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Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons effectuer une étude complète de la fonction logarithme népérien.
Dans un premier temps, nous étudierons la fonction , puis les fonctions de la forme , avec une fonction.
À chaque fois, nous nous appuierons sur des exemples de fonctions, pour lesquelles nous mènerons une étude complète.
Étude de la fonction
Continuité, dérivabilité et sens de dérivation
Pour toute fonction, il est indispensable de connaître ses domaines de définition et de dérivabilité.
La fonction est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur .
Fonction logarithme népérien
Démontrons que, pour tout réel , .
D’après les compléments sur la dérivation que nous avons vus dans un cours précédent, pour une fonction et une fonction , où et sont des intervalles de , si est dérivable sur et que est dérivable sur , alors :
Nous remarquons que, pour tout , , et donc que .
Limites
Maintenant que nous connaissons les variations de la fonction logarithme népérien, nous allons nous intéresser aux limites aux bornes de l’ensemble de définition de cette fonction.
Pour mémoriser ces propriétés, on peut dire que l’« emporte » sur au voisinage de et au voisinage de .
Démontrons que .
Soit un réel strictement positif fixé.
Dire que tend vers quand tend vers signifie que l’on peut rendre aussi grand que l’on veut à condition de prendre suffisamment grand.
Les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont strictement croissantes sur . Nous avons donc :
Pour toutes les valeurs , il existe une valeur à partir de laquelle est supérieure à .
Pour tout réel , on pose .
Quand tend vers par valeurs supérieures, tend vers .
Étude complète
Étudions la fonction définie sur par .
La fonction est dérivable sur l’intervalle en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Soit .
L’expression est de la forme avec :
Ainsi, nous calculons la dérivée de la fonction :
Commençons par chercher les valeurs pour lesquelles s’annule.
Étudions maintenant le signe de la dérivée.
Nous remarquons rapidement qu’il s’agit d’une forme indéterminée du type . Pour lever cette indétermination, nous allons factoriser par .
Étude des fonctions de la forme
Définition et dérivabilité de
Dans cette partie, on appelle une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle .
n’est définie que lorsque est strictement positive.
La fonction n’est définie que lorsque , c’est-à-dire lorsque .
La fonction est dérivable sur et sa dérivée est :
Cette formule se déduit de la formule de dérivation d’une composée :
Exemple d’étude complète
Étudions la fonction sur .
Nous allons suivre la même démarche que dans la partie précédente.
La fonction est dérivable sur l’intervalle et, pour tout , on a, en posant :
ne s’annule par sur .
Nous nous intéressons maintenant à son signe.
Nous voyons que, pour tout :
est strictement positive sur .
Conclusion :
Les deux derniers cours nous ont permis de découvrir une nouvelle fonction, le logarithme népérien, qui est la fonction réciproque de la fonction exponentielle, que nous avions découverte en première.
Nous en connaissons ainsi les propriétés algébriques et analytiques.