dΔt\begin{aligned}DV &= \dfrac{V}{\Delta t} \ &=\dfrac{S\times d}{\Delta t}\end{aligned}

Soit, DV=S×vD_V = S \times v

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Définition

Débit volumique :

On appelle débit volumique DVDV à travers une surface SS, le volume de fluide qui traverse cette surface par unité de temps. DV=S×vDV= S \times v Avec :

  • DVD_V le débit volumique en m3s1\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1} ;
  • SS la section de la conduite en m2\text{m}^2 ;
  • vv la vitesse du fluide en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.

Supposons maintenant une conduite de section variable. Suivons par la pensée une portion de fluide de volume V1V1 et de section S1S1. Lorsque le diamètre de la conduite se rétrécit, la masse mm de fluide est bien entendu inchangée.

Img-07 : Volume V de fluide traversant une conduite de section variable

Or, le fluide étant par hypothèse incompressible c’est-à-dire de masse volumique constante, cette condition implique que le volume V2V2 de la portion de fluide de section S2S2 est conservé.
Nous avons donc : V1=V2V1 = V2.
Soit, S1×d1=S2×d2S1\times d1= S2\times d2

Avec d1d1 et d2d2 les largeurs de nos deux portions de fluides.

Nous pouvons alors écrire : S1×d1×Δt=S2×d2×ΔtS1\times d1\times \Delta t= S2\times d2\times \Delta t

Ou encore : S1×v1=S2×v2S1\times v1= S2\times v2

Soit, DV1=DV2D{V1} = D{V2}

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À retenir

La conservation du débit volumique implique que toute conservation de la masse de fluide se traduit nécessairement par une conservation du débit volumique. S1×v1=S2×v2S1\times v1= S2\times v2

La dernière partie de ce cours aura pour objet d’exposer la relation de Bernoulli admise dans le cadre de notre programme ainsi qu’une application particulière de cette relation : l’effet Venturi.

Relation de Bernoulli

Considérons un écoulement en régime permanent d’un fluide parfait et incompressible, de masse volumique ρ\rho sous l’action du champ de pesanteur dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen.

Img-08 : Volume V de fluide traversant une conduite de section variable

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Définition

Loi de Bernoulli :

Sur un axe (Oz)(Oz), nous admettons la relation suivante, dite relation de Bernoulli : ρv22+ρgz+p=Constante\dfrac{\rho v^2}{2}+\rho \text{g}z+p=\text{Constante}

Avec :

  • ρ\rho la masse volumique du fluide en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • vv la vitesse du fluide en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • zz l’altitude du fluide m\text{m} ;
  • pp la pression du fluide Pa\text{Pa} ;
  • g\text{g} l’intensité du champ de pesanteur, g=9,81 ms2\text{g} = 9,81\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

Effet Venturi

Considérons un fluide répondant aux conditions exprimées précédemment qui s’écoule dans une conduite horizontale de section S1S1 possédant un étranglement de section S2S2.

Img-09 : Volume V de fluide traversant une conduite de section variable

D’après la relation de Bernoulli, on peut écrire : ρv122+ρgz1+p1=ρv222+ρgz2+p2\dfrac{\rho v^21}{2}+\rho \text{g}z1+p1=\dfrac{\rho v^22}{2}+\rho\text{g}z2+p2

Nous pouvons écrire également, d’après la conservation du débit volumique : S1×v1=S2×v2S1\times v1=S2\times v2

Donc, S1S2=v2v1\dfrac{S1}{S2}=\dfrac{v2}{v1}

Or la conduite étant horizontale, nous avons : z1=z2z1 = z2.

  • La relation de Bernoulli se simplifie alors :

ρv122+p1=ρv222+p2\dfrac{\rho v^21}{2}+p1=\dfrac{\rho v^22}{2}+p2

D’où, p1p2=ρv222ρv122p1-p2=\dfrac{\rho v^22}{2}-\dfrac{\rho v^21}{2}

p1p2=ρv122((v2v1)21)p1-p2=\dfrac{\rho v^21}{2} \left(\left(\dfrac{v2}{v_1}\right)^2 -1\right)

En utilisant enfin la conservation du débit volumique, on peut exprimer la dépression Δp\Delta p, qui correspond à la différence de pression que subit le fluide entre les positions 11 et 22, de la manière suivante : Δp=p1p2\Delta p=p1-p2

Δp=ρv122((S1S2)21)\Delta p =\dfrac{\rho v^21}{2} \left(\left(\dfrac{S1}{S_2}\right)^2 -1\right)

  • Nous remarquons que si S1=S2S1 = S2, nous avons Δp=0\Delta p=0.

En revanche, plus la section S2S2 est petite devant S1S1 et plus la dépression Δp\Delta p augmente.
De même, de la conservation du débit volumique il découle que plus la section S2S2 diminue et plus la vitesse du fluide v2v2 augmente.

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À retenir

Propriétés de l’effet Bernoulli

La dépression est d’autant plus grande que la section de la conduite diminue.
La diminution de la section de la conduite provoque une accélération du fluide au niveau de l’étranglement.

L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages comme l’arrachement des toitures.

Application : effet Venturi

L’effet Venturi permet en effet d’expliquer l’arrachement des toitures de maisons. Lorsque le vent souffle très fort, l’air est accéléré à la surface de la toiture qui se comporte comme un goulot d’étranglement.
La dépression qui trouve naissance, à cause de l’effet Venturi, provoque alors un arrachement de la toiture.

Img-10 : Toiture d’une maison agissant comme un goulot d’étranglement : effet Venturi

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons pu aborder deux aspects essentiels de la mécanique des fluides à savoir la statique des fluides et la dynamique des fluides.

L’étude des fluides au repos nous a permis de mieux comprendre l’origine d’une propriété physique bien connue, mais pas toujours bien comprise : la poussée d’Archimède.
Enfin, tout en gardant à l’esprit que ce cours est limité par les contraintes imposées par notre programme, nous avons pu exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides, la relation de Bernoulli, ainsi qu’une de ses conséquences, l’effet Venturi, qui peut parfois provoquer comme nous l’avons vu des dommages matériels.