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Fonctions cosinus et sinus

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Fonction cosinus

  • La fonction xcos(x)x \mapsto \cos{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction cosinus est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout réel xx : cos(x)=sin(x)\cos^{\prime} {(x)} = -\sin{(x)}.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi] :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction cosinus est paire.
  • Pour tout réel xx : f(x)=cos(x)=cos(x)=f(x)f(-x) = \cos{(-x)} = \cos{(x)} = f(x).
  • La fonction cosinus est périodique de période 2π2\pi.
  • Pour tout réel xx réel : f(x+2π)=cos(x+2π)=cos(x)=f(x)f(x+2\pi)=\cos{(x+2\pi)}=\cos{(x)} =f(x).
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Fonction sinus

  • La fonction xsin(x)x \mapsto \sin{(x)} est définie sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est continue sur R\mathbb{R}.
  • La fonction sinus est dérivable sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout réel xx : sin(x)=cos(x)\sin^{\prime} {(x)} = \cos{(x)}.
  • Tableau de variations et courbe représentative sur [0 ;π][0\ ;\,\pi] :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

  • La fonction sinus est impaire.
  • Pour tout réel xx : f(x)=sin(x)=sin(x)=f(x)f(-x) = \sin{(-x)} = -\sin{(x)} = -f(x).
  • La fonction sinus est périodique de période 2π2\pi.
  • Pour tout réel xx : f(x+2π)=sin(x+2π)=sin(x)=f(x)f(x+2\pi)=\sin{(x+2\pi)}=\sin{(x)} =f(x).
  • Courbe représentative :

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus courbe

Limites particulières, équations et inéquations trigonométriques

  • Les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en l’infini.
  • Nous pouvons définir deux limites particulières :
  • limx0sin(x)x=1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin{(x)}} x= 1 ;
  • limx0cos(x)1x=0\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\cos{(x)}-1} x= 0.
  • Si uu est une fonction dérivable sur un intervalle II, les fonctions définies par f(x)=cos(u(x))f(x)=\cos\big(u(x)\big) et g(x)=sin(u(x))g(x)=\sin\big(u(x)\big) sont dérivables sur II :
  • f(x)=u(x)sin(u(x))f^{\prime}(x)= -u^{\prime}{(x)} \sin\big(u(x)\big) ;
  • g(x)=u(x)cos(u(x))g^{\prime}(x)=u^{\prime}(x)\cos\big(u(x)\big).
  • Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique, nous utilisons la courbe représentative de la fonction concernée ou, plus simplement, nous utilisons le cercle trigonométrique.
  • Par exemple, pour les résolutions suivantes avec la fonction cosinus :

cos(x)=12 sur ]π ;π]\cos{(x)} = -\frac 12 \text{ sur } ]-\pi\ ;\,\pi]

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus équation

S={2π3 ;2π3}S = \left\lbrace -\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\dfrac{2\pi}{3}\right\rbrace

cos(x)12sur]π ;π]\cos{(x)} \leq -\frac 12 \text{sur} ]-\pi\ ;\,\pi ]

Alt Mathématiques terminale spécialité analyse fonctions trigonométriques cosinus sinus équation

S=]π ;2π3][2π3 ;π]S = \left]-\pi\ ;\,-\dfrac{2\pi}{3}\right] \cup \left[\dfrac{2\pi}{3}\ ;\,\pi \right]