Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Introduction :

Dans ce cours, nous allons effectuer une étude complète de la fonction logarithme népérien.
Dans un premier temps, nous étudierons la fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)}, puis les fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)}, avec uu une fonction.
À chaque fois, nous nous appuierons sur des exemples de fonctions, pour lesquelles nous mènerons une étude complète.

Étude de la fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)}

Continuité, dérivabilité et sens de dérivation

Pour toute fonction, il est indispensable de connaître ses domaines de définition et de dérivabilité.

bannière propriete

Propriété

La fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)} est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[] 0\ ;+\infty[.

  • Sa dérivée est xln(x)=1xx\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}.

Alt mathématiques terminale spécialité fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien

bannière demonstration

Démonstration

Démontrons que, pour tout réel x>0x > 0, ln(x)=1x\ln^{\prime}{(x)} = \dfrac{1}{x}.

D’après les compléments sur la dérivation que nous avons vus dans un cours précédent, pour une fonction u:IJu\,:\,I \to J et une fonction f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}, où II et JJ sont des intervalles de R\mathbb{R}, si uu est dérivable sur II et que ff est dérivable sur JJ, alors :

  • la fonction xf(u(x))=(fu)(x)x \mapsto f\big(u(x)\big) = (f\circ u)(x) est dérivable sur II ;
  • elle a pour dérivée la fonction x(fu)(x)=u(x)×f(u(x))x \mapsto (f\circ u)^{\prime} (x) = u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big).
  • On peut noter : (fu)=u×fu(f\circ u)^{\prime} = u^{\prime} \times f^{\prime} \circ u.
  • On admet que la fonction logarithme népérien, qui est définie et continue sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[, est aussi dérivable sur cet intervalle.
  • Nous posons :
  • u=lnu = \ln, qui est dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ et à valeurs dans R\mathbb{R},
  • f=expf = \exp, qui est dérivable sur R\mathbb{R} et à valeurs dans R\mathbb{R}.
  • Pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[, la fonction (fu)(f\circ u) est dérivable et :

(fu)(x)=u(x)×f(u(x))=ln(x)×exp(ln(x))=ln(x)×exp(ln(x)) [car exp=exp]=ln(x)×x[car exp(ln(x))=x sur cet intervalle]\begin{aligned} (f\circ u)^{\prime} (x) &= u^{\prime} (x) \times f^{\prime} \big(u(x)\big) \ &= \ln^{\prime} {(x)} \times \exp^{\prime} \big(\ln{(x)}\big) \ &= \ln^{\prime} {(x)} \times \exp\big(\ln{(x)}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }\exp^\prime=\exp]}} \ &= \ln^{\prime} {(x)} \times x \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car }\exp\big(\ln{(x)\big)=x \text{ sur cet intervalle}}]}} \end{aligned}

  • Mais on a aussi, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

(fu)(x)=exp(ln(x))=xDonc : (fu)(x)=1\begin{aligned} (f\circ u)(x) &= \exp\big(\ln{(x)}\big) \ &= x \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ : }} (f\circ u)^{\prime} (x) &= 1 \end{aligned}

  • On en déduit, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

(fu)(x)=ln(x)×x=1Puis : ln(x)=1x\begin{aligned} (f\circ u)^{\prime} (x) = \ln^{\prime} {(x)} \times x &= 1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Puis\ : }} \ln^{\prime} {(x)} &= \dfrac{1}{x} \end{aligned}

  • En résumé, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

ln(x)=1x\ln^{\prime} (x) = \frac{1}{x}

Nous remarquons que, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[, 1x>0\frac 1x>0, et donc que ln(x)>0\ln^{\prime} {(x)}>0.

