Fonctions convexes

Dérivée seconde

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $I$ ; $f^{\prime}$ est sa dérivée.

Si la fonction $f^{\prime}$ est dérivable sur $I$, on note $f^{\prime\prime}$ sa dérivée. $f^{\prime\prime}$ est aussi appelée dérivée seconde de la fonction $f$.

	Fonction concave	Fonction convexe
$f$ est dérivable sur $I$	$f$ est concave sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au-dessous de toutes ses tangentes sur $I$	$f$ est convexe sur $I$ lorsque la courbe représentative de $f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$
$f$ est dérivable sur $I$	$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est décroissante sur $I$	$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime}$ est croissante sur $I$
$f$ est deux fois dérivable sur $I$	$f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est négative sur $I$	$f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ est positive sur $I$
Exemples	Fonction raciné carrée sur $[0\ ;\,+\infty[$	Fonction carrée sur $\mathbb R$
	Fonction cube sur $]-\infty\ ;\, 0]$	Fonction cube sur $[0\ ;\, +\infty[$
	Fonction inverse sur $]-\infty\ ;\, 0[$	Fonction inverse sur $]0\ ;\, +\infty[$

$f$ une fonction définie et dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
Soit un point $A\in \mathscr C_f $.
$A$ est un point d’inflexion pour la courbe $\mathscr C_f$ lorsque la courbe $\mathscr C_f$ traverse sa tangente en $A$.
En l’abscisse de $A$, la fonction $f$ passe de concave à convexe, ou l’inverse.
$f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $I$, de représentation graphique $\mathscr C_f$.
Soit un point $A\in \mathscr C_f $, d’abscisse $x_A$.
$A$ est un point d’inflexion pour $\mathscr C_f$ si et seulement si $f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe en $x_A$.

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par : $f(x)=(2 - x) \text{e}^x$.

$Courbe représentative de la fonction f et point d’inflexion$ Courbe représentative de la fonction f et point d’inflexion

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