Intégration

Intégrale d’une fonction continue positive

Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle.

Définitions et vocabulaire

Définition

Unité d’aire :

Dans un repère orthogonal $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, l’unité d’aire (notée $\text{u.a.}$) est l’aire du rectangle $OIKJ$, où $K$ est le point de coordonnées $(1\ ;\,1)$.

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.

Exemple

L’aire du rectangle $ABCD$ sur l’image ci-dessus est de $4\ \text{u.a.}$

Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$, avec $a < b$, et $\mathscr C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$ est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine $\mathscr D$ délimité par la courbe $\mathscr C$, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation $x=a$ et $x=b$.

• Elle se note ainsi :

$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$

• On parle aussi d’aire sous la courbe $\mathscr C$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$.

Astuce

On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur $[a\ ;\,b]$, $\int_a^b f(x) \text{d}x$ est un nombre réel positif ou nul.

Précisons aussi que, dans la notation donnée :

• $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale ;
• $x$ est la variable d’intégration et peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre, si celle-ci n’est pas utilisée ailleurs, et $\text{d}x$ indique que la variable est $x$.
• Ainsi, par exemple, les deux expressions suivantes sont égales :

$\int$a^b f(t)\text{d}t = \inta^b f(x) \text{d}x

Si $f$ est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.

Propriété

$f$ est une fonction continue et positive sur un intervalle $I$.
$a$, $b$ et $c$ sont des réels de $I$.

• Intervalle de longueur nulle :

$\int_a^a f(x) \text{d}x=0$

• Relation de Chasles, ou additivité des aires :

$\int$a^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x

Exemple

Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$. On donne :

$\begin{aligned} \displaystyle{\int${1}^2 f(x)\text d x}&=3 \ \displaystyle{\int{-4 }^1 f(x) \text{d}x}&=5 \end{aligned}

• Nous avons alors :

$\begin{aligned} \displaystyle{\int${-4}^2 f(x) \text{d}x}&=\displaystyle{\int{-4}^1 f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_1^2 f(x)\text{d}x} \ &=5+3 \ &=8 \end{aligned}

Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.

Propriété

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$.

• La fonction $F$aFa​ définie sur $[a\ ;\,b]$ par $F$a(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.
• Si la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[a\ ;\ b]$, alors :

$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=F(b)-F(a)$

Astuce

Nous pouvons aussi noter :

$\begin{aligned} \int$a^b f(x) \text{d}x&=\big[F(x)\big]a^b \ &=F(b)-F(a) \end{aligned}

Démontrons que la fonction $F_a$ définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction $f$ qui s’annule en $a$.

Démonstration

• On considère :
• une fonction $f$ positive et croissante sur $[a\ ;\,b]$,
• une fonction $F_a$ :

$\begin{aligned} F$a\, :\,[a\ ;\,b] &\to \mathbb{R} \ x&\mapsto \inta^x f(t) \text{d}t \end{aligned}

• D’après la définition de l’intégrale, $F_a(x)$ est l’aire de la surface hachurée ci-dessous.

• On calcule le taux de variation de $F_a$ en $x$ dans le cas où $h$ est un réel strictement positif (avec $x + h \leq b$).

$f$ est croissante sur $[x\ ;\,x+h]$, on constate sur l’image que l’aire qui représente $F$a(x+h)-Fa(x) est comprise entre deux rectangles de largeur $h$, et chacun de hauteur respective $f(x)$ et $f(x+h)$, donc :

$\begin{aligned} h \times f(x) &\leq F$a(x+h) - Fa(x) \leq h \times f(x + h) \ \ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x + h) \longrightarrow$ inégalité $(1)$}} \end{aligned}

• On calcule le taux de variation de $F_a$ en $x$ dans le cas où $h$ est un réel strictement négatif (avec $a \leq x + h$).

