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Fonctions convexes

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Celles présentes sont juste des « brouillons »
afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

😉

Introduction :

Les objectifs de ce cours sont de définir la notion graphique de convexité (et de concavité) sur un intervalle, puis de donner le lien entre la convexité et la dérivée ff^{\prime} de ff, puis la dérivée seconde ff^{\prime\prime} de ff, et enfin de définir un point d’inflexion pour la courbe représentative d’une fonction.

Définitions graphiques

Pour bien nous représenter les choses, nous allons commencer par définir graphiquement cette nouvelle notion de convexité d’une fonction.

Fonction convexe sur un intervalle

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Définition

Fonction convexe :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
Une fonction est convexe sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Prenons un exemple avec la fonction carré : xx2x\mapsto x^2.

  • Traçons sa courbe représentative et quelques-unes de ses tangentes.

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À retenir

  • Nous voyons sur le graphe ci-dessus que la courbe représentative de la fonction carré est au-dessus de toutes ses tangentes.
  • Elle est convexe sur R\mathbb R.
  • La fonction cube est convexe sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[.
  • La fonction inverse est convexe sur ]0 ;+[]0\ ;\, +\infty[.

Fonction concave sur un intervalle

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Définition

Fonction concave :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II.
Une fonction est concave sur l’intervalle II lorsque la courbe représentative de la fonction ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur cet intervalle.

Illustrons la concavité avec la fonction racine carrée : xxx\mapsto \sqrt{x}.

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bannière à retenir

À retenir

  • Nous voyons sur le graphe ci-dessus que la courbe représentative de la fonction racine carrée est au-dessous de toutes ses tangentes.
  • Elle est concave sur [0 ;+[[0\ ;\, +\infty[.
  • La fonction cube est concave sur ] ;0]]-\infty\ ;\, 0].
  • La fonction inverse est concave sur ] ;0[]-\infty\ ;\, 0[.

Convexité et lien avec la dérivation

Convexité et sens de variation de la dérivée

Nous allons maintenant voir une autre méthode pour démontrer la convexité ou la concavité d’une fonction sur un intervalle : il s’agit d’établir le lien qui existe entre une fonction convexe ou concave sur un intervalle et la dérivée de cette fonction sur cet intervalle.

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable sur II.

  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime} est croissante sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime} est décroissante sur II.

Prenons un exemple simple, avec la fonction exponentielle que nous avions étudiée en première.

  • La fonction exponentielle est convexe sur R\mathbb{R}, car sa dérivée, qui est la fonction exponentielle, est strictement croissante sur R\mathbb{R}.

Graphiquement, on peut remarquer que la courbe représentative de la fonction exponentielle est au-dessus de toutes ses tangentes sur R\mathbb R, notamment de celles aux points de la courbe d’abscisse 00 et 11.

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Convexité et signe de la dérivée seconde

Nous avons parlé dans le paragraphe précédent de fonction dérivée croissante et décroissante. Cela nous fait naturellement penser à la dérivée de la fonction dérivée, c’est-à-dire la dérivée seconde.

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Définition

Dérivée seconde :

Soit II un intervalle ; ff est une fonction définie et dérivable sur II ; ff^{\prime} est sa dérivée.
Si la fonction ff^{\prime} est dérivable sur II, on note ff^{\prime\prime}ff seconde ») sa dérivée. ff^{\prime\prime} est aussi appelée dérivée seconde de la fonction ff.

Nous pouvons maintenant relier convexité et dérivée seconde.

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction dérivable deux fois sur II.

  • ff est convexe sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est positive sur II.
  • ff est concave sur II si et seulement si ff^{\prime\prime} est négative sur II.

Prenons un premier exemple avec la fonction logarithme népérien que nous avons découverte cette année.

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Exemple

On note ff la fonction logarithme népérien qui est définie sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

  • Nous l’avons démontré dans le cours précédent, sa dérivée est la fonction définie sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ par :

f(x)=1xf^{\prime} (x) = \dfrac{1}{x}

  • Sa dérivée seconde est la fonction définie sur ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[ par :

f(x)=1x2f^{\prime\prime} (x) = -\dfrac{1}{x^2}

  • Pour tout x]0 ;+[x\in ]0\ ;\,+\infty[ :

f(x)=1x2<0f^{\prime\prime} (x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0

  • La fonction logarithme népérien est concave sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[.

Graphiquement, on peut remarquer que la courbe représentative de la fonction logarithme népérien est bien au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle ]0 ;+[]0\ ;\,+\infty[, notamment de celle aux points de la courbe d’abscisses 11 et e\text e.

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Prenons encore un exemple, avec une fonction un peu plus compliquée.

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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=(2x)exf(x) = (2 - x) \text{e}^x.

