Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.

Fonction logarithme népérien (ln)

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Le logarithme népérien

  • Pour tout réel a>0a>0, l’équation ex=a\text{e}^x=a admet une unique solution dans R\mathbb{R}, appelée logarithme népérien de aa et notée ln(a)\ln{(a)} ou lna\ln{a}.
  • On définit ainsi sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ la fonction logarithme népérien, notée ln\ln, qui, à tout x>0x>0, associe le réel ln(x)\ln{(x)} :

ln: ]0 ;+[Rxln(x)\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}

  • La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

Propriétés

Propriétés Conditions
eb=ab=ln(a)\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)} a>0a>0 et bb réels
eln(a)=a\text{e}^{\ln{(a)}}=a a>0a>0 réel
ln(eb)=b\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b bb réel
ln(1)=0\ln{(1)}=0 et ln(e)=1\ln{(\text e)}=1
ln(ab)=ln(a)+ln(b)\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(1a)=ln(a)\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(ab)=ln(a)ln(b)\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)} a>0a>0 et b>0b>0 réels
ln(a)=12ln(a)\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)} a>0a>0 réel
ln(an)=n ln(a)\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)} a>0a>0 réel et nn entier relatif
a=bln(a)=ln(b)a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a<bln(a)<ln(b)a < b \Leftrightarrow \ln{(a)}<\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
a>bln(a)>ln(b)a > b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)} a>0a > 0 et b>0b > 0 réels
ln(x)<00<x<1\ln{(x)} < 0\Leftrightarrow 0 < x < 1)
ln(x)>0x>1\ln{(x)} > 0\Leftrightarrow x > 1

Résolution d’équations et d'inéquations

  • Pour résoudre une équation du type ln(u(x))=ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)=v(x)u(x) = v(x) ;
  • prendre les solutions qui sont dans EE et rejeter les autres.
  • Pour résoudre une inéquation du type ln(u(x))ln(v(x))\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big), il faut respecter les étapes suivantes :
  • rechercher l’ensemble EE des réels tels que u(x)>0u(x) > 0 et v(x)>0v(x) > 0 ;
  • résoudre l’équation u(x)v(x)u(x) \geq v(x) ;
  • ne garder que les solutions qui sont dans EE.

Le logarithme décimal

  • On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log\log définie sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ par :

log(x)=ln(x)ln(10)\log{(x)}=\dfrac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}

  • Pour tous réels a>0a > 0 et b>0b > 0, et tout nombre entier relatif nn :
  • log(ab)=log(a)+log(b)\log{(ab)}=\log{(a)}+\log{(b)} ;
  • log(ab)=log(a)log(b)\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\log{(a)}-\log{(b)} ;
  • log(an)=nlog(a)\log{(a^n)}=n\log{(a)}.
  • Si aa est un réel strictement positif et bb un réel, :
  • b=loga10b=ab = \log a \Leftrightarrow 10^b=a.