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Fonction logarithme népérien (ln)

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Le logarithme népérien

  • Pour tout réel a>0a>0, l’équation ex=a\text{e}^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R}, appelée logarithme népérien de aa et notée ln(a)\ln{(a)} ou lna\ln{a}.
  • On définit ainsi sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ la fonction logarithme népérien, notée ln\ln, qui, à tout x>0x>0, associe le réel ln(x)\ln{(x)} :

ln: ]0 ;+[Rxln(x)\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}

  • La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
  • La fonction xln(x)x \mapsto \ln{(x)} est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur ]0 ;+[] 0\ ;+\infty[.
  • Sa dérivée est xln(x)=1xx\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \frac{1}{x}.
  • uu une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle II.
  • La fonction ln(u)\ln{(u)} est dérivable sur II et :

(ln(u))=uu\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}

  • Les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition sont :

limx0x>0ln(x)=limx+ln(x)=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}

Alt Terminale option mathématiques complémentaire fonction logarithme népérien exponentielle

Propriétés

Propriétés Conditions
eb=ab=ln(a)\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)} a>0a>0 et bb réels
eln(a)=a\text{e}^{\ln{(a)}}=a a>0a>0 réel
ln(eb)=b\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b bb réel
ln(1)=0\ln{(1)}=0 et ln(e)=1\ln{(\text e)}=1
ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(1a)=ln(a)\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(a)=12ln(a)\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(an)=n ln(a)\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)} a>0a>0 réel et nn entier relatif
a=bln(a)=ln(b)a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a<bln(a)<ln(b)a < b \Leftrightarrow \ln{(a)}<\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a>bln(a)>ln(b)a > b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
ln(x)<00<x<1\ln{(x)} < 0\Leftrightarrow 0 < x < 1)
ln(x)>0x>1\ln{(x)} > 0\Leftrightarrow x > 1

Résolution d’équations et d'inéquations

  • Pour résoudre une équation du type ln(u(x))=ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)=v(x)u(x) = v(x) ;
  • prendre les solutions qui sont dans EE et rejeter les autres.
  • Pour résoudre une inéquation du type ln(u(x))ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)v(x)u(x) \geq v(x) ;
  • ne garder que les solutions qui sont dans EE.