Fonctions convexes
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Dérivée seconde
Dérivée seconde
$f$ est une fonction définie et dérivable sur $I$ ; $f^{\prime}$ est sa dérivée.
- Si la fonction $f^{\prime}$ est dérivable sur $I$, on note $f^{\prime\prime}$ sa dérivée. $f^{\prime\prime}$ est aussi appelée dérivée seconde de la fonction $f$.
Fonctions concaves et convexes
Fonctions concaves et convexes
| Fonction concave | Fonction convexe | |
| $f$ est dérivable sur $I$ | $f$ est concave sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$ | $f$ est convexe sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ |
| $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est décroissante sur $I$ | $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est croissante sur $I$ | |
| $f$ est deux fois dérivable sur $I$ | $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est négative sur $I$ | $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est positive sur $I$ |
| Exemples | Fonction raciné carrée sur $[0\ ;\,+\infty[$ | Fonction carrée sur $\mathbb R$ |
| Fonction cube sur $]-\infty\ ;\, 0]$ | Fonction cube sur $[0\ ;\, +\infty[$ | |
| Fonction inverse sur $]-\infty\ ;\, 0[$ | Fonction inverse sur $]0\ ;\, +\infty[$ |
Point d’inflexion
Point d’inflexion
- $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
Soit un point $A\in \mathscr C_f $. - $A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr C_f$ lorsque la courbe $\mathscr C_f$ traverse sa tangente en $A$.
- En l’abscisse de $A$, la fonction $f$ passe de concave à convexe, ou l’inverse.
- $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
Soit un point $A\in \mathscr C_f $, d’abscisse $x_A$. - $A$ est un point d’inflexion pour $\mathscr C_f$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $x_A$.
Exemple
Exemple
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=(2 - x) \text{e}^x$.
Courbe représentative de la fonction f et point d’inflexion
- $f$ est convexe sur $\mathbb R^-$.
- $f$ est concave sur $\mathbb R^+$.
- $A$ est un point d'inflexion pour la courbe représentative de $f$.