$f$ est croissante sur $[x+h\ ;\,x]$, on constate sur l’image que l’aire qui représente $F$a(x)-Fa(x+h) est comprise entre deux rectangles de largeur $-h$, et chacun de hauteur respective $f(x+h)$ et $f(x)$, donc :

$\begin{aligned} -h \times f(x+h) &\leq F$a(x) - Fa(x+h) \leq -h \times f(x)\ \ f(x+h) &\leq \dfrac{Fa(x) - Fa(x+h)}{-h} \leq f(x)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[ici, le sens des inégal}}} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ités ne change pas car $-h$ est un nombre positif]}}}\ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x+h)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x) \longrightarrow$ inégalité $(2)$}} \end{aligned}

• On en déduit la dérivée de $F_a(x)$ lorsque $h$ tend vers $0$.
• $f$ est continue sur $[a\ ;\ b]$, donc $\lim\limits_{h \to 0} f(x+h) = f(x)$.
• Ainsi, d’après les $\textcolor{#BF1280}{\text{inégalités $(1)$ et $(2)$}}$, en passant à la limite quand $h$ tend vers $0$, on obtient par encadrement :

$\begin{aligned} \lim\limits${h \to 0} \dfrac{Fa(x+h) - Fa(x)}{h} &= f(x)\ Fa^{\prime}(x) &= f(x)\ \text{pour}\ x \in [a\ ;\ b] \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la définition du nombre dérivé]}}}\ \end{aligned}

• Par définition, la fonction $F_a$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$, et elle s’annule en $a$ car :

$F$a(a) = \inta^a f(t) \text{d}t = 0

• Ainsi, la fonction $x\mapsto F$a(x) = \inta^x f(t) \text{d}t est la primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a\ ;\,b]$ qui s’annule en $a$.

Prenons maintenant un exemple de calcul.

Exemple

Calculons l’intégrale :

$\displaystyle{\int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x}$

• La fonction f\, :\,x \mapsto 4x^2+3x est continue et positive sur l’intervalle $[1\ ;\,3]$, donc son intégrale existe d’après ce qui précède.

On pose, pour tout $x \in [1\ ;\,3]$ :

$F(x)=\dfrac{4}{3} x^3+\dfrac{3}{2} x^2$

• La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle.
• On calcule maintenant l’intégrale :

$\begin{aligned} \int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x&=F(3)-F(1)\ &=\left( \dfrac{4}{3}×3^3+\dfrac{3}{2}×3^2 \right)-\left( \dfrac{4}{3}×1^3+\dfrac{3}{2}×1^2 \right) \ &=\left( 36+\dfrac{27}{2} \right)- \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2} \right) \ &=36+\dfrac {27}{2}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{2} \ &=\dfrac{216}{6}+\dfrac{81}{6}-\dfrac{8}{6}-\dfrac{9}{6} \ &=\dfrac{280}{6} \ &=\dfrac{140}{3}\ \text{u.a.} \end{aligned}$

Nous allons maintenant présenter une méthode d’approximation d’une intégrale.

• Considérons une fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $[a\ ;\,b]$ ($a < b$), représentée graphiquement ci-dessous.

• Partageons l’intervalle $[a\ ;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur, où $n$ est un entier naturel plus grand que $2$.
• Le but est que $n$ soit le plus grand possible pour approcher le plus possible la courbe représentative de la fonction $f$.
• Pour tout $i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace$, plaçons les abscisses $x$ixi​ et les points $A$i, $A^{\prime}$iAi′​ et $A^{\prime\prime}$i d’abscisse $x$ixi​, et les points $A${i+1}, $A^{\prime}${i+1}Ai+1′​ et $A^{\prime\prime}${i+1} d’abscisse $x_{i+1}$, comme indiqué sur le graphique.