  • La fonction ln\ln est effectivement strictement croissante sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

Limites

Maintenant que nous connaissons les variations de la fonction logarithme népérien, nous allons nous intéresser aux limites aux bornes de l’ensemble de définition de cette fonction.

bannière propriete

Propriété

  • Limites aux bornes de la fonction ln\ln

limx0x>0ln(x)=limx+ln(x)=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}

  • Limites par croissances comparées :

limx0x>0xln(x)=0limx+ln(x)x=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}&= 0 \ \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x}&=0 \end{aligned}

  • Ces limites se généralisent pour tout entier naturel nn non nul.

limx0x>0xnln(x)=0limx+ln(x)xn=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x^n\ln{(x)}&= 0 \ \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x^n}&=0 \end{aligned}

bannière astuce

Astuce

Pour mémoriser ces propriétés, on peut dire que xx l’« emporte » sur ln(x)\ln{(x)} au voisinage de ++\infty et au voisinage de 00.

bannière demonstration

Démonstration

Démontrons que limx0x>0ln(x)=\lim\limits _{x\to 0\atop x>0} \ln{(x)} = -\infty.

  • Montrons tout d’abord que limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty} \ln{(x)} = +\infty.

Soit AA un réel strictement positif fixé.
Dire que ln(x)\ln{(x)} tend vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty signifie que l’on peut rendre ln(x)\ln{(x)} aussi grand que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment grand.

  • On cherche donc une valeur B>0B > 0 telle que x>Bln(x)>Ax > B \Rightarrow \ln{(x)} > A.

Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont strictement croissantes sur R+{\mathbb{R}}^{*+}. Nous avons donc :

ln(x)>Aeln(x)>eAx>eA\begin{aligned} \ln{(x)} > A &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}} > \text{e}^A \ &\Leftrightarrow x > \text{e}^A \end{aligned}

  • En posant B=eAB = \text{e}^A, on a bien ln(x)>A\ln{(x)} > A.

Pour toutes les valeurs A>0A > 0, il existe une valeur B>0B > 0 à partir de laquelle ln(x)\ln{(x)} est supérieure à AA.

  • Par définition, on a :

limx+ln(x)=+\lim\limits_{x\to +\infty} \ln{(x)} = +\infty

  • Montrons ensuite que limx0x>0ln(x)=\lim\limits_{x\to 0\atop x>0} \ln{(x)} = -\infty à l’aide d’un changement de variable.

Pour tout réel x>0x > 0, on pose X=1xX=\frac 1x.

  • On a donc : x=1Xx=\frac 1X.

Quand xx tend vers 00 par valeurs supérieures, X=1xX=\frac 1x tend vers ++\infty.

limx0x>0ln(x)=limx+ln(1X)=limx+ln(X) [car ln(1X)=ln(X)]=limx+ln(X)= [car limX+ln(X)=+]\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)}&= \lim\limits{x \to +\infty} \ln\left(\dfrac 1X\right) \ &= \lim\limits{x \to +\infty} -\ln{(X)} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln\left(\frac 1X\right)=-\ln{(X)}$]}}} \ &=-\lim\limits{x \to +\infty} \ln{(X)} \ &=-\infty \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\lim\limits_{X \to +\infty} \ln{(X)}=+\infty$]}}} \end{aligned}

  • Finalement, nous obtenons :

limx0x>0ln(x)=\lim\limits_{x\to 0 \atop x>0} \ln{(x)} = -\infty

Étude complète

bannière exemple

Exemple

Étudions la fonction ff définie sur ]0 ;+[] 0\ ;\,+\infty[ par f(x)=xln(x)2xf(x)=x\ln{(x)}-2x.

  • Calcul de la dérivée

La fonction ff est dérivable sur l’intervalle ]0 ;+[] 0\ ;\,+\infty[ en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.

