Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Écoulement d’un fluide incompressible

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Avant de commencer, regarde la vidéo

Introduction :

La mécanique des fluides se consacre à l’étude du comportement des fluides (liquide, gaz) et des forces internes associées. Cette branche de la physique se divise en deux parties :

  • la statique des fluides (vue en classe de première) qui est l’étude des fluides au repos ;
  • la dynamique des fluides, qui traite de l’étude des fluides en mouvement, ce que nous allons développer en terminale.

Dans une première partie, nous nous intéressons aux résultantes des forces que peuvent subir des objets au contact d’un fluide au repos et développons le cas particulier bien connu de la poussée d’Archimède.
La seconde partie du cours traite des fluides en mouvement. Après avoir exposé les limitations de notre programme, nous définissons une nouvelle grandeur : le débit volumique, et montrons dans quelles conditions cette dernière se conserve.
Enfin, la dernière partie permet d’exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides : la relation de Bernoulli, ainsi qu’une conséquence directe de cette relation que l’on rencontre très souvent dans la vie courante : l’effet Venturi.

Poussée d’Archimède

Origine de la poussée d’Archimède

Considérons un corps totalement immergé dans un fluide au repos, dans le champ de pesanteur uniforme. Chaque portion de la surface de ce corps immergé subit une force pressante Fp\vec F_p exercée par le fluide qui l’entoure.

Alt texte Forces pressantes exercées par un fluide au repos sur un solide immergé

Or, on sait que d’après la loi fondamentale de la statique des fluides, vue en première, l’intensité des forces pressantes augmente avec la profondeur d’immersion.

  • Ainsi, F1\vec F1 est supérieure à F2\vec F2.
bannière rappel

Rappel

La loi de la statique des fluides décrit l’évolution de la pression en fonction de l’altitude.
Pour un fluide incompressible de masse volumique ρ\rho, avec g\text g la constante de pesanteur, la différence entre les pressions mesurées à deux altitudes z1z1 et z2z2 s’écrit : P(z1)P(z2)=g×ρ×(z2z1)P(z1)-P(z2)=\text g\times\rho\times(z2-z1)

D’après l’image ci-dessus, les forces pressantes latérales F3\vec F3 sont égales, car elles sont appliquées sur une même ligne horizontale et se compensent. Tandis que la force pressante au bas F1\vec F1 sera supérieure à la force pressante en haut F2\vec F_2.

bannière à retenir

À retenir

La force Π\vec{\Pi}, appelée poussée d’Archimède est alors la somme des forces pressantes exercées par le fluide au repos sur le corps totalement immergé dans ce fluide.

Après avoir expliqué l’origine de la poussée d’Archimède, nous allons maintenant en donner une expression vectorielle.

Expression de la poussée d’Archimède

Remarquons bien qu’un corps totalement immergé déplace un volume de fluide égal à son propre volume.

Alt texte

Comme nous l’avions indiqué, la pression étant plus forte sur la partie inférieure du corps immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte alors une poussée globalement verticale ascendante : la poussée d’Archimède.

bannière definition

Définition

Théorème d’Archimède :

La poussée exercée par un fluide au repos sur un corps immergé, en partie ou entièrement, est une force verticale égale et directement opposée au poids du volume de fluide déplacé. Elle est portée par une droite passant par le centre de masse du fluide déplacé.
La poussée d’Archimède, notée Π\vec{\Pi}, s’exprime ainsi :

Π=Pfluide=mfluideg=ρfluideVfluideg\vec{\Pi}= - \vec{P}{\text{fluide}} = - m{\text{fluide}}\cdot \vec{{\text{g}}} = - \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot \vec{{\text{g}}}

De module : Π=ρfluideVfluideg \Pi= \rho{\text{fluide}} \cdot V{\text{fluide}} \cdot {\text{g}}

Avec :

  • mfluidem_{\text{fluide}} la masse du fluide déplacé en kg\text{kg} ;
  • ρfluide\rho_{\text{fluide}} la masse volumique de fluide déplacé en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • VfluideV_{\text{fluide}} le volume de fluide déplacé m3\text{m}^3 ;
  • g{\text{g}} l’intensité de la pesanteur, g=9,81 ms2{\text{g}} = 9,81\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

Exercice d’application

Considérons un iceberg de volume VV dont la proportion du volume imergé est égale à 80 %80\ \%. On donne les masses volumiques de l’eau de mer en surface et de l’air :
ρeau=1,03 kgL1\rho{\text{eau}}=1,03\ \text{kg}\cdot \text{L}^{-1} et ρair=1,30 kgm3\rho{\text{air}} = 1,30\ \text{kg}\cdot \text{m}^{-3}.

