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Limites de fonctions

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Introduction :

Nous savons ce qu’est une fonction et nous connaissons les fonctions de référence, ainsi que les polynômes du second degré. En première, nous avons appris à dériver une fonction et en étudier les variations.

Dans le cours précédent, nous avons vu comment calculer les limites d’une suite numérique.
Dans ce cours, nous allons approfondir cette notion de limites en l’appliquant aux fonctions. Elles apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.

Limite à l’infini

Dans cette première partie, nous nous intéressons au comportement des fonctions en -\infty et en ++\infty, lorsqu’elles y sont définies.

Limite infinie à l’infini

Soit aa un réel et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[.

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Définition

Limite infinie à l’infini :

  • Une fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA à partir de xx assez grand.
  • On note alors :

lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty

  • Une fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA à partir de xx assez grand.
  • On note alors :

lim{x+}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty

Regardons la courbe représentative suivante :

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

  • La fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty.

Regardons maintenant cette courbe représentative :

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

  • La fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty.
bannière exemple

Exemple

Les fonctions carré, cube ou racine carrée ont pour limite ++\infty en ++\infty :

limx+x2=limx+x3=limx+x=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} x^2 &= \lim\limits{x \to +\infty} x^3 = \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x \ &= +\infty \end{aligned}

  • On définit de la même manière les limites infinies en -\infty.
bannière exemple

Exemple

La fonction carrée a pour limite ++\infty en -\infty :

limxx2=+\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty

La fonction cube a pour limite -\infty en -\infty :

limxx3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty

Limite finie à l’infini et asymptote horizontale

Dans ce paragraphe, nous allons voir que des fonctions peuvent avoir une limite finie en -\infty ou ++\infty.

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Définition

Limite finie à l’infini :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa réel).
Dire que ff a pour limite le réel ll en ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand.

  • On note alors :

limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l

bannière à retenir

À retenir

On dit, dans ce cas, que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de ++\infty (ou en ++\infty) à la courbe représentative de ff.

De même, la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de -\infty (ou en -\infty) lorsque :

limxf(x)=l\lim\limits_{x \to - \infty} f(x)=l

Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite.
Réciproquement, si une limite finie ll en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction : celle-ci se rapproche au fur et à mesure de l’asymptote horizontale quand xx tend vers ++\infty ou -\infty.

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Exemple

Intéressons-nous à la fonction inverse.
Soit la fonction ff telle que : f(x)=1xf(x) = \dfrac 1x pour x0x \neq 0 un réel. Alors :

limx+f(x)=0limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty}f(x)=0 \ \lim\limits{x \to - \infty} f(x)=0 \end{aligned}

  • On en déduit que la droite d’équation y=0y=0 (qui est l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe Cf\mathscr C_f au voisinage de ++\infty et de -\infty.

Pour déterminer la position relative de la courbe Cf\mathscr C_f par rapport à une asymptote d’équation y=ly=l, il faut étudier le signe de la différence f(x)lf(x)-l :

  • si f(x)l>0f(x)-l > 0, alors f(x)>lf(x)>l,
  • la courbe Cf\mathscr C_f est au-dessus de l’asymptote sur l’intervalle, ou la réunion d’intervalles, où c’est le cas ;
  • si f(x)l<0f(x)-l <0, alors f(x)<lf(x)< l,
  • la courbe Cf\mathscr C_f est au-dessous de l’asymptote sur l’intervalle, ou la réunion d’intervalles, où c’est le cas.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Nous venons de voir les limites en l’infini. Intéressons-nous maintenant aux limites en un point.

Soit aa un réel et hh un réel positif non nul.
Soit ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah ;a[]a-h\ ;\,a[ ou ]a ;a+h[]a\ ;\,a+h[.

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Définition

Limite infinie en un point :

  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si, pour tout réel AA, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa.
  • On note alors :

limxaf(x)=+\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty

  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si, pour tout réel AA, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa.
  • On note alors :

limxaf(x)=\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty

bannière attention

Attention

Dans certains cas, la limite quand xx tend vers aa par valeurs inférieures et celle quand xx tend vers aa par valeurs supérieures sont différentes.

  • On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

limxax<af(x)=+\lim\limits_{x \to a \atop x < a} f(x)= +\infty

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

limxax<af(x)=\lim\limits_{x \to a \atop x < a} f(x)= -\infty

  • On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

limxax>af(x)=+\lim\limits_{x \to a \atop x > a} f(x)= +\infty

Alt Option mathématiques complémentaires limites fonctions

limxax>af(x)=\lim\limits_{x \to a \atop x > a} f(x)= - \infty

bannière à retenir

À retenir

Dans ces quatre cas, la droite d’équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite.
Réciproquement, si une limite infinie en un réel aa a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction : celle-ci se rapproche au fur et à mesure de l’asymptote verticale quand xx tend vers aa.