Soit x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[.
L’expression xln(x)x\ln{(x)} est de la forme u(x)×v(x)u(x) \times v(x) avec :

  • u(x)=xu(x)=x ;
  • v(x)=ln(x)v(x)=\ln{(x)}.
  • On connaît donc sa dérivée avec la formule :

(u×v)(x)=u(x)×v(x)+v(x)×u(x)(u \times v)^{\prime} (x) =u^{\prime} (x) \times v(x)+v^{\prime} (x) \times u(x)

Ainsi, nous calculons la dérivée de la fonction xxln(x)x\mapsto x\ln{(x)} :

(xxln(x))(x)=1×ln(x)+1x×x=ln(x)+1\begin{aligned} \big(x\mapsto x\ln{(x)}\big)^{\prime} (x) &= 1\times \ln{(x)} + \dfrac{1}{x} \times x \ &= \ln{(x)}+1 \end{aligned}

  • Nous en déduisons la dérivée de ff, pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

f(x)=ln(x)+12=ln(x)1\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=\ln{(x)}+1-2 \ &=\ln{(x)}-1 \end{aligned}

  • Étude des variations de la fonction

Commençons par chercher les valeurs pour lesquelles ff^{\prime} s’annule.

f(x)=0ln(x)1=0ln(x)=1eln(x)=e1[car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R et ln est strictement croissante sur R+]x=e [car eln(x)=x]\begin{aligned} f^{\prime} (x)=0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1=0 \ &\Leftrightarrow \ln{(x)}=1 \ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}}=\text{e}^1\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car la fonction exponentielle est strictement croissante sur }\mathbb R}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et $\ln$ est strictement croissante sur }\mathbb R^{*+}]}} \ &\Leftrightarrow x=\text{e} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }\text{e}^{\ln{(x)}}=x]}} \end{aligned}

  • ff^{\prime} s’annule en x=ex=\text{e}.

Étudions maintenant le signe de la dérivée.

f(x)>0ln(x)1>0ln(x)>1eln(x)>e1x>ef(x)<0ln(x)1<0ln(x)<1x<e\begin{aligned} f^{\prime} (x)> 0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1>0 \ &\Leftrightarrow \ln{(x)}>1 \ &\Leftrightarrow \text{e}^{\ln{(x)}} > \text{e}^1 \ &\Leftrightarrow x> \text{e} \ \ f^{\prime} (x)< 0 &\Leftrightarrow \ln{(x)}-1<0 \\ &\Leftrightarrow \ln{(x)}<1 \\ &\Leftrightarrow x< \text{e} \end{aligned}

  • ff^{\prime} est strictement positive sur ];+[]\text{e}\ ;\,+\infty[.
  • ff est strictement croissante sur ];+[]\text{e}\ ;\,+\infty[.
  • ff^{\prime} est strictement négative sur ]0 ;e[]0\ ;\,\text{e}[.
  • ff est strictement décroissante sur ]0 ;e[]0\ ;\,\text{e}[.
  • Calcul de la valeur de ff en x=ex=\text{e} et des limites aux bornes de l’ensemble de définition
  • Nous commençons par calculer f(e)f(\text{e}).

f(e)=eln(e)2e=e [car ln(e)=1]\begin{aligned} f(\text{e}) &= \text{e}\ln{(\text{e})}-2 \text{e} \ &=\boxed{- \text{e}} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \ln{(\text{e})}=1]}} \end{aligned}

  • Nous calculons maintenant la limite en 00, évidemment par valeurs supérieures.

Nous avons :limx0x>0xln(x)=0 [comme nous l’avons vu plus haut]limx0x>02x=0Alors :limx0x>0f(x)=limx0x>0xln(x)+limx0x>02x=0\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}&=0 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [comme nous l’avons vu plus haut]}}} \ \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}-2x&=0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Alors\ :}} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}f(x)&=\lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}+ \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}-2x \ &=\boxed 0 \end{aligned}

  • Enfin, nous calculons la limite en ++\infty.

Nous remarquons rapidement qu’il s’agit d’une forme indéterminée du type ++\infty -\infty. Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par xx.

limx+f(x)=limx+x(ln(x)2)=+ [car limx+ln(x)2=+]\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} f(x) &= \lim\limits{x \to +\infty} x\big(\ln {(x)} - 2\big) \ &=\boxed{+\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car } \lim\limits_{x \to +\infty}\ln {(x)} - 2=+\infty]}} \end{aligned}

  • Nous pouvons finalement établir le tableau de variations de ff et tracer la courbe représentative Cf\mathscr C_f.

