Exercice cours C10 :
Fonctions convexes
Temps : 35 min
Énoncé
Depuis 2015, des biologistes étudient une population d’oiseaux qui vivent sur une île. Ils ont modélisé le nombre de centaines d’individus par la fonction $f$, définie sur $\mathbb R^+$ par :
$$f:t\mapsto \dfrac {50}{2+98 \text{e}^{-0,1t}}$$
où $t$ est le nombre d’années écoulées depuis 2015.
Par exemple, $f(2,5)$ est la population, en centaines d’individus, dénombrée au bout de deux ans et demi, donc au milieu de l’année 2017.
On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R^+$, et on note sa fonction dérivée et sa fonction dérivée seconde respectivement $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$.
Question 1
Calculer $f(0)$, puis la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.
Question 2
Question 3
On donne la représentation graphique de la fonction $f^{\prime}$ dans un repère orthogonal :
Représentation de la dérivée de f
Dans le contexte de l’exercice, $f^{\prime}(t)$ représente l’accroissement de la population d’oiseaux l’année $t$.
Avec la précision permise par le graphique, dire, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.
- Affirmation A : Pour tout nombre positif $t$, $f^{\prime\prime}(t)\geq 0$.
- Affirmation B : L’accroissement des oiseaux diminuera entre 2040 et 2050.
- Affirmation C : L’accroissement des oiseaux sera maximal vers 2054.
- Affirmation D : La fonction $f$ est concave sur $\mathbb R^+$.
Question 4
On veut vérifier certaines réponses de la question 3 par le calcul.
$$f^{\prime\prime}(t)=\dfrac{490\times \text{e}^{-0,1t}\times (-0,2+9,8\text{e}^{-0,1t})}{{(2+98\text{e}^{-0,1t})}^3}$$
Montrer que :
$f^{\prime\prime}(t)$ a le même signe que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t}$ ;
puis que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t} \geq 0$ si et seulement si $\text{e}^{0,1t}\leq 49$.
On admet que $\text{e}^{0,1t}\leq 49$ si et seulement si $0\leq t\leq t_0$, avec $t_0\approx 38,9$.
Dresser le tableau de signes de $f^{\prime\prime}(t)$ et le tableau de variations de $f^{\prime}$.
On ne demande pas les images de $0$ et $t_0$ par la fonction $f^{\prime}$, ni la limite de $f^{\prime}$ en $+\infty$.
Vérifier les réponses obtenues à la question 3.
La courbe représentant $f$ admet-elle des points d’inflexion ?
