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Fonction logarithme népérien (ln)

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Le logarithme népérien

  • Pour tout réel a>0a>0, l’équation ex=a\text{e}^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R}, appelée logarithme népérien de aa et notée ln(a)\ln{(a)} ou lna\ln{a}.
  • On définit ainsi sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ la fonction logarithme népérien, notée ln\ln, qui, à tout x>0x>0, associe le réel ln(x)\ln{(x)} :

ln: ]0 ;+[Rxln(x)\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}

  • La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
  • La fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)} est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[] 0\ ;+\infty[.
  • Sa dérivée est xln(x)=1xx\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \frac{1}{x}.
  • uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
  • La fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

  • Les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition sont :

limx0x>0ln(x)=limx+ln(x)=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}

Alt Terminale option mathématiques complémentaire fonction logarithme népérien exponentielle

Propriétés

Propriétés Conditions
eb=ab=ln(a)\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)} a>0a>0 et bb réels
eln(a)=a\text{e}^{\ln{(a)}}=a a>0a>0 réel
ln(eb)=b\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b bb réel
ln(1)=0\ln{(1)}=0 et ln(e)=1\ln{(\text e)}=1
ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(1a)=ln(a)\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(a)=12ln(a)\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(an)=n ln(a)\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)} a>0a>0 réel et nn entier relatif
a=bln(a)=ln(b)a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a<bln(a)<ln(b)a < b \Leftrightarrow \ln{(a)}<\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a>bln(a)>ln(b)a > b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
ln(x)<00<x<1\ln{(x)} < 0\Leftrightarrow 0 < x < 1)
ln(x)>0x>1\ln{(x)} > 0\Leftrightarrow x > 1

Résolution d’équations et d'inéquations

  • Pour résoudre une équation du type ln(u(x))=ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)=v(x)u(x) = v(x) ;
  • prendre les solutions qui sont dans EE et rejeter les autres.
  • Pour résoudre une inéquation du type ln(u(x))ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)v(x)u(x) \geq v(x) ;
  • ne garder que les solutions qui sont dans EE.