Pour tout i\in {1 ; 2 ; … ; n} :

• l’aire du rectangle $A$i A^{\prime}i A^{\prime}{i+1} A{i+1} est :

$(x${i+1} - xi) f(x_i)

• l’aire du rectangle $A$i A^{\prime\prime}i A^{\prime\prime}{i+1} A{i+1} est :

$(x${i+1} - xi) f(x_{i+1})

• la fonction $f$ est positive sur l’intervalle $[x$i\ ;\,x{i+1}], donc l’intégrale $\int${xi}^{x{i+1}} f(t) \text{d} t∫xi​xi+1​​f(t)dt est égale (en $\text{u.a.}$) à l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de $f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = x$i et $x = x_{i+1}$.
• $(x${i+1} - xi) f(xi)(xi+1​−xi​)f(xi​) ou $(x${i+1} - xi) f(x{i+1}) sont donc des valeurs approchées de l’intégrale :

$\int${xi}^{x_{i+1}} f(t) \text{d} t

• En faisant la somme des aires des rectangles ainsi définis, nous obtenons, pour $\int_a^b f(t) \text{d} t$, les valeurs approchées :

$\begin{aligned} \sum${i=0}^{n-1} (x{i+1} - xi) f(xi) &= un \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :\ }} \sum{i=0}^{n-1} (x{i+1} - xi) f(x{i+1}) &= vn \end{aligned}

• Comme nous avons partagé $[a\ ;\,b]$ en $n$ intervalles de même longueur, nous avons, pour tout $i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace$ :

$x${i+1} - xi = \dfrac{b-a}{n}

• Nous obtenons ainsi :

$\begin{aligned} u$n &=\sum{i=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n}f(xi) \ &= \dfrac{b-a}{n} \sum{i=0}^{n-1} f(xi) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $\frac {b-a}{n}$]}}} \ &= \dfrac{b-a}{n} \big(f(x0) + f(x1) + … + f(x{n-1})\big) \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{De même\ :\ }}vn &= \dfrac{b-a}{n} (f(x1) + f(x2) + … + f(xn)) \end{aligned}

• Cette méthode d’approximation d’une aire est appelée la méthode des rectangles.
• En faisant tendre $n$ tend $+\infty$, on peut se rapprocher de plus en plus (en utilisant la suite $(u$n)(un​) ou la suite $(v$n), ou les deux) de la valeur de cette aire qui est égale (en $\text{u.a.}$) à :

$\int_a^b f(t) \text{d} t$

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition

Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.

Définition

Intégrale d’une fonction continue :

Si $f$ est une fonction continue sur l’intervalle $I$, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ et si $a$ et $b$ sont deux réels quelconques de $I$, alors on appelle intégrale de $f$ entre $a$ et $b$ la différence $F(b)-F(a)$.

• Cette intégrale est toujours notée :

$\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}$

Propriétés

Donnons quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.

Propriété

Soit $f$ et $g$ une fonction continue sur un intervalle $I$, $a$, $b$ et $c$ des réels quelconques de $I$ et $k$ un réel.

• On a les propriétés suivantes :

$\begin{aligned} \int$a^a f(x) \text{d}x&=0 \ \intb^a f(x) \text{d}x&=-\inta^b f(x) \text{d}x \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Linéarité\ :\ }}\inta^b k f(x) \text{d}x&=k\inta^b f(x) \text{d}x \ \inta^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x&=\inta^b f(x) \text{d}x+\inta^b g(x) \text{d}x \end{aligned}

• Relation de Chasles

Pour tous réels $a$, $b$ et $c$ tels que $a\leq c\leq b$ :

$\int$a^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x

• Positivité de l’intégrale

$a$ et $b$ sont maintenant deux réels de $I$ tels que $a < b$.

• Si $f(x)\geq0$ pour tout $x$ de $[a\ ;\,b]$, alors :

$\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0$

• Si $f(x)\geq g(x)$ pour tout $x$ de $[a\ ;\ b]$, alors :

$\int$a^b f(x) \text{d}x\geq \inta^b g(x) \text{d}x

Exemple

Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.

