Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Limites de fonctions

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Limite à l’infini

  • Soit aa un réel et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[.
  • Une fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA à partir de xx assez grand :

lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty

  • Une fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA à partir de xx assez grand :

lim{x+}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty

  • On définit de la même manière les limites infinies en -\infty.
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa réel).
  • Dire que ff a pour limite le réel ll en ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand :

limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l

  • La droite d’équation y=ly=l est alors asymptote horizontale en ++\infty à la courbe représentative de ff.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

  • Soit aa un réel et hh un réel positif non nul et ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah ;a[]a-h\ ;\,a[ ou ]a ;a+h[]a\ ;\,a+h[.
  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si, pour tout AA, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa :

limxaf(x)=+\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty

  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si, pour tout AA, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa :

limxaf(x)=\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty

  • On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.
  • On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.
  • La droite d’équation x=ax=a est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

Déterminer une limite

limx+xn=+\lim\limits{x \to +\infty} x^n= +\infty nn entier naturel
limxxn=+\lim\limits{x \to -\infty} x^n= +\infty nn entier naturel pair
limxxn=\lim\limits{x \to -\infty} x^n= -\infty nn entier naturel impair
limx+1x=limx1x=0\lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits{x \to -\infty} \dfrac 1x =0
limx0x>01x=+\lim\limits{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty
limx0x<01x=\lim\limits{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty
limx+x=+\lim\limits{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty
limxex=limx+ex=0 \lim\limits{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0
limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty
  • Avec aa qui peut être un réel, -\infty ou ++\infty, ll et ll^{\prime} deux réels.

limxaf(x)\lim\limits{x \to a} f(x) ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limxaf(x)+g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll l>0l>0 l>0l>0 l<0l<0 l<0l<0 ++\infty ++\infty -\infty 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty
limxaf(x)×g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)} l×l\red{ l\times l^\prime} +\red {+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}}

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll ll ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty ll 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 ±\pm\infty 0+0^+- 00
limxaf(x)g(x)\red{\lim\limits{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}} ll\red{ \dfrac l {l^\prime}} 0\red 0 +\red{+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
  • Il existe donc quatre formes indéterminées : (+)+()(+\infty) + (-\infty ) ; 0×0\times \infty ; \dfrac {\infty}{\infty} ; 00\dfrac {0}{0}.
  • Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
  • Fonction composée : soit aa, ll et LL trois nombres réels, et ff et gg deux fonctions telles que : g:IJg\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}.
  • Si \lim\limits{x \to a} g(x)= l et \lim\limits{x \to l} f(x) = L, alors :

\lim\limits{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits{x \to a} (f\circ g)(x) = L

  • La propriété est aussi valable lorsque aa, ll ou LL sont -\infty ou ++\infty.
  • Théorème de comparaison :
  • Soit ff et gg deux fonctions telles que f(x)g(x)f(x)\geq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+g(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty, alors :

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty

  • Soit ff et gg deux fonctions telles que f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty, alors :

limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty

  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en -\infty et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
  • Théorème des gendarmes :
  • Soit ff, gg et hh trois fonctions et ll un nombre réel tels que f(x)g(x)h(x)f(x)\leq g(x) \leq h(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+f(x)=limx+h(x)=l\lim\limits{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits{x \to +\infty} h( x)= l, alors :

limx+g(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l

  • Ce théorème s’étend aux limites en -\infty, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.