Fonction logarithme népérien : Fiche de révision de Terminale

Fonction logarithme népérien (ln)

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪

Le logarithme népérien

Pour tout réel $a>0$, l’équation $\text{e}^x=a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$, appelée logarithme népérien de $a$ et notée $\ln{(a)}$ ou $\ln{a}$.
On définit ainsi sur $]0\ ;\,+\infty[$ la fonction logarithme népérien, notée $\ln$, qui, à tout $x>0$, associe le réel $\ln{(x)}$ :

$$\begin{aligned} \ln:\ ]0\ ;\,+\infty[ &\to \mathbb R \\ x&\mapsto \ln{(x)} \end{aligned}$$

La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

Propriétés

Propriétés	Conditions
$\text{e}^b=a \Leftrightarrow b=\ln{(a)}$	$a>0$ et $b$ réels
$\text{e}^{\ln{(a)}}=a$	$a>0$ réel
$\ln{\left(\text{e}^b\right)}=b$	$b$ réel
$\ln{(1)}=0$ et $\ln{(\text e)}=1$
$\ln{(ab)}=\ln{(a)}+\ln{(b)}$	$a>0$ et $b>0$ réels
$\ln{\left(\dfrac{1}{a}\right)}=-\ln{(a)}$	$a>0$ réel
$\ln{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\ln{(a)}-\ln{(b)}$	$a>0$ et $b>0$ réels
$\ln{\left(\sqrt{a}\right)}=\dfrac{1}{2}\ln{(a)}$	$a>0$ réel
$\ln{\left(a^n\right)}=n\ \ln{(a)}$	$a>0$ réel et $n$ entier relatif
$a=b \Leftrightarrow \ln{(a)}=\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$a < b \Leftrightarrow \ln{(a)}<\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$a > b \Leftrightarrow \ln{(a)}>\ln{(b)}$	$a > 0$ et $b > 0$ réels
$\ln{(x)} < 0\Leftrightarrow 0 < x < 1$
$\ln{(x)} > 0\Leftrightarrow x > 1$

Résolution d’équations et d'inéquations

Pour résoudre une équation du type $\ln\big(u(x)\big) = \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
résoudre l’équation $u(x) = v(x)$ ;
prendre les solutions qui sont dans $E$ et rejeter les autres.
Pour résoudre une inéquation du type $\ln\big(u(x)\big) \geq \ln\big(v(x)\big)$, il faut respecter les étapes suivantes :
rechercher l’ensemble $E$ des réels tels que $u(x) > 0$ et $v(x) > 0$ ;
résoudre l’équation $u(x) \geq v(x)$ ;
ne garder que les solutions qui sont dans $E$.

Le logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée $\log$ définie sur $]0\ ;\,+\infty[$ par :

$$\log{(x)}=\dfrac{\ln{(x)}}{\ln{(10)}}$$

Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, et tout nombre entier relatif $n$ :
$\log{(ab)}=\log{(a)}+\log{(b)}$ ;
$\log{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\log{(a)}-\log{(b)}$ ;
$\log{(a^n)}=n\log{(a)}$.
Si $a$ est un réel strictement positif et $b$ un réel, :
$b = \log a \Leftrightarrow 10^b=a$.

Fiche de révision : Fonction logarithme népérien (ln)

Le logarithme népérien

Propriétés

Résolution d’équations et d'inéquations

Le logarithme décimal