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Fonctions : continuité, dérivabilité, limites, représentation graphique

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On se limite à une approche intuitive de la continuité et on admet qu’une fonction dérivable sur un intervalle est continue. Les études de fonctions peuvent se faire sur des intervalles quelconques, avec une notion intuitive de limite aux bornes de l’intervalle. La formalisation de la notion de limite n’est pas un attendu du programme. Les opérations sur les limites sont admises. Au besoin, l’utilisation du théorème de composition des limites et des théorèmes de comparaison se fait en contexte.

La notion de fonction réciproque ne donne pas lieu à des développements théoriques, mais est illustrée par les fonctions carré, racine carrée, exponentielle, logarithme.

Contenus

  • Notion de limite. Lien avec la continuité et les asymptotes horizontales ou verticales. Limites des fonctions de référence (carré, cube, racine carrée, inverse, exponentielle, logarithme).
  • Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Cas des fonctions strictement monotones.
  • Réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle, représentation graphique.
  • Fonction logarithme népérien : réciproque de la fonction exponentielle. Limites, représentation graphique. Équation fonctionnelle. Fonction dérivée.
  • Fonction dérivée de xf(ax+b)x\mapsto f(ax+b), xeu(x)x\mapsto \text e^{u(x)}, xln(x)x\mapsto \ln(x), xu(x)2x\mapsto u(x)^2.

Capacités attendues

  • Calculer une fonction dérivée, calculer des limites. Dresser un tableau de variation.
  • Dans le cadre de la résolution de problème, utiliser le calcul des limites, l’allure des courbes représentatives des fonctions inverse, carré, cube, racine carrée, exponentielle et logarithme.
  • Exploiter le tableau de variation pour déterminer le nombre de solutions d’une équation du type f(x)=kf(x)=k, pour résoudre une inéquation du type f(x)kf(x)\geq k.
  • Déterminer des valeurs approchées, un encadrement d’une solution d’une équation du type f(x)=kf(x)=k.
  • Utiliser l’équation fonctionnelle de l’exponentielle ou du logarithme pour transformer une écriture, résoudre une équation, une inéquation.
  • Utiliser la relation lnqn=nlnq\ln q^n=n\ln q, pour déterminer un seuil.

Démonstrations

  • Relations ln(ab)=lna+lnb\ln(ab)=\ln a + \ln b, ln(1a)=lna\ln\Big(\dfrac 1 a\Big)=-\ln a.
  • Calcul de la fonction dérivée du logarithme, en admettant sa dérivabilité.
  • Calcul de la fonction dérivée de lnu\ln u, de expu\exp u .