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Limites de fonctions

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2023. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Limite à l’infini

  • Soit aa un réel et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[.
  • Une fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA à partir de xx assez grand :

lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty

  • Une fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty si, pour tout réel AA donné, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA à partir de xx assez grand :

lim{x+}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty

  • On définit de la même manière les limites infinies en -\infty.
  • Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa réel).
  • Dire que ff a pour limite le réel ll en ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand :

limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l

  • La droite d’équation y=ly=l est alors asymptote horizontale en ++\infty à la courbe représentative de ff.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

  • Soit aa un réel et hh un réel positif non nul et ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah ;a[]a-h\ ;\,a[ ou ]a ;a+h[]a\ ;\,a+h[.
  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si, pour tout AA, les images f(x)f(x) sont supérieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa :

limxaf(x)=+\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty

  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si, pour tout AA, les images f(x)f(x) sont inférieures à AA quand xx est suffisamment proche de aa :

limxaf(x)=\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty

  • On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.
  • On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.
  • La droite d’équation x=ax=a est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

Déterminer une limite

limx+xn=+\lim\limits{x \to +\infty} x^n= +\infty nn entier naturel
limxxn=+\lim\limits{x \to -\infty} x^n= +\infty nn entier naturel pair
limxxn=\lim\limits{x \to -\infty} x^n= -\infty nn entier naturel impair
limx+1x=limx1x=0\lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits{x \to -\infty} \dfrac 1x =0
limx0x>01x=+\lim\limits{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty
limx0x<01x=\lim\limits{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty
limx+x=+\lim\limits{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty
limxex=limx+ex=0 \lim\limits{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0
limx+ex=+\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty
  • Avec aa qui peut être un réel, -\infty ou ++\infty, ll et ll^{\prime} deux réels.

limxaf(x)\lim\limits{x \to a} f(x) ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limxaf(x)+g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll l>0l>0 l>0l>0 l<0l<0 l<0l<0 ++\infty ++\infty -\infty 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty
limxaf(x)×g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)} l×l\red{ l\times l^\prime} +\red {+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}}

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll ll ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty ll 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 ±\pm\infty 0+0^+- 00
limxaf(x)g(x)\red{\lim\limits{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}} ll\red{ \dfrac l {l^\prime}} 0\red 0 +\red{+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
  • Il existe donc quatre formes indéterminées : (+)+()(+\infty) + (-\infty ) ; 0×0\times \infty ; \dfrac {\infty}{\infty} ; 00\dfrac {0}{0}.
  • Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
  • Fonction composée : soit aa, ll et LL trois nombres réels, et ff et gg deux fonctions telles que : g:IJg\,:\,I \to J et f:JRf\,:\,J \to \mathbb{R}.
  • Si \lim\limits{x \to a} g(x)= l et \lim\limits{x \to l} f(x) = L, alors :

\lim\limits{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits{x \to a} (f\circ g)(x) = L

  • La propriété est aussi valable lorsque aa, ll ou LL sont -\infty ou ++\infty.
  • Théorème de comparaison :
  • Soit ff et gg deux fonctions telles que f(x)g(x)f(x)\geq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+g(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty, alors :

limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty

  • Soit ff et gg deux fonctions telles que f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty, alors :

limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty

  • Ces deux propriétés s’étendent aux limites en -\infty et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
  • Théorème des gendarmes :
  • Soit ff, gg et hh trois fonctions et ll un nombre réel tels que f(x)g(x)h(x)f(x)\leq g(x) \leq h(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) et limx+f(x)=limx+h(x)=l\lim\limits{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits{x \to +\infty} h( x)= l, alors :

limx+g(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l

  • Ce théorème s’étend aux limites en -\infty, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.