Intégration

Définitions

• Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.

• Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
• L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a $ et $x=b$. Elle se note ainsi :

$$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$$

• On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.

• La fonction $F_a$ définie sur $[a\ ;\,b]$ par $F_a(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.

Propriétés

• Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$.
• On appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$ :

$$\begin{aligned} \int_a^b f(x) \text dx &=\big[F(x)\big]_a^b \\ &=F(b)-F(a) \end{aligned}$$

• Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ trois réels de $I$ et $k$ un réel.

• Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$.
• Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$$

• Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :

$$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq \int_a^b g(x) \text{d}x$$

Applications du calcul intégral

• Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x)$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b $.
  Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a $ et $x=b$.
• Si $ f\geq0$ sur $I$, alors :

$$\text{Aire}(\mathscr E)= \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$

• Si $f\leq0$ sur $I$, alors :

$$\text{Aire}(\mathscr E)=- \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$$

• L’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :

$$\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x$$

• Soit $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a<b$.
• On appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :

$$\mu= \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x$$