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Fonctions cosinus et sinus

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Introduction :

En première, nous avons découvert les fonctions trigonométriques : cosinus et sinus.
Nous allons, dans ce cours, les approfondir, forts de tout ce que nous avons appris dans les cours précédents sur l’étude d’une fonction.

Dans un premier temps, nous effectuerons donc quelques rapides rappels, puis nous étudierons dans le détail les fonctions sinus et cosinus.
Enfin, nous donnerons des limites usuelles de ces fonctions et nous montrerons comment résoudre des équations et inéquations trigonométriques.

Rappels

Reprenons, pour commencer, la définition du cosinus et du sinus d’un nombre réel.

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Définition

Cosinus et sinus d’un nombre réel :

Soit MM le point du cercle trigonométrique associé à un réel xx.

  • Le cosinus du réel xx, noté cos(x)\cos {(x)} (ou cosx\cos {x}), est l’abscisse du point MM dans le repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec\imath,\,\vec\jmath\,).
  • Le sinus du réel xx, noté sin(x)\sin {(x)} (ou sinx\sin {x}), est l’ordonnée du point MM dans le repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec\imath,\,\vec\jmath\,).
  • À chaque réel xx, on peut associer une unique valeur du cosinus et du sinus.
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Exemple

Le point MM a pour coordonnées M(cos(x) ;sin(x))M\big(\cos {(x)}\ ;\,\sin {(x)}\big).

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Redonnons maintenant quelques valeurs particulières des cosinus et sinus.

xx 00 {π}6\dfrac{\pi}6 {π}4\dfrac{\pi}4 {π}3\dfrac{\pi}3 {π}2\dfrac{\pi}2
cos(x)\cos{(x)} 11 32\dfrac{\sqrt 3}{2} 22\dfrac{\sqrt 2}{2} 12\dfrac{1}{2} 00
sin(x)\sin{(x)} 00 12\dfrac{1}{2} 22\dfrac{\sqrt 2}{2} 32\dfrac{\sqrt 3}{2} 11

Les cosinus et sinus respectent les propriétés suivantes.

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Propriété

Pour tout nombre réel xx :

  • 1cos(x)1-1\leq \cos{(x)}\leq 1 ;
  • 1sin(x)1-1\leq \sin {(x)}\leq 1 ;
  • cos2(x)+sin2(x)=1\cos^2{(x)} +\sin^2{(x)} =1.

Enfin, les cosinus et sinus d’angles associés respectent certaines égalités, qu’il faut connaître ou pouvoir retrouver à partir du cercle trigonométrique.

cos(x)=cos(x)sin(x)=sin(x)cos(πx)=cos(x)sin(πx)=sin(x)cos(π+x)=cos(x)sin(π+x)=sin(x)\begin{aligned} \cos{(-x)}&=\cos{(x)} \ \sin{(-x)}&=-\sin{(x)} \ \cos{(\pi-x)}&=-\cos{(x)} \ \sin{(\pi-x)}&=\sin{(x)} \ \cos{(\pi+x)}&=-\cos{(x)} \ \sin{(\pi+x)}&=-\sin{(x)} \end{aligned}

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cos(π2x)=sin(x)sin(π2x)=cos(x)cos(π2+x)=sin(x)sin(π2+x)=cos(x)\begin{aligned} \cos \left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)&=\sin {(x)} \ \sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}&=\cos {(x)} \ \cos \left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)&=-\sin {(x)} \ \sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)&=\cos {(x)} \end{aligned}

Étude de la fonction cosinus

Dans cette partie, nous allons étudier la fonction cosinus, ses variations et tracer sa courbe représentative, comme nous l’avions fait en première. Mais, cette fois, nous partirons de la fonction dérivée de la fonction cosinus.

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Rappel

La fonction qui, à tout réel xx, associe le cosinus de xx est appelée fonction cosinus.

  • La fonction xcos(x)x \mapsto \cos{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.

Dérivabilité de la fonction cosinus

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Propriété

  • La fonction cosinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx :

cos(x)=sin(x)\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}

Maintenant que nous connaissons la dérivée de la fonction cosinus, nous pouvons en réaliser l’étude.

Étude sur l’intervalle [0 ;π][0\ ; \pi]

Pour tout réel xx de l’intervalle [0 ;π][0\ ;\,\pi], on sait que cos(x)=sin(x)\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}.

Observons le cercle trigonométrique :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus cercle dérivée

Nous voyons :

  • sin(0)=sin(π)=0\sin{(0)}=\sin{(\pi)}=0
  • Nous en déduisons :

cos(x)=0{x=0oux=π\cos^{\prime} {(x)}=0 \Leftrightarrow \begin{cases} x=0 \ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}}} \ x=\pi \end{cases}

  • sin(x)>0\sin{(x)}> 0, pour tout x]0 ;π[x \in]0\ ;\,\pi[
  • Nous en déduisons, pour tout x]0 ;π[x \in]0\ ;\,\pi[ :

sin(x)>0sin(x)<0cos(x)<0\begin{aligned} \sin{(x)} > 0 &\Leftrightarrow -\sin{(x)}<0 \\ &\Leftrightarrow \cos^{\prime} {(x)}<0 \end{aligned}

  • En conclusion, sur [0 ;π][0\ ;\,\pi], la fonction cosinus :
  • admet un maximum en x=0x=0, égal à cos(0)=1\cos {(0)} =1,
  • est strictement décroissante sur ]0 ;π[]0\ ;\,\pi[,
  • admet un minimum en x=πx=\pi, égal à cos(π)=1\cos {(\pi)}=-1.
  • Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de la fonction cosinus, ainsi que sa courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi].

