Fiche de révision : Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

Fonction $x \mapsto \ln{(x)}$

La fonction $x \mapsto \ln{(x)}$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $] 0\ ;+\infty[$.
Sa dérivée est $x\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}$.

Alt mathématiques terminale spécialité fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien

Pour tout $x\in ]0\ ;\,+\infty[$, $\frac 1x>0$, et $\ln^{\prime} {(x)}>0$.
La fonction $\ln$ est effectivement strictement croissante sur $]0\ ;\,+\infty[$.
Les limites suivantes sont à connaître :

$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} =-\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(x)} =+\infty$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}= 0$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}x^n\ln{(x)}= 0$	$n>0$ entier naturel
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x}=0$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x^n}=0$	$n>0$ entier naturel

$u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
$\ln{(u)}$ n’est définie que lorsque $u$ est strictement positive.
La fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

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