Intégration
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪
Définitions
Définitions
- Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.
- Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
- L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$. Elle se note ainsi :
$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$
- On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.
- La fonction $F_a$ définie sur $[a\ ;\,b]$ par $F_a(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
Propriétés
Propriétés
- Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$.
- On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$ :
$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) \text dx &=\big[F(x)\big]_a^b \\ &=F(b)-F(a) \end{aligned}$$
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ trois réels de $I$ et $k$ un réel.
| $$ \int_a^a f(x) \text{d}x=0$$ | |
| $$\int_b^a f(x) \text{d}x=-\int_a^b f(x) \text{d}x$$ | |
| Linéarité : | $\displaystyle{\int_a^b k f(x) \text{d}x=k\int_a^b f(x) \text{d}x}$ |
| $\displaystyle {\int_a^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x=\int_a^b f(x) \text{d}x+\int_a^b g(x) \text{d}x}$ | |
| Relation de Chasles : | $$\int_a^b f(x) \text{d}x=\int_a^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x$$ |
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$.
- Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :
$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$$
- Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :
$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq \int_a^b g(x) \text{d}x$$
Applications du calcul intégral
Applications du calcul intégral
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x)$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.
Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$. - Si $ f\geq0$ sur $I$, alors :
$$\text{Aire}(\mathscr E)= \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$
- Si $f\leq0$ sur $I$, alors :
$$\text{Aire}(\mathscr E)=- \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$
- L’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :
$$\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x$$
- Soit $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a<b$.
- On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :
$$\mu= \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x$$