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Étude sur l’intervalle R\mathbb R grâce à la parité et à la périodicité

  • Parité de la fonction cosinus

L’ensemble de définition de la fonction cosinus est R\mathbb{R}, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 00.

Avec ff la fonction cosinus, on a pour tout nombre réel xx :

f(x)=cos(x)=cos(x)=f(x)f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x)

  • La fonction cosinus est paire.
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Rappel

  • Une fonction ff est paire si f(x)=f(x)f(-x) = f(x), pour tout xDfx\in Df tel que xDf-x\in Df.
  • Une fonction ff est impaire si f(x)=f(x)f(-x) = - f(x), pour tout xDfx\in Df tel que xDf-x\in Df.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr C de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ;\,\pi] la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ;\,\pi].

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  • Périodicité de la fonction cosinus

Nous savons que, pour tout nombre réel xx :

f(x+2π)=cos(x+2π)=cos(x)=f(x)f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x)

  • La fonction cosinus est périodique de période 2π2\pi.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr C de la fonction cosinus est invariante par translation de vecteur 2πı2 \pi \vec \imath.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ; \pi].

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus

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Rappel

La courbe représentative de la fonction cosinus est appelée sinusoïde.

Étude de la fonction sinus

Étudions maintenant la fonction sinus.

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Rappel

La fonction qui, à tout réel xx, associe le sinus de xx est appelée fonction sinus.

  • La fonction xsin(x)x \mapsto \sin{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.

Dérivabilité de la fonction sinus

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Propriété

  • La fonction sinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est dérivable sur R\mathbb{R} et, pour tout réel xx :

sin(x)=cos(x)\sin^{\prime} {(x)}= \cos{(x)}

Étude sur l’intervalle [0 ;π][0\ ;\,\pi]

Observons le cercle trigonométrique :

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Nous voyons :

  • cos(π2)=0\cos{\left(\frac{\pi}2\right)}=0
  • Nous en déduisons :

sin(x)=0x=π2\sin^{\prime} {(x)}=0 \Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}2

  • cos(x)>0\cos{(x)}> 0, pour tout x[0 ;π2[x \in \left[0\ ;\, \frac{\pi}2\right[
  • Nous en déduisons, pour tout x[0 ;π2[x \in\left[0\ ;\, \frac{\pi}2\right[ :

cos(x)>0sin(x)>0\cos{(x)} > 0 \Leftrightarrow \sin^{\prime} {(x)}>0

  • cos(x)<0\cos{(x)}< 0, pour tout x]π2 ;π]x \in\left]\frac{\pi}2\ ;\, \pi\right]
  • Nous en déduisons, pour tout x]π2 ;π]x \in\left]\frac{\pi}2\ ;\, \pi\right] :

cos(x)<0sin(x)<0\cos{(x)} < 0 \Leftrightarrow \sin^{\prime} {(x)}<0

  • En conclusion, la fonction sinus :
  • est strictement croissante sur l’intervalle [0 ;π2[[0\ ;\, \frac{\pi}2[,
  • admet un maximum en x=π2x=\frac{\pi}2, égal à sin(π2)=1\sin \left(\frac{\pi}2\right) =1,
  • est strictement décroissante sur l’intervalle ]π2 ;π]]\frac{\pi}2\ ;\,\pi].
  • Nous pouvons maintenant tracer le tableau de variations de la fonction sinus, ainsi que sa courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi].

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus tableau courbe

Étude sur l’intervalle R\mathbb R grâce à la parité et à la périodicité

  • Parité de la fonction sinus

L’ensemble de définition de la fonction sinus est R\mathbb{R}, qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 00.

Avec ff la fonction sinus, on a pour tout nombre réel xx :

f(x)=sin(x)=sin(x)=f(x)f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x)

  • La fonction sinus est impaire.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr C de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine OO du repère.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ;\,\pi] la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [0 ;π][0\ ;\,\pi].

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • Périodicité de la fonction sinus

Nous savons que, pour tout nombre réel xx :

f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x)

  • Donc la fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.
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Propriété

La courbe représentative C\mathscr C de la fonction sinus est invariante par translation de vecteur 2πı2 \pi \vec \imath.

À l’aide de cette propriété, nous pouvons prolonger sur R\mathbb{R} la courbe tracée précédemment sur l’intervalle [π ;π][-\pi\ ;\,\pi].

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus

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Rappel

La courbe représentative de la fonction sinus est également appelée sinusoïde.

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

Limites

Grâce aux études de la partie précédente, nous voyons que les valeurs de cosinus et sinus varient entre 1-1 et 11.

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À retenir

Ainsi, les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.