Alt mathématiques terminale spécialité fonction logarithme népérien

Étude des fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)}

Définition et dérivabilité de ln(u)\ln{(u)}

Dans cette partie, on appelle uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.

bannière à retenir

À retenir

ln(u)\ln{(u)} n’est définie que lorsque uu est strictement positive.

bannière exemple

Exemple

La fonction xln(2x+6)x\mapsto \ln{(2x+6)} n’est définie que lorsque 2x+6>02x+6 > 0 , c’est-à-dire lorsque x>3x > -3.

  • Le domaine de définition est donc : I=]3 ;+[I=] -3\ ;\,+\infty[.
bannière propriete

Propriété

La fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et sa dérivée est :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée :

(vu)(x)=u(x)×v(u(x))(v\circ u)^{\prime} (x) =u^{\prime} (x)\times v^{\prime}\big(u(x)\big)

  • En posant v(x)=ln(x)v(x)=\ln{(x)}, on obtient le résultat.

Exemple d’étude complète

bannière exemple

Exemple

Étudions la fonction f:xln(2x+6)f\,:\,x\mapsto \ln{(2x+6)} sur I=]3 ;+[I=] -3\ ;\,+\infty[.

Nous allons suivre la même démarche que dans la partie précédente.

  • Calcul de la dérivée

La fonction ff est dérivable sur l’intervalle II et, pour tout xIx\in I, on a, en posant u(x)=2x+6u(x)=2x+6 :

f(x)=22x+6 [car f=ln(u) et f=uu]=1x+3\begin{aligned} f^{\prime} (x)&=\dfrac{2}{2x+6} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $f=\ln{(u)}$ et $f^{\prime} =\frac {u^{\prime}}u$]}}} \ &=\dfrac{1}{x+3} \end{aligned}

  • Étude des variations de la fonction

ff^{\prime} ne s’annule par sur II.
Nous nous intéressons maintenant à son signe.

Nous voyons que, pour tout xIx\in I :

x+3>01x+3>0f(x)>0\begin{aligned} x+3 > 0 &\Leftrightarrow \dfrac 1{x+3}> 0 \ &\Leftrightarrow f^{\prime} (x)> 0 \end{aligned}

ff^{\prime} est strictement positive sur I=]3 ;+[I=] -3\ ;\,+\infty[.

  • ff est donc strictement croissante sur II.
  • Calcul des limites aux bornes de l’ensemble de définition
  • Nous calculons la limite de ff en 3-3, par valeurs supérieures.

Nous avons :limx3x>32x+6=0+Or :limx0x>0ln(x)=Donc :limx3x>3f(x)=limx3x>3ln(2x+6)= [par limite d’une composeˊe]\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits{x \to -3 \atop x>-3}2x+6&=0^+ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Or\ :}} \lim\limits{x \to 0\atop x>0}\ln{(x)}&=-\infty \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :}} \lim\limits{x \to -3\atop x>-3}f(x)&=\lim\limits{x \to -3\atop x>-3}\ln{(2x+6)} \ &=\boxed{-\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par limite d’une composée]}}} \end{aligned}

  • Puis nous calculons la limite de ff en ++\infty.

Nous avons :limx+2x+6=+Or :limx+ln(x)=+Donc :limx+f(x)=limx+ln(2x+6)=+ [par limite d’une composeˊe]\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ :}} \lim\limits{x \to +\infty}2x+6&=+\infty \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Or\ :}} \lim\limits{x \to +\infty}\ln{(x)}&=+\infty \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :}} \lim\limits{x \to +\infty}f(x)&=\lim\limits{x \to +\infty}\ln{(2x+6)} \ &=\boxed{+\infty} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par limite d’une composée]}}} \end{aligned}

  • Nous pouvons finalement établir le tableau de variations de ff.

Alt mathématiques terminale spécialité fonction logarithme népérien

Conclusion :

Les deux derniers cours nous ont permis de découvrir une nouvelle fonction, le logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, que nous avions découverte en première.
Nous en connaissons ainsi les propriétés algébriques et analytiques.