Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Marianne

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officiel 2018 - 2019

Intégration

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

On s’appuie sur la notion intuitive d’aire rencontrée au collège et sur les propriétés d’additivité et d’invariance par translation et symétrie. On met en relation les écritures abf(x)dx\int{a}^b f(x)dx et i=1nf(xi)Δxi\sum{i=1}^n f(xi)\Delta xi.

Contenus

  • Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur [a ;b][a\ ;\, b] comme aire sous la courbe. Notation abf(x)dx\int_{a}^b f(x)dx. Relation de Chasles.
  • Valeur moyenne d’une fonction continue sur [a ;b][a\ ;\, b]. Approche graphique et numérique. La valeur moyenne est comprise entre les bornes de la fonction.
  • Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles.
  • Présentation de l’intégrale des fonctions continues de signe quelconque.
  • Théorème : si ff est continue sur [a ;b][a\ ;\, b], la fonction FF définie sur [a ;b][a\ ;\, b] par F(x)=axf(t)dtF(x)=\int_{a}^x f(t)dt est dérivable sur [a ;b][a\ ;\, b] et a pour dérivée ff.
  • Calcul d’intégrales à l’aide de primitives : si FF est une primitive de ff, alors :

abf(s)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(s)dx=F(b)-F(a)

Capacités attendues

  • Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
  • Calculer une intégrale, une valeur moyenne.
  • Calculer l’aire sous une courbe ou entre deux courbes.
  • Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

Démonstration

  • Dérivée de xaxf(t)dtx\mapsto\int_a^x f(t)dt lorsque ff est une fonction continue positive croissante.