Nous pouvons néanmoins définir deux limites particulières :

  • limx0sin(x)x=1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1 ;
  • limx0cos(x)1x=0\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0.

Ces derniers résultats sont à connaître, mais nous pouvons les retrouver grâce à la définition du nombre dérivé.

limx0sin(x)x=limx0sin(0+x)sin(0)x=sin(0)=cos(0)=1\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0} \dfrac {\sin(x)}{x}&= \lim\limits{x \to 0} \dfrac{\sin{(0+x)}-\sin{(0)}} {x} \ &= \sin^{\prime} {(0)} \ &=\cos{(0)} \ &= 1 \end{aligned}

  • Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction sinus au point d’abscisse 00.

limx0cos(x)1x=limx0cos(0+x)cos(0)x=cos(0)=sin(0)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x &= \lim\limits{x \to 0} \dfrac{\cos{(0+x)}-\cos{(0)}} x \ &= \cos^\prime {(0)} \ &= -\sin{(0)} \ &= 0 \end{aligned}

  • Il s’agit du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction cosinus au point d’abscisse 00.

Composée de fonctions

Nous allons donner les dérivées pour les fonctions composées avec une fonction trigonométrique.

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Propriété

Soit aa et bb deux réels.
Les fonctions ff et gg définies sur R\mathbb R par f(x)=cos(ax+b)f(x)=\cos{(ax+b)} et g(x)=sin(ax+b)g(x)=\sin{(ax+b)} sont dérivables sur R\mathbb R et, pour tout nombre réel xx :

  • f(x)=asin(ax+b)f^{\prime}(x)= - a \sin{(ax+b)} ;
  • g(x)=acos(ax+b)g^{\prime}(x)=a \cos{(ax+b)}.

Plus généralement, si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II, les fonctions définies par f(x)=cos(u(x))f(x)=\cos\big(u(x)\big) et g(x)=sin(u(x))g(x)=\sin\big(u(x)\big) sont dérivables sur II et on a :

  • f(x)=u(x)sin(u(x))f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big) ;
  • g(x)=u(x)cos(u(x))g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big).
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Exemple

  • La fonction ff définie par f(x)=cos(4x2)f(x)=\cos{(4x-2)} est dérivable sur R\mathbb R et on a :

f(x)=4sin(4x2)f^{\prime} (x)= - 4\sin{(4x-2)}

  • La fonction gg définie par g(x)=sin(1x)g(x)=\sin\left(\frac 1x\right) est dérivable sur R\mathbb R^* et on a ∶

g(x)=1x2cos(1x)g^{\prime} (x)=-\dfrac 1{x^2} \cos\left(\dfrac 1x\right)

Équations et inéquations trigonométriques

Dans cette dernière partie, nous allons découvrir, à travers des exemples, comment nous pouvons résoudre des équations et des inéquations où les fonctions trigonométriques entrent en jeu.

  • Exemple d’équation trigonométrique
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Exemple

Nous allons résoudre l’équation cos(x)=12\cos{(x)} = -\frac 12 sur l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ;\,\pi].

Il est possible d’utiliser la représentation graphique de la fonction cosinus. Il suffit de relever, dans l’intervalle qui nous intéresse, les points dont l’ordonnée est égale à 12-\frac 12.

  • Leurs abscisses sont les solutions de l’équation cos(x)=12\cos{(x)} = -\frac 12.

Il est toutefois plus facile d’utiliser le cercle trigonométrique.

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Dans l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ;\,\pi], on peut lire les solutions :

cos(x)=12{x=2π3oux=2π3\cos{(x)}=- \dfrac 12\Leftrightarrow \begin{cases} x=-\dfrac{2\pi}{3} \ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ou}}} \ x=\dfrac{2\pi}{3} \end{cases}

  • S={2π3 ;2π3}S = \left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace

Remarque :
On procède de manière analogue, en utilisant le cercle trigonométrique, pour résoudre par exemple l’équation sin(x)=12\sin{(x)}= -\frac 12.

Exemple d’inéquation trigonométrique

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Exemple

Nous allons résoudre l’inéquation cos(x)12\cos{(x)} \leq -\frac 12 sur l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ;\,\pi ].

Utilisons, là aussi, le cercle trigonométrique.

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus cercle inéquation

Les solutions se lisent, dans l’ordre croissant :

  • d’une part, l’intervalle ]π ;2π3]\left] -\pi\ ;\,-\frac{2\pi}{3} \right], où π-\pi est exclus car l’étude est limitée à l’intervalle ]π ;π]]-\pi\ ; \pi ] ;
  • d’autre part, l’intervalle [2π3 ;π]\left[\frac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right].
  • S=]π ;2π3][2π3 ;π]S = \left]-\pi\ ;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]

Remarque :
On procède de manière analogue pour résoudre une inéquation avec la fonction sinus.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons étudié les fonctions cosinus et sinus – importantes notamment en physique-chimie pour décrire des ondes –, mais cette fois grâce à leurs dérivées, que nous avons découvertes.
Puis, grâce au cercle trigonométrique, nous avons vu comment résoudre des équations et des inéquations trigonométriques.