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Fonctions cosinus et sinus

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪

Fonction cosinus

  • La fonction xcos(x)x \mapsto \cos{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout réel xx : cos(x)=sin(x)\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi] :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction cosinus est paire.
  • Pour tout réel xx : f(x)=cos(x)=cos(x)=f(x)f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x).
  • La fonction cosinus est périodique de période 2π2\pi.
  • Pour tout réel xx réel : f(x+2π)=cos(x+2π)=cos(x)=f(x)f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x).
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Fonction sinus

  • La fonction xsin(x)x \mapsto \sin{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout réel xx : sin(x)=cos(x)\sin^{\prime} {(x)} = \cos{(x)}.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi] :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction sinus est impaire.
  • Pour tout réel xx : f(x)=sin(x)=sin(x)=f(x)f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x).
  • La fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.
  • Pour tout réel xx : f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x).
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

  • Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.
  • Nous pouvons définir deux limites particulières :
  • limx0sin(x)x=1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1 ;
  • limx0cos(x)1x=0\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0.
  • Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II, les fonctions définies par f(x)=cos(u(x))f(x)=\cos\big(u(x)\big) et g(x)=sin(u(x))g(x)=\sin\big(u(x)\big) sont dérivables sur II :
  • f(x)=u(x)sin(u(x))f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big) ;
  • g(x)=u(x)cos(u(x))g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big).
  • Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, nous utilisons la courbe représentative de la fonction concernée ou, plus simplement, nous utilisons le cercle trigonométrique.
  • Par exemple, pour les résolutions suivantes avec la fonction cosinus :

cos(x)=12 sur ]π ;π]\cos{(x)} = -\frac 12 \text{ sur } ]-\pi\ ;\,\pi]

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus équation

S={2π3 ;2π3}S = \left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace

cos(x)12sur]π ;π]\cos{(x)} \leq -\frac 12 \text{sur} ]-\pi\ ;\,\pi ]

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus équation

S=]π ;2π3][2π3 ;π]S = \left]-\pi\ ;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]