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Introduction :
Dans ce cours, nous allons définir une nouvelle fonction : le logarithme népérien.
Après l’avoir défini à partir de la fonction exponentielle vue en première, nous étudierons ses propriétés algébriques, nous résoudrons des équations et inéquations, puis nous définirons le logarithme décimal.
Le logarithme népérien
Fonction logarithme népérien :
Pour tout réel , l’équation admet une unique solution dans , appelée logarithme népérien de et notée ou .
La fonction logarithme népérien et la fonction exponentielle sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.
Si est un réel strictement positif et si est un réel, alors :
Nous pouvons aussi donner deux valeurs remarquables :
Dans un repère orthonormé, les courbes de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation .
Cette symétrie existe pour toutes les fonctions réciproques l’une de l’autre, comme les fonctions carré et racine carrée sur .
Propriétés algébriques
Dans cette partie, nous verrons que, comme la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien vérifie certaines propriétés algébriques.
Pour tous nombres réels et et pour tout nombre entier relatif :
Remarquons que l’on peut généraliser la première propriété à un nombre fini de réels strictement positifs . On obtient alors :
Appliquons ces propriétés sur quelques expressions à simplifier.
Résolutions d’équations et inéquations
En utilisant les propriétés de cette fonction, nous allons pouvoir résoudre des équations et inéquations contenant des logarithmes népériens.
Commençons par donner deux autres propriétés de la fonction , qui, comme nous le verrons dans le prochain cours, est strictement croissante sur .
Pour tous nombres réels et :
Nous en déduisons que, pour tout réel :
Résolution d’équations du type
Il est important d’être méthodique dans la résolution de telles équations, car, si nous savons résoudre facilement des équations, nous devons éviter les pièges, notamment celui du domaine de définition de la fonction logarithme népérien.
Pour résoudre une équation du type , il faut respecter les étapes suivantes :
Il peut arriver que l’ensemble soit l’ensemble vide, c’est-à-dire que et soient incompatibles.
Appliquons maintenant la méthodologie donnée sur un exemple.
Résolvons : .
Il faut donc :
Nous vérifions que la solution trouvée appartient bien à l’ensemble de définition. Nous avons bien .
Résolution d’inéquations du type :
Comme pour la résolution d’équations, donnons la méthode pour résoudre de telles inéquations.
Pour résoudre une inéquation du type , il faut respecter les étapes suivantes :
Appliquons la méthode sur un exemple.
Résolvons : .
On vérifie encore que la solution est incluse dans l’ensemble de définition. C’est bien le cas.
Résolution d’équations plus complexes
Maintenant, résolvons deux équations plus complexes, où nous allons faire appel aux propriétés algébriques du logarithme népérien.
Résolvons donc : .
Nous calculons donc le discriminant :
n’appartient pas à l’ensemble de définition .
Résolvons dans l’inéquation :
Le logarithme décimal
Dans cette dernière partie, nous allons définir une fonction qui dépend du logarithme népérien et qui est très utile en physique-chimie, en enseignement scientifique (calculs de
Fonction logarithme décimal :
On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée
De cette définition et des propriétés de la fonction $\ln$, nous pouvons déduire une première propriété.
Pour tout entier relatif
Nous déduisons ensuite les deux cas particuliers suivants :
La fonction logarithme décimal étant le produit de la fonction logarithme népérien par une constante strictement positive
Pour tous réels
Nous pouvons aussi ajouter que la fonction réciproque de
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert une nouvelle fonction, le logarithme népérien. Nous en avons vu ensuite les propriétés algébriques, qui nous ont permis de résoudre des équations et des inéquations.
Dans le prochain cours, nous allons étudier en détail cette fonction, grâce aux notions que nous avons apprises en première et dans les cours précédents.