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Fonctions cosinus et sinus
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Introduction :
En première, nous avons découvert les fonctions trigonométriques : cosinus et sinus.
Nous allons, dans ce cours, les approfondir, forts de tout ce que nous avons appris dans les cours précédents sur l’étude d’une fonction.
Dans un premier temps, nous effectuerons donc quelques rapides rappels, puis nous étudierons dans le détail les fonctions sinus et cosinus.
Enfin, nous donnerons des limites usuelles de ces fonctions et nous montrerons comment résoudre des équations et inéquations trigonométriques.
Rappels
Reprenons, pour commencer, la définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel.
Cosinus et sinus d’un nombre réel :
Soit le point du cercle trigonométrique associé à un réel .
Le point a pour coordonnées .
Redonnons maintenant quelques valeurs particulières des cosinus et sinus.
Les cosinus et sinus respectent les propriétés suivantes.
Pour tout nombre réel :
Enfin, les cosinus et sinus d’angles associés respectent certaines égalités, qu’il faut connaître ou pouvoir retrouver à partir du cercle trigonométrique.
Étude de la fonction cosinus
Dans cette partie, nous allons étudier la fonction cosinus, ses variations et tracer sa courbe représentative, comme nous l’avions fait en première. Mais, cette fois, nous partirons de la fonction dérivée de la fonction cosinus.
La fonction qui, à tout réel , associe le cosinus de est appelée fonction cosinus.
Dérivabilité de la fonction cosinus
Maintenant que nous connaissons la dérivée de la fonction cosinus, nous pouvons en réaliser l’étude.
Étude sur l’intervalle
Pour tout réel de l’intervalle , on sait que .
Observons le cercle trigonométrique :
Nous voyons :
Étude sur l’intervalle grâce à la parité et à la périodicité
L’ensemble de définition de la fonction cosinus est , qui est bien un ensemble symétrique par rapport à .
Avec la fonction cosinus, on a pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Nous savons que, pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée sinusoïde.
Étude de la fonction sinus
Étudions maintenant la fonction sinus.
La fonction qui, à tout réel , associe le sinus de est appelée fonction sinus.
Dérivabilité de la fonction sinus
Étude sur l’intervalle
Observons le cercle trigonométrique :
Nous voyons :
Étude sur l’intervalle grâce à la parité et à la périodicité
L’ensemble de définition de la fonction sinus est , qui est bien un ensemble symétrique par rapport à .
Avec la fonction sinus, on a pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine du repère.
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
Nous savons que, pour tout nombre réel :
La courbe représentative de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur .
À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur la courbe tracée précédemment sur l’intervalle .
La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.
Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques
Limites
Grâce aux études de la partie précédente, nous voyons que les valeurs de cosinus et sinus varient entre et .
Ainsi, les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.
Nous pouvons néanmoins définir deux limites particulières :
Ces derniers résultats sont à connaître, mais nous pouvons les retrouver grâce à la définition du nombre dérivé.
Composée de fonctions
Nous allons donner les dérivées pour les fonctions composées avec une fonction trigonométrique.
Soit et deux réels.
Les fonctions et définies sur par et sont dérivables sur et, pour tout nombre réel :
Plus généralement, si est une fonction dérivable sur un intervalle , les fonctions définies par et sont dérivables sur et on a :
Équations et inéquations trigonométriques
Dans cette dernière partie, nous allons découvrir, à travers des exemples, comment nous pouvons résoudre des équations et des inéquations où les fonctions trigonométriques entrent en jeu.
Nous allons résoudre l’équation sur l’intervalle .
Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction cosinus. Il suffit de relever, dans l’intervalle qui nous intéresse, les points dont l’ordonnée est égale à .
Il est toutefois plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.
Dans l’intervalle , on peut lire les solutions :
Remarque :
On procède de manière analogue, en utilisant le cercle trigonométrique, pour résoudre par exemple l’équation .
Exemple d’inéquation trigonométrique
Nous allons résoudre l’inéquation sur l’intervalle .
Utilisons, là aussi, le cercle trigonométrique.
Les solutions se lisent, dans l’ordre croissant :
Remarque :
On procède de manière analogue pour résoudre une inéquation avec la fonction sinus.
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons étudié les fonctions cosinus et sinus – importantes notamment en physique-chimie pour décrire des ondes –, mais cette fois grâce à leurs dérivées, que nous avons découvertes.
Puis, grâce au cercle trigonométrique, nous avons vu comment résoudre des équations et des inéquations trigonométriques.