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=ex+(2x)ex=(1x)ex\begin{aligned} f^{\prime} (x) &= -\text{e}^x + (2-x) \text{e}^x \ &= (1-x) \text{e}^x \end{aligned}

  • ff^{\prime} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=ex+(1x)ex=xex\begin{aligned} f^{\prime\prime} (x) &= -\text{e}^x + (1-x) \text{e}^x \ & = -x \text{e}^x \end{aligned}

  • La fonction exponentielle est strictement positive sur R\mathbb R, donc :
  • f(x)=xex0f^{\prime\prime} (x) = -x \text{e}^x \geq 0 pour tout xRx\in \mathbb{R}^-.
  • La fonction ff est convexe sur R\mathbb R^-.
  • f(x)=xex0f^{\prime\prime} (x) = -x \text{e}^x \leq 0 pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+.
  • La fonction ff est concave sur R+\mathbb{R}^+.

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Comme nous pouvons l’observer sur le graphique ci-dessus, la courbe représentative de la fonction ff est au-dessus de toutes ses tangentes sur l’intervalle R\mathbb{R}^- et la courbe représentative de la fonction ff est au-dessous de toutes ses tangentes sur l’intervalle R+\mathbb{R}^+, indépendamment des variations de la fonction ff.

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Attention

La tangente horizontale au point de la courbe d’abscisse 11 correspond à l’abscisse xxf(x)=0f^{\prime}(x) = 0, donc où le sens de variation de ff change.

  • Cela n’a rien à voir avec la convexité ou la concavité.

Le point d’abscisse 00, lui, ne voit pas le sens de variation de ff changer, mais c’est aussi un point particulier, puisque c’est le point où ff^{\prime\prime} s’annule.

  • Nous allons définir ce point dans la partie suivante.

Point d’inflexion

Dans le dernier exemple, nous avons vu que la fonction f(x)=(2x)exf(x) = (2 - x) \text{e}^x était convexe sur R\mathbb R^- et concave sur R+\mathbb R^+.

  • Le point d’abscisse 00 est appelé point d’inflexion pour la courbe représentative de ff. Définissons cette notion.

Définition

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Définition

Point d’inflexion :

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
Soit un point ACfA\in \mathscr C
f .

Le point AA est un point d’inflexion pour la courbe Cf\mathscr Cf lorsque la courbe Cf\mathscr Cf traverse sa tangente en AA.

  • En l’abscisse du point AA, la fonction ff passe de concave à convexe, ou l’inverse.
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Attention

Un point est « point d’inflexion » pour la courbe représentative d’une fonction, et non pas pour la fonction elle-même.

Prenons un nouvel exemple.

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Exemple

On a représenté ci-dessous la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3+1f(x) = 2x^3 + 1.
La courbe représentative de ff traverse sa tangente au point d’abscisse 00, qui a pour équation y=1y = 1.

  • Le point A(0 ;1)A\,(0\ ;\,1) de la courbe représentative de ff est donc un point d’inflexion pour Cf\mathscr C_f.

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Point d’inflexion et dérivée seconde

Toujours dans l’exemple de la partie 2 que nous évoquions, nous avons vu que la dérivée seconde s’annulait et changeait de signe au point d’abscisse 00.

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Théorème

Soit II un intervalle et ff une fonction définie et deux fois dérivable sur II, de représentation graphique Cf\mathscr Cf.
Soit un point ACfA\in \mathscr C
f , d’abscisse xAxA.
AA est un point d’inflexion pour Cf\mathscr C
f si et seulement si ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en xAx_A.

Complétons maintenant l’exemple de la partie précédente.

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Exemple

Soit ff la fonction définie sur R\mathbb{R} par f(x)=2x3+1f(x) = 2x^3 + 1, de courbe représentative Cf\mathscr C_f.

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=6x2f^{\prime} (x) = 6x^2

  • ff^{\prime\prime} est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout xRx\in \mathbb{R} :

f(x)=12xf^{\prime\prime}(x) = 12x

f(x)>012x>0x>0f(x)<012x<0x<0f(0)=12×0=0\begin{aligned} f^{\prime\prime}(x) > 0 &\Leftrightarrow 12x > 0 \ &\Leftrightarrow x > 0 \ \ f^{\prime\prime}(x) < 0 &\Leftrightarrow 12x < 0 \ &\Leftrightarrow x < 0 \ \ f^{\prime\prime}(0) &= 12\times 0 \ &= 0 \end{aligned}

  • ff^{\prime\prime} s’annule en changeant de signe en x=0x = 0.
  • Le point de Cf\mathscr C_f d’abscisse 00 est un point d’inflexion pour la courbe représentative de ff.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons découvert les notions de dérivée seconde d’une fonction, de convexité et de concavité sur un intervalle, ainsi que de point d’inflexion pour la courbe représentative d’une fonction.
Grâce à elles, nous pouvons encore approfondir l’étude des fonctions.