Alt texte

Comparons la poussée d’Archimède due à l’action de l’eau à celle due à l’action de l’air.

La poussée d’Archimède due à l’action de l’air s’écrit : Πair=ρair×Vair deˊplaceˊ×g \Pi{\text{air}} = \rho{air} \times V_{\text{air déplacé}} \times {\text{g}}

La poussée d’Archimède due à l’action de l’eau s’écrit : Πeau=ρeau×Veau deˊplaceˊ×g \Pi{\text{eau}} = \rho{\text{eau}} \times V_{\text{eau déplacé}} \times {\text{g}}

  • Le rapport des deux poussées s’écrit :

ΠeauΠair=ρeau×Veau deˊplaceˊρair×Vair deˊplaceˊ=ρeau×0,8Vρair×0,2V\begin{aligned}\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times V{\text{eau déplacé}}}{ \rho{\text{air}} \times V{\text{air déplacé}}} \ &= \dfrac{\rho{\text{eau}} \times0,8V}{\rho{\text{air}} \times0,2V}\end{aligned}

Avec VV, le volume total de l’iceberg.
Soit, ΠeauΠair=4ρeauρair\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}}= \dfrac{4\rho{\text{eau}}}{\rho{\text{air}}}

Ainsi, ΠeauΠair=4×1,03×1031,303,2×103\begin{aligned}\dfrac{\Pi{\text{eau}}}{\Pi{\text{air}}} &=\dfrac{4\times1,03\times10^3}{1,30} \ &\approx 3,2\times 10^3\end{aligned}

Donc, Πeau=3,2×103 Πair\boxed{\Pi{\text{eau}}=3,2\times10^3\ \Pi{\text{air}}}

  • La force de poussée d’Archimède due à l’action de l’air est négligeable devant celle due à l’action de l’eau.
bannière à retenir

À retenir

Dans les exercices, la poussée d’Archimède due à l’action de l’air est très souvent négligée.

La dynamique des fluides a pour objet de relier l’écoulement d’un fluide aux actions qui lui sont appliquées. Cette partie de la mécanique des fluides peut devenir relativement difficile en fonction des caractéristiques du fluide et du type d’écoulement étudiés.
Cependant, par souci de simplification, notre programme impose quelques limitations que nous allons maintenant détailler.

Vocabulaire et limitations du programme

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons aux écoulements pour lesquels les couches de fluides glissent librement les unes sur les autres sans frottement. Un tel fluide qui n’oppose aucune résistance à son mouvement est appelé fluide parfait ou non visqueux.
Dans le cas contraire, le fluide sera dit visqueux. Dans un fluide visqueux, il existe des forces de frottement interne entre les couches de fluide qui s’écoulent à des vitesses différentes.

Alt texte

bannière definition

Définition

Fluide parfait :

On appelle fluide parfait, un fluide de viscosité nulle dont l’écoulement se fait sans frottement interne.

Dans le cadre de notre programme, nous nous limiterons à l’étude de fluides parfaits et incompressibles.

bannière definition

Définition

Fluide incompressible :

Un fluide est dit incompressible si son volume reste constant malgré les forces extérieures qui s’exercent sur lui. Ainsi, sa masse volumique ρ\rho est constante et ne dépend donc pas de la pression qui s’y exerce.

  • De plus, l’écoulement étudié sera supposé non tourbillonnaire et en régime permanent.

Considérons un fluide en mouvement dans lequel nous délimitons un petit volume et observons le mouvement de ce petit volume de fluide par rapport à notre référentiel.

Si cette portion de fluide tourne par rapport à notre référentiel, nous pouvons dire que le fluide a un mouvement tourbillonnaire.

Alt texte

bannière definition

Définition

Régime d’écoulement permanent indépendant du temps :

Un régime d’écoulement est dit permanent, indépendant du temps, ou stationnaire si la vitesse en tout point du fluide a une valeur constante au cours du temps.

  • En résumé, nous limiterons notre étude aux écoulements non tourbillonnaires en régime permanent, indépendant du temps, de fluides parfaits et incompressibles.

