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Fonction ln (logarithme népérien) : continuité, limites et dérivabilité

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Fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)}

  • La fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)} est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[] 0\ ;+\infty[.
  • Sa dérivée est xln(x)=1xx\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \dfrac{1}{x}.

Alt mathématiques terminale spécialité fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien

  • Pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[, 1x>0\frac 1x>0, et ln(x)>0\ln^{\prime} {(x)}>0.
  • La fonction ln\ln est effectivement strictement croissante sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.
  • Les limites suivantes sont à connaître :

limx0x>0ln(x)=\lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} =-\infty
limx+ln(x)=+\lim\limits{x \to +\infty} \ln{(x)} =+\infty
limx0x>0xln(x)=0\lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x\ln{(x)}= 0
limx0x>0xnln(x)=0\lim\limits{x \to 0 \atop x>0}x^n\ln{(x)}= 0 n>0n>0 entier naturel
limx+ln(x)x=0\lim\limits{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x}=0
limx+ln(x)xn=0\lim\limits{x \to +\infty} \dfrac{\ln{(x)}}{x^n}=0 n>0n>0 entier naturel

Fonctions de la forme ln(u)\ln{(u)}

  • uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
  • ln(u)\ln{(u)} n’est définie que lorsque uu est strictement positive.
  • La fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}