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Fonction logarithme népérien (ln)
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Pour retrouver le cours correspondant de la spécialité « Mathématiques » :
Introduction :
Dans ce cours de l’option « Mathématiques complémentaires », nous allons définir une nouvelle fonction : le logarithme népérien.
Après l’avoir définie à partir de la fonction exponentielle vue en première, nous étudierons ses propriétés algébriques et nous résoudrons des équations et inéquations.
Enfin, nous l’étudierons en tant que fonction en voyant notamment ses propriétés graphiques.
Définition du logarithme népérien
Fonction logarithme népérien :
Pour tout réel , l’équation admet une unique solution dans , appelée logarithme népérien de et notée ou .
La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
Si est un réel strictement positif et si est un réel, alors :
Nous pouvons aussi donner deux valeurs remarquables :
Dans un repère orthonormé, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
Légende
Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur .
Propriétés algébriques du logarithme népérien
Dans cette partie, nous verrons que, comme la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien vérifie certaines propriétés algébriques.
Pour tous nombres réels et et pour tout nombre entier relatif :
Remarquons que l’on peut généraliser la première propriété à un nombre fini de réels strictement positifs . On obtient alors :
.
Soit et deux nombres réels.
Par définition, il existe deux réels et tels que et . On a donc :
Pour tout réel et , on a :
On en déduit donc, les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant des fonctions réciproques :
Par définition, on a et .
Soit un nombre réel.
Dans l’égalité précédente, prenons .
On a donc :
Appliquons ces propriétés sur quelques expressions à simplifier.
Résolutions d’équations et inéquations avec le logarithme népérien
En utilisant les propriétés de cette fonction, nous allons pouvoir résoudre des équations et inéquations contenant des logarithmes népériens.
Commençons par donner deux autres propriétés de la fonction , qui, comme nous le verrons dans le prochain cours, est strictement croissante sur .
Pour tous nombres réels et :
Nous en déduisons que, pour tout réel :
Résolution d’équations du type
Il est important d’être méthodique dans la résolution de telles équations, car, si nous savons résoudre facilement des équations, nous devons éviter les pièges, notamment celui du domaine de définition de la fonction logarithme népérien.
Pour résoudre une équation du type , il faut respecter les étapes suivantes :
Il peut arriver que l’ensemble soit l’ensemble vide, c’est-à-dire que et soient incompatibles.
Appliquons maintenant la méthodologie donnée sur un exemple.
Résolvons : .
Il faut donc :
Nous vérifions que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition. Nous avons bien .
Résolution d’inéquations du type :
Comme pour la résolution d’équations, donnons la méthode pour résoudre de telles inéquations.
Pour résoudre une équation du type , il faut respecter les étapes suivantes :
Appliquons la méthode sur un exemple.
Résolvons : .
On vérifie encore que la solution est incluse dans l’ensemble de définition. C’est bien le cas.
Résolution d’inéquations plus complexes
Maintenant, résolvons deux inéquations plus complexes, où nous allons faire appel aux propriétés algébriques du logarithme népérien.
Résolvons dans l’inéquation :
Reprenons l’exemple du cours sur les suites numériques, où un apiculteur souhaitait étendre son activité de production de miel à une nouvelle région.
L’évolution du nombre de colonies dans cette région était définie par une suite
Nous souhaitons maintenant savoir en quelle année l’apiculteur peut espérer doubler son nombre initial de colonies.
Nous avons, au centième près :
Donc la plus petite valeur
Étude de la fonction
Nous allons maintenant effectuer une étude complète de la fonction logarithme népérien.
Continuité, dérivabilité et sens de dérivation
Pour toute fonction, il est indispensable de connaître ses domaines de définition et de dérivabilité.
La fonction
Nous remarquons que, pour tout
Limites
Maintenant que nous connaissons les variations de la fonction logarithme népérien, nous allons nous intéresser aux limites aux bornes de l’ensemble de définition de cette fonction.
Dérivée d’une fonction composée
Dans cette partie, on appelle
La fonction
La fonction
Nous reverrons cette formule dans le cours suivant sur les compléments de la dérivation, vue en première.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert une nouvelle fonction, le logarithme népérien. Nous avons vu ses propriétés algébriques, qui nous ont permis de résoudre des équations et des inéquations. Nous avons ensuite vu ses propriétés graphiques en l’étudiant.