Écoulement d’un fluide en régime permanent

Débit volumique

Supposons une conduite dans laquelle s’écoule un fluide qui répond aux caractéristiques énoncées précédemment.

bannière à retenir

À retenir

Pour étudier l’écoulement de ce fluide, nous considérons de tout petits volumes élémentaires, des cubes par exemple, qu’on appelle particules de fluide.
Une particule de fluide suit alors une trajectoire appelée ligne de courant et son vecteur vitesse est tangent, à tout instant, à la ligne de courant.

Dans notre situation, la vitesse d’écoulement est indépendante du temps : en un point, elle reste constante à tout instant.

  • Attention, cela ne signifie pas que la vitesse d’une même particule sera toujours la même.

Dans cette conduite, imaginons une section droite d’aire SS avec un volume VV de fluide qui la traverse et se déplaçant sur une distance ll, à une vitesse vv constante, pendant une durée Δt\Delta t.

Alt texte

On considère le volume de fluide (m3\text{m}^3) qui traverse la section d’aire SS pendant une durée Δt\Delta t : V=S×lV = S\times l

Avec ll la distance parcourue par le fluide.

Ainsi, le débit volumique DVD_\text{V} d’un fluide à travers une section droite d’aire SS et de volume VV de fluide qui la traverse par unité de temps s’écrit :

DV=VΔt=S×lΔt\begin{aligned}D_\text{V} &= \dfrac{V}{\Delta t} \ &=\dfrac{S\times l}{\Delta t}\end{aligned}

Enfin, on définit la vitesse d’écoulement (ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}) de ce fluide par la distance ll qu’il parcourt pendant une durée Δt\Delta t : v=lΔtv=\dfrac{l}{\Delta t}

Alors, DV=S×vD_\text{V} = S \times v

bannière definition

Définition

Débit volumique :

On appelle débit volumique DVD\text{V} d’un fluide parfait et incompressible, en écoulement permanent, indépendant du temps, le volume de fluide qui traverse une section droite par unité de temps. DV=S×vD\text{V}= S \times v Avec :

  • DVD_\text{V} le débit volumique en m3s1\text{m}^3\cdot \text{s}^{-1} ;
  • SS l’aire de la section droite de la conduite en m2\text{m}^2 ;
  • vv la vitesse du fluide en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.

Conservation du débit volumique

Supposons maintenant une conduite de section variable. Imaginons alors une section droite d’aire S1S1 avec un volume V1V1 de fluide qui la traverse pendant une durée Δt\Delta t.

Alt texte

Le volume V2V2 de fluide qui traverse la section droite d’aire S2S2 pendant une durée Δt\Delta t est conservé.

bannière à retenir

À retenir

Pour l’écoulement d’un fluide parfait et incompressible en régime permanent, le débit volumique se conserve en tout point de la conduite.

Alors, si la section de la conduite diminue, nous pouvons écrire : DV1=DV2\boxed{D{\text{V}1} = D{\text{V}2}}

Ou encore : S1×V1=S2×V2S1 \times V1 = S2 \times V2

Sachant que la section droite d’aire S2S2 est plus petite que S1S1, la vitesse d’écoulement v2v2 est plus grande que v1v1.

S2<S1v2>v1S2 < S1 \Rightarrow v2>v1

bannière à retenir

À retenir

Si la section de la conduite diminue, alors la vitesse du fluide augmente.

Relation de Bernoulli et effet Venturi

Relation de Bernoulli

Considérons un écoulement en régime permanent, indépendant du temps, d’un fluide parfait et incompressible, de masse volumique ρ\rho dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

bannière definition

Définition

Loi de Bernoulli :

L'écoulement d’un fluide parfait et incompressible de masse volumique ρ\rho constante vérifie la relation de Bernoulli : 12ρv2+ρgz+P=Constante\dfrac{1}{2}\rho v^2+\rho \text{g}z+P=\text{Constante}

Avec :

  • ρ\rho la masse volumique du fluide en kgm3\text{kg}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • vv la vitesse du fluide en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • zz l’altitude du fluide m\text{m} ;
  • PP la pression du fluide Pa\text{Pa} ;
  • g\text{g} l’intensité du champ de pesanteur.

Observons l’écoulement d’un fluide entre les points M1M1 et M2M2 appartenant à la même ligne de courant, aux conditions exprimées précédemment.