Si limxaf(x)\lim\limits_{x \to a} f(x) est une valeur réelle, cela ne pose pas de problème.

  • Ce cas sera étudié dans un cours prochain, sur la continuité.

Déterminer une limite

Après avoir défini la notion de limite de fonctions, nous allons voir que, comme pour les suites, nous pouvons déterminer une limite à partir de règles opératoires sur les limites et de théorèmes.

Limites des fonctions usuelles

Tout d’abord, découvrons, ou redécouvrons, les limites des fonctions usuelles.

bannière à retenir

À retenir

  • Fonctions de type xnx^n :
  • pour tout entier naturel nn :

limx+xn=+\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty

  • si nn est pair :

limxxn=+\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty

  • si nn est impair :

limxxn=\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty

  • Fonction inverse :

limx+1x=limx1x=0limx0x>01x=+limx0x<01x=\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 1x &= \lim\limits{x \to -\infty} \dfrac 1x =0 \ \ \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x &= +\infty \ \lim\limits{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x &= -\infty \end{aligned}

  • Fonction racine carrée :

limx+x=+\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty

  • Fonction exponentielle :

limxex=0limx+ex=+\begin{aligned} \lim\limits{x\to -\infty} \text{e}^x &= 0 \ \ \lim\limits{x\to +\infty} \text{e}^x&=+\infty \end{aligned}

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Démonstration

Montrons ces derniers résultats qui sont une nouveauté en terminale, à l’aide des suites géométriques.

  • Nous cherchons la limite en ++\infty de la fonction exponentielle.

limx+ex=limn+en\lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^x = \lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^n

La suite (en)(\text{e}^n) est une suite géométrique de raison e2,718>1\text{e}\approx 2,718 > 1.

  • Elle diverge donc vers ++\infty.

D’où :

limx+ex=limn+en=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^n \ &= +\infty \end{aligned}

  • Nous cherchons maintenant la limite en -\infty de la fonction exponentielle.

En posant X=xX = -x, on a : quand xx tend vers -\infty, XX tend vers ++\infty.
Par ailleurs, on se souvient de la propriété : exy=(ex)y\text{e}^{xy}={(e^x)}^y.

On obtient :

limxex=limx+ex=limn+en=limn+(e1)n=limn+(1e)n\begin{aligned} \lim\limits{x \to -\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \ &=\lim\limits{n \to +\infty} \text{e}^{-n} \ &=\lim\limits{n \to +\infty} {\big(\text{e}^{-1}\big)}^n \ &=\lim\limits_{n \to +\infty} \Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n \end{aligned}

La suite ((1e)n)\bigg(\Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n\bigg) est une suite géométrique de raison 0<1e0,37<10<\dfrac 1{\text e}\approx 0,37 <1.

  • Elle converge donc vers 00.

D’où, enfin :

limxex=limn+(1e)n=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to -\infty} \text{e}^x &= \lim\limits{n \to +\infty} \Big(\dfrac 1{\text e}\Big)^n \ &=0 \end{aligned}

Propriétés des opérations sur les limites

Les tableaux suivants donnent les règles d’opération et sont à connaître.

  • Ces règles sont toutefois aisément retrouvables grâce à la logique et à la règle des signes.
  • Comme pour les suites, il y a des formes indéterminées.
bannière à retenir

À retenir

Avec aa qui peut être un réel, -\infty ou ++\infty, ll et ll^{\prime} deux réels.

Limites de la somme de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x \to a} f(x) ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limxaf(x)+g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du produit de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll l>0l>0 l>0l>0 l<0l<0 l<0l<0 ++\infty ++\infty -\infty 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty
limxaf(x)×g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)} l×l\red{ l\times l^\prime} +\red {+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du quotient de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll ll ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty ll 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 ±\pm\infty 0+0^+- 00
limxaf(x)g(x)\red{\lim\limits{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}} ll\red{ \dfrac l {l^\prime}} 0\red 0 +\red{+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
  • Il existe donc quatre formes indéterminées :
  • (+)+()(+\infty) + (-\infty ) ;
  • 0×0\times \infty ;
  • \dfrac {\infty}{\infty} ;
  • 00\dfrac {0}{0}.
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Astuce

Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.

