Exercices Fonctions convexes

Étudier la convexité de la fonction suivante définie sur $\mathbb R$ par :

$ f(x)= ax^2+bx+c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels, non nul pour $a$.

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $ g(x) = \text{e}^x-x-1 $.

Montrer que pour tout $x \in \mathbb R$, $g(x) \geq 0$.

Exercice cours C10 : Fonctions convexes Temps : 35 min Énoncé

Depuis 2015, des biologistes étudient une population d’oiseaux qui vivent sur une île. Ils ont modélisé le nombre de centaines d’individus par la fonction $f$, définie sur $\mathbb R^+$ par :

$$f:t\mapsto \dfrac {50}{2+98 \text{e}^{-0,1t}}$$

• Par exemple, $f(2,5)$ est la population, en centaines d’individus, dénombrée au bout de deux ans et demi, donc au milieu de l’année 2017.

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb R^+$, et on note sa fonction dérivée et sa fonction dérivée seconde respectivement $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$.

Question 1

Calculer $f(0)$, puis la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$.

• Interpréter ces deux résultats dans le contexte de l’exercice.

Question 2

• Calculer $f^{\prime}(t)$ pour $t\in \mathbb R^+$.
• Dresser le tableau de variations de $f$.

Question 3

On donne la représentation graphique de la fonction $f^{\prime}$ dans un repère orthogonal :

Dans le contexte de l’exercice, $f^{\prime}(t)$ représente l’accroissement de la population d’oiseaux l’année $t$.
Avec la précision permise par le graphique, dire, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

• Affirmation A : Pour tout nombre positif $t$, $f^{\prime\prime}(t)\geq 0$.
• Affirmation B : L’accroissement des oiseaux diminuera entre 2040 et 2050.
• Affirmation C : L’accroissement des oiseaux sera maximal vers 2054.
• Affirmation D : La fonction $f$ est concave sur $\mathbb R^+$.

Question 4

On veut vérifier certaines réponses de la question 3 par le calcul.

• Pour cela, on admet que, pour $t\geq 0$ :

$$f^{\prime\prime}(t)=\dfrac{490\times \text{e}^{-0,1t}\times (-0,2+9,8\text{e}^{-0,1t})}{{(2+98\text{e}^{-0,1t})}^3}$$

• Montrer que :
• $f^{\prime\prime}(t)$ a le même signe que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t}$ ;
• puis que $-0,2+9,8 \text{e}^{-0,1t} \geq 0$ si et seulement si $\text{e}^{0,1t}\leq 49$.
• On admet que $\text{e}^{0,1t}\leq 49$ si et seulement si $0\leq t\leq t_0$, avec $t_0\approx 38,9$.
• Dresser le tableau de signes de $f^{\prime\prime}(t)$ et le tableau de variations de $f^{\prime}$.
  On ne demande pas les images de $0$ et $t_0$ par la fonction $f^{\prime}$, ni la limite de $f^{\prime}$ en $+\infty$.
• Vérifier les réponses obtenues à la question 3.
• La courbe représentant $f$ admet-elle des points d’inflexion ?