Fonction logarithme népérien (ln)

Le logarithme népérien

• Pour tout réel $a>0$, l’équation $\text{e}^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, appelée logarithme népérien de $a$ et notée $\ln{(a)}$ ou $\ln{a}$.
• On définit ainsi sur $]0\ ;\,+\infty[$ la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, qui, à tout $x>0$, associe le réel $\ln{(x)}$ :

$$\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \\ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}$$

• La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
• La fonction $x \mapsto \ln{(x)}$ est définie, continue, dérivable et strictement croissante sur $] 0\ ;+\infty[$.
• Sa dérivée est $x\mapsto \ln^{\prime} {(x)} = \frac{1}{x}$.
• $u$ une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$.
• La fonction $\ln{(u)}$ est dérivable sur $I$ et :

$$\big(\ln{(u)}\big)^{\prime} =\dfrac{u^{\prime}}{u}$$

• Les limites de la fonction aux bornes de son domaine de définition sont :

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \to 0 \atop x>0} \ln{(x)} &=-\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty} \ln{(x)} &=+\infty \end{aligned}$$

Propriétés

Résolution d’équations et d'inéquations

• Pour résoudre une équation du type $\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
• rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
• résoudre l’équation $u(x) = v(x)$ ;
• prendre les solutions qui sont dans $E$ et rejeter les autres.
• Pour résoudre une inéquation du type $\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
• rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
• résoudre l’équation $u(x) \geq v(x)$ ;
• ne garder que les solutions qui sont dans $E$.