Équations polynomiales et nombres complexes

Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

• Soit trois nombres réels $a\neq 0$, $b$ et $c$, ainsi qu’un nombre complexe $z$.

• Pour rappel, le discriminant $\Delta$ d'un trinôme du second degré $az^2+bz+c$ se calcule avec la formule : $\Delta=b^2-4ac$.

• La connaissance de racines permet de factoriser l’écriture du polynôme, donc de l’écrire sous forme de produits faisant apparaître les racines.

Résolution d’équations de degré $3$ à coefficients réels

• Soit $P$ un polynôme de degré $3$ et $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$, alors, pour tout nombre complexe $z$ :

$$\begin{aligned} P(z)&=(z-a)\times Q(z) \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $Q$ un polynôme de degré $2$]}}} \end{aligned}$$

• Pour résoudre une équation de degré $3$ dans $\mathbb C$ :
• il faut se ramener à une équation de la forme $P(z)=0$, avec $P$ le polynôme de degré $3$ ;
• on ne peut les résoudre avec les outils vus dans ce cours que si l’on connaît déjà une racine $z_1$ ;
• il faut alors factoriser le polynôme en utilisant la racine connue pour se ramener à un produit nul : $P(z)=(z-z_1)\times Q(z)=0$, avec $Q$ un polynôme de degré $2$ ;
• on résout alors l’équation $Q(z)=0$ ;
• l’ensemble des solutions de $P(z)=0$ est la solution $z_1$ et les solutions de l’équation $Q(z)=0$.

Résolution d’équations de degré $4$ à coefficients réels

• Soit $P$ un polynôme de degré $4$, avec $a$ et $b$ deux nombres complexes tel que $P(a)=0$ et $P(b)=0$.
• $P(z)=(z-a)\times (z-b)\times Q(z)$, avec $Q$ un polynôme de degré $2$ pour lequel l’équation $Q(z)=0$ pourra être résolue dans $\mathbb C$.
• Soit $a$, $b$ et $c$ trois nombres réels.
• On appelle équation bicarrée toute équation de degré $4$ ne comportant que des puissances paires de $z$, c’est-à-dire que nous pouvons écrire sous la forme : $az^4+bz^2+c=0$.
• Le lien avec une équation de degré $2$ apparaît en remplaçant l’inconnu $z^2$ par $Z$ , pour d’abord chercher les solutions pour $Z$, puis les solutions pour $z$. Si les solutions pour $Z$ sont complexes, il est préférable de passer par la forme exponentielle pour en déduire les solutions pour $z$.

Résolution d’équations de degré $n$ à coefficients réels

• Soit $n$ un entier naturel et $a_0$, $a_1$, …, $a_n$ des nombres réels, avec $a_n\neq 0$.
• On appelle fonction polynôme de degré $n$ à coefficients réels la fonction $P$ définie sur $\mathbb C$ par :

$$\begin{aligned} P(z)&=a_0+a_1 z+ a_2 z^2 +…+a_n z^n \\ &= \sum_{k =0}^n a_k z^k \end{aligned}$$

• L’équation $P(z)=0$ est appelée équation polynomiale de degré $n$.
• Soit $z$ et $a$ deux nombres complexes.
• Pour tout entier naturel $n\geq 2$ :

$$z^n-a^n=(z-a)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k} \right)$$

• Soit $P$ un polynôme de degré $n\geq 1$, et $a$ un nombre complexe tel que $P(a)=0$.
• Alors $a$ est une racine de $P$ et $P$ se factorise par $(z-a)$.
• C’est-à-dire qu’il existe un polynôme $Q$ de degré $n-1$ tel que, pour tout $z\in \mathbb C$ , $P(z)=(z-a)\times Q(z)$.
• Soit $P$ un polynôme de degré $n$.
• $P$ admet au plus $n$ racines.
• Soit $P$ un polynôme de degré $n$ ($n$ entier naturel non nul), à coefficients réels $\alpha_k$ :

$$P(z)=\sum_{k=0}^n \alpha_k z^k$$

• La somme de toutes ses racines est égale à :

$$-\dfrac{\alpha_{n-1}}{\alpha_n}$$

• Le produit de toutes ses racines est égal à :

$$(-1)^n\dfrac{\alpha_{0}}{\alpha_n}$$