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Équations polynomiales et nombres complexes

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Résolution d’équations du second degré à coefficients réels

  • Soit trois nombres réels a0a\neq 0, bb et cc, ainsi qu’un nombre complexe zz.

Résoudre z2=dz^2=d (dd réel)
d=0d=0 d>0d>0 d<0d<0
Une unique solution réelle Deux solutions réelles Deux solutions complexes conjuguées
z=0z=0 z1=det : z2=d\begin{aligned} z1&=\sqrt{d} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} z2&=-\sqrt{d} \end{aligned} z1=idet : z2=id\begin{aligned} z1&=\text{i} \sqrt{-d} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }} z2&=-\text{i} \sqrt{-d} \end{aligned}
  • Pour rappel, le discriminant Δ\Delta d'un trinôme du second degré az2+bz+caz^2+bz+c se calcule avec la formule : Δ=b24ac\Delta=b^2-4ac.

Résoudre az2+bz+c=0az^2+bz+c=0
Δ=0\Delta=0 Δ>0\Delta>0 Δ<0\Delta<0
Une unique solution réelle Deux solutions réelles Deux solutions complexes conjuguées
z0=b2az0=-\dfrac{b}{2a} z1=b+Δ2aet : z2=bΔ2a\begin{aligned} z1&=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }}z2&=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{aligned} z1=b+iΔ2aet : z2=biΔ2a\begin{aligned} z1&=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }}z_2&=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} \end{aligned}
  • La connaissance de racines permet de factoriser l’écriture du polynôme, donc de l’écrire sous forme de produits faisant apparaître les racines.

Factorisation du trinôme P(z)=az2+bz+cP(z)=az^2+bz+c
Δ=0\Delta=0 Δ0\Delta\neq 0
P(z)=a(zz0)2P(z)=a (z-z_0)^2

avec z0=b2az_0=-\frac{b}{2a}</span

P(z)=a(zz1)(zz2)P(z)=a(z-z1)(z-z2)

avec z1z1 et z2z2 les solutions réelles ou complexes de P(z)=0P(z)=0</span

Résolution d’équations de degré 33 à coefficients réels

  • Soit PP un polynôme de degré 33 et aa un nombre complexe tel que P(a)=0P(a)=0, alors, pour tout nombre complexe zz :

P(z)=(za)×Q(z) [avec Q un polynoˆme de degreˊ 2]\begin{aligned} P(z)&=(z-a)\times Q(z) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec QQ un polynôme de degré 22]}}} \end{aligned}

  • Pour résoudre une équation de degré 33 dans C\mathbb C :
  • il faut se ramener à une équation de la forme P(z)=0P(z)=0, avec PP le polynôme de degré 33 ;
  • on ne peut les résoudre avec les outils vus dans ce cours que si l’on connaît déjà une racine z1z_1 ;
  • il faut alors factoriser le polynôme en utilisant la racine connue pour se ramener à un produit nul : P(z)=(zz1)×Q(z)=0P(z)=(z-z_1)\times Q(z)=0, avec QQ un polynôme de degré 22 ;
  • on résout alors l’équation Q(z)=0Q(z)=0 ;
  • l’ensemble des solutions de P(z)=0P(z)=0 est la solution z1z_1 et les solutions de l’équation Q(z)=0Q(z)=0.

Résolution d’équations de degré 44 à coefficients réels

  • Soit PP un polynôme de degré 44, avec aa et bb deux nombres complexes tel que P(a)=0P(a)=0 et P(b)=0P(b)=0.
  • P(z)=(za)×(zb)×Q(z)P(z)=(z-a)\times (z-b)\times Q(z), avec QQ un polynôme de degré 22 pour lequel l’équation Q(z)=0Q(z)=0 pourra être résolue dans C\mathbb C.
  • Soit aa, bb et cc trois nombres réels.
  • On appelle équation bicarrée toute équation de degré 44 ne comportant que des puissances paires de zz, c’est-à-dire que nous pouvons écrire sous la forme : az4+bz2+c=0az^4+bz^2+c=0.
  • Le lien avec une équation de degré $2$ apparaît en remplaçant l’inconnu z2z^2 par ZZ , pour d’abord chercher les solutions pour ZZ, puis les solutions pour zz. Si les solutions pour ZZ sont complexes, il est préférable de passer par la forme exponentielle pour en déduire les solutions pour zz.

Résolution d’équations de degré nn à coefficients réels

  • Soit nn un entier naturel et a0a0, a1a1, …, anan des nombres réels, avec an0an\neq 0.
  • On appelle fonction polynôme de degré nn à coefficients réels la fonction PP définie sur C\mathbb C par :

P(z)=a0+a1z+a2z2++anzn=k=0nakzk\begin{aligned} P(z)&=a0+a1 z+ a2 z^2 +…+an z^n \ &= \sum{k =0}^n ak z^k \end{aligned}

  • L’équation P(z)=0P(z)=0 est appelée équation polynomiale de degré nn.
  • Soit zz et aa deux nombres complexes.
  • Pour tout entier naturel n2n\geq 2 :

znan=(za)(k=0n1akzn1k)z^n-a^n=(z-a)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k} \right)

  • Soit PP un polynôme de degré n1n\geq 1, et aa un nombre complexe tel que P(a)=0P(a)=0.
  • Alors aa est une racine de PP et PP se factorise par (za)(z-a).
  • C’est-à-dire qu’il existe un polynôme $Q$ de degré n1n-1 tel que, pour tout zCz\in \mathbb C , P(z)=(za)×Q(z)P(z)=(z-a)\times Q(z).
  • Soit PP un polynôme de degré nn.
  • PP admet au plus nn racines.
  • Soit PP un polynôme de degré nn (nn entier naturel non nul), à coefficients réels αk\alpha_k :

P(z)=k=0nαkzkP(z)=\sum{k=0}^n \alphak z^k

  • La somme de toutes ses racines est égale à :

αn1αn-\dfrac{\alpha{n-1}}{\alphan}

  • Le produit de toutes ses racines est égal à :

(1)nα0αn(-1)^n\dfrac{\alpha{0}}{\alphan}