Alt texte

Donc, dans la conduite ci-dessus, la relation de Bernoulli s’écrit : 12ρv12+ρgz1+P1=12ρv22+ρgz2+P2\dfrac{1}{2}\rho v^21+\rho \text{g}z1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+\rho \text{g}z2+P2

bannière astuce

Astuce

Si le fluide est au repos, la vitesse d’écoulement est nulle. On s’aperçoit alors que l’on retrouve la loi fondamentale de la statique des fluides. La vitesse d’écoulement est alors nulle.

La relation de Bernoulli traduit une conservation d’énergie d’un fluide incompressible le long d’une même ligne de courant d’une conduite. Cette énergie se décompose en trois catégories :

  • l’énergie cinétique d’une particule de fluide vaut :

Ec=12mv2E_c=\dfrac 1 2 m v^2

  • l’énergie potentielle de pesanteur d’une particule de fluide vaut :

Epp=mgzE_{pp}=m \text{g} z

  • l’énergie de pression d’une particule de fluide est également une énergie qui est associée aux forces pressantes.

Divisons nos termes par un volume VV afin de trouver une énergie par unité de volume.
Nous obtenons une énergie volumique qui est la somme de :

  • de l’énergie cinétique volumique, qui s’exprime en Jm3\text{J}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • de l’énergie potentielle de pesanteur volumique, qui s’exprime en Jm3\text{J}\cdot \text{m}^{-3} ;
  • de l’énergie volumique due aux forces pressantes, qui s’exprime en Jm3\text{J}\cdot \text{m}^{-3}.

Alt texte

  • La relation de Bernoulli traduit donc une conservation d’énergie volumique.

Effet Venturi

Considérons maintenant un fluide répondant aux mêmes conditions mais qui s’écoule dans une conduite horizontale de section droite d’aire S1S1 possédant un étranglement de section droite d’aire S2S2. On considère deux points M1M1 et M2M2 se trouvant sur la même ligne de courant et à une même hauteur.

Alt texte

D’après la relation de Bernoulli, nous pouvons écrire : 12ρv12+ρgz1+P1=12ρv22+ρgz2+P2\dfrac{1}{2}\rho v^21+\rho \text{g}z1+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+\rho \text{g}z2+P2

Nous savons que la conduite est horizontale alors : z1=z2z1 = z2.

  • Ainsi, la relation de Bernoulli s’écrit :

12ρv12+P1=12ρv22+P2\dfrac{1}{2}\rho v^21+P1=\dfrac{1}{2}\rho v^22+P2

  • Comme nous l’avons dit précédemment, il y a conservation du débit volumique donc la diminution de l’aire de la section d’aire S2S2 entraîne une vitesse d’écoulement v2v2 supérieure à v1v_1.

Donc, 12ρv22>12ρv12\dfrac{1}{2}\rho v^22 > \dfrac{1}{2}\rho v^21

Ainsi, nous pouvons en déduire que la pression P2P2 est inférieure à P1P1. Soit,

12ρv22>12ρv12P2<P1\dfrac{1}{2}\rho v^22 > \dfrac{1}{2}\rho v^21 \Rightarrow P2 1

  • Il se forme alors une dépression .

L’effet Venturi est une conséquence de la relation de Bernoulli mais également de la loi de conservation du débit volumique.

bannière definition

Définition

Effet Venturi :

L’effet Venturi est un phénomène où les particules d’un fluide parfait et incompressible se retrouvent accélérées au niveau d’un étranglement. Alors le fluide subit une dépression.

L’effet Venturi se rencontre dans de nombreuses situations de la vie courante. Si cette dépression peut, suivant les circonstances, être sans gravité, elle peut parfois provoquer des dommages comme l’arrachement des toitures.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons pu aborder deux aspects essentiels de la mécanique des fluides à savoir la statique des fluides et la dynamique des fluides.

L’étude des fluides au repos nous a permis de mieux comprendre l’origine d’une propriété physique bien connue, mais pas toujours bien comprise : la poussée d’Archimède.
Enfin, tout en gardant à l’esprit que ce cours est limité par les contraintes imposées par notre programme, nous avons pu exposer une relation fondamentale de la dynamique des fluides : la relation de Bernoulli. Ainsi qu’une de ses conséquences : l’effet Venturi. Cette dernière peut parfois provoquer, comme nous l’avons vu, des dommages matériels.