  • C’est notamment le cas pour les fonctions polynômiales ou rationnelles, où on factorise par le terme de plus haut degré.
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Exemple

Déterminons la limite en ++\infty de la fonction ff, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x32x+5f(x)= x^3 - 2x+5.

  • Commençons par chercher la limite par somme :

limx+x3=+limx+2x+5=\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} x^3 = +\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} -2x+5 =-\infty \end{aligned}

  • Une forme indéterminée apparaît, du type (+)+()(+\infty) + (-\infty ).
  • Pour lever cette indétermination, transformons l’expression de la fonction en la factorisant par x3x^3 (nous nous intéressons à xx grand, nous le considérons comme non nul) :

f(x)=x32x+5=x3(12x2+5x3)\begin{aligned} f(x)&= x^3 - 2x+5 \ &= x^3\left(1- \dfrac 2{x^2}+\dfrac 5{x^3}\right) \end{aligned}

  • Calculons la limite de cette nouvelle expression :

Nous avons : limx+x3=+et : limx+2x2=limx+5x3=0Par somme : limx+12x2+5x3=1Enfin, par produit : limx+x3(12x2+5x3)=+\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{Nous avons\ : }}&\lim\limits{x \to +\infty} x^3 = +\infty \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ : }}&\lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 2{x^2} = \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 5{x^3} =0 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Par somme\ : }}&\lim\limits{x \to +\infty} 1- \dfrac 2{x^2}+\dfrac 5{x^3} = 1 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Enfin, par produit\ : }}&\lim\limits_{x \to +\infty} x^3\left(1- \dfrac 2{x^2}+\dfrac 5{x^3}\right)= +\infty \end{aligned}

  • lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty

Limite d’une fonction composée

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Propriété

Soit aa, ll et LL trois nombres réels, et ff et gg deux fonctions telles que : g:IJg\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}.

  • Si \lim\limits{x \to a} g(x)= l et \lim\limits{x \to l} f(x) = L, alors :

\lim\limits{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits{x \to a} (f\circ g)(x) = L

La propriété est aussi valable lorsque aa, ll ou LL sont -\infty ou ++\infty.

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Exemple

Nous cherchons à déterminer lim{x+}ex2\lim\limits_{x \to +\infty} { {\mathrm{e}}^{-x^2}}.

  • Déterminons d’abord la limite de x2-x^2 :

lim{x+}x2=\lim\limits_{x \to +\infty} { -x^2} = -\infty

  • Soit g(x)=x2g(x)=-x^2 et f(x)=exf(x)=e^x.
  • Nous savons donc :

limx+g(x)=limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to \blue{+\infty}} g(x) &= \red{-\infty} \ \lim\limits{x \to \red{-\infty}} f(x) &= \green 0 \end{aligned}

  • Et donc, selon la propriété vue ci-dessus :

limx+ex2=limx+f(g(x))=limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \text e^{-x^2} &= \lim\limits{x \to \blue{+\infty}} f\big(g(x)\big) \ &= \lim\limits_{x \to \red{-\infty}} f(x) \ &= \green 0 \end{aligned}

Limites et comparaison

Nous connaissons, pour les suites, les théorèmes de comparaison et des gendarmes.

  • Ces théorèmes peuvent se généraliser aux fonctions, permettant de calculer la limite éventuelle d’une fonction en une valeur finie ou infinie.
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Théorème

Théorème de comparaison :

  • Soit ff et gg deux fonctions telles que :
  • f(x)g(x)f(x)\geq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel)
  • limx+g(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty
  • alors : limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty
  • Soit ff et gg deux fonctions telles que :
  • f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) ;
  • limx+g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty
  • alors : limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en -\infty, en changeant l’intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ en ] ;a[]-\infty\ ;\,a[, ou à celles en une valeur finie, avec cette fois un intervalle ouvert contenant aa.

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Théorème

Théorème des gendarmes :

Soit ff, gg et hh trois fonctions et ll un nombre réel tels que :

  • f(x)g(x)h(x)f(x)\leq g(x) \leq h(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel)
  • limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= l
  • limx+h(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l
  • alors : limx+g(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l

Ce théorème s’étend aux limites en -\infty, en changeant l’intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ en ] ;a[]-\infty\ ;\,a[, ou à celles en une valeur finie, avec cette fois un intervalle ouvert contenant aa.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons défini les limites de fonctions à l’infini et en un point, ainsi que les conditions d’existence des asymptotes horizontales et verticales.
Nous avons ensuite vu les règles opératoires sur les limites de fonctions et les théorèmes qui permettent de déterminer concrètement une limite.

Le prochain cours nous permettra d’appliquer la notion de limite pour pouvoir définir la notion de continuité d’une fonction.