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Fonctions convexes

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Dérivée seconde

ff est une fonction définie et dérivable sur II ; ff^{\prime} est sa dérivée.

  • Si la fonction ff^{\prime} est dérivable sur II, on note ff^{\prime\prime} sa dérivée. ff^{\prime\prime} est aussi appelée dérivée seconde de la fonction ff.

Fonctions concaves et convexes

Fonction concave Fonction convexe
ff est dérivable sur II ff est concave sur II lorsque la courbe représentative de ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur II ff est convexe sur II lorsque la courbe représentative de ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur II
ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime} est décroissante sur II ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime} est croissante sur II
ff est deux fois dérivable sur II ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est négative sur II ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est positive sur II
Exemples Fonction raciné carrée sur [0 ;+[[0\ ;\,+\infty[ Fonction carrée sur R\mathbb R
Fonction cube sur ] ;0]]-\infty\ ;\, 0] Fonction cube sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[
Fonction inverse sur ] ;0[]-\infty\ ;\, 0[ Fonction inverse sur ]0 ;+[]0\ ;\, +\infty[

Point d’inflexion

  • ff une fonction définie et dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
    Soit un point ACfA\in \mathscr C
    f .
  • AA est un point d’inflexion pour la courbe Cf\mathscr Cf lorsque la courbe Cf\mathscr Cf traverse sa tangente en AA.
  • En l’abscisse de AA, la fonction ff passe de concave à convexe, ou l’inverse.
  • ff une fonction définie et deux fois dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
    Soit un point ACfA\in \mathscr C
    f , d’abscisse xAx_A.
  • AA est un point d’inflexion pour Cf\mathscr Cf si et seulement si ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en xAxA.

Exemple

Soit la fonction ff définie sur R\mathbb R par : f(x)=(2x)exf(x)=(2 - x) \text{e}^x.

Alt texte

  • ff est convexe sur R\mathbb R^-.
  • ff est concave sur R+\mathbb R^+.
  • AA est un point d'inflexion pour la courbe représentative de ff.