Exemple

Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :

$\begin{aligned} I&=\int$0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ J&=\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \end{aligned}

Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale $J$, puisqu’il est impossible de calculer une primitive de $x\mapsto \dfrac{2}{e^x+2}$ avec les formules classiques.

• Nous allons donc calculer $I$, puis $I+J$, pour en déduire $J$.
• Calculons l’intégrale $I$.

Soit $f$ la fonction définie sur $[0\ ;\,1]$ par :

$f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}$

$f$ est de la forme $\frac{u^{\prime}}{u}$, où $u(x) = \text{e}^x + 2>0$, donc une primitive $F$ de $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\,1]$ sera de la forme $\ln{(u)}$ :

$F(x)= \ln{(\text{e}^x + 2)}$

• Nous pouvons ainsi calculer $I$ :

$\begin{aligned} I& =\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}\text{d}x\ &=F(1)-F(0)\ &=\ln {(\text{e}^1+2)}-\ln {(\text{e}^0+2)} \ &= \ln {(\text{e}+2)} - \ln {(3)}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text{e}^0=1$]}}} \end{aligned}$

• Calculons l’intégrale $I+J$.

Nous avons :

$\begin{aligned} I+J&=\int$0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x +\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ &= \int0^1 \left( \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}+ \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \right) \text{d}x\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la propriété de linéarité]}}} \ &=\int0^1 \dfrac{\text{e}^x+2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ &=\int_0^1 1 \text{d}x \ &=G(1)-G(0)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en prenant $G(x)=x$]}}} \ &=1-0\ &=1 \end{aligned}

• On a donc : $I+J=1$.
• Trouvons maintenant la valeur de l’intégrale $J$.

On a $I+J=1$.

• On en déduit la valeur de l’intégrale $J$ :

$\begin{aligned}J&=1-I\ &=1-\big(\ln {(\text{e}+2)} -\ln {(3)}\big)\ &=1- \ln {(\text{e}+2)} +\ln {(3)} \ &=1-\ln\left(\dfrac{\text{e}+2}{3}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln{(a)} -\ln{(b)}= \ln\left(\frac ab\right)$]}}} \end{aligned}$

Applications du calcul intégral

Nous savons maintenant comment calculer une intégrale. Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

Propriété

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a < b$.

Soit $\mathscr E$ la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe $\mathscr C_f$ représentant $f$ et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$.

• Si $f\geq0$ sur $I$, alors :

$\text{Aire}(\mathscr E)= \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$

• Si $f\leq0$, alors :

$\text{Aire}(\mathscr E)=- \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}$

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle $[a\ ;\,c]$, la fonction $f$ est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses).

• L’aire $A_1$ sera donc égale à :

$\int_a^c f(x) \text{d}x$

En revanche, sur l’intervalle $[c\ ;\,b]$, la fonction $f$ est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

• L’aire $A_2$ sera donc égale à :

$-\int_c^b f(x) \text{d}x$

Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

Propriété

Soit $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $I$ telles que $f(x)\leq g(x)$ sur $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$ tels que $a\leq b$.

• Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes $\mathscr C$fCf​ et $\mathscr C$g et les droites d’équation $x=a$ et $x=b$ est égale à :

$\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x$

Valeur moyenne d’une fonction

Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si $f$ est une fonction continue sur $[a\ ;\,b]$, avec $a \neq b$ et $a$, on appelle valeur moyenne de $f$ sur $[a\ ;\ b]$ le réel :

$\mu= \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x$

Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.

Exemple

Ici, la fonction $f$ est positive sur $[a\ ;\,b]$, on interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de $f$ est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à $\mu$.

• Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire hachurée en bleu.

Nous allons maintenant, à travers un exemple, interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

Exemple

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0\ ;\, 20]$ par :

$f(x) = 1\,000 \times (x+5) \times \text{e}^{-0,2x}$

Cette fonction est la fonction de demande d’un produit.

• Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à $x \text{ euros}$.
• On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$ par :

$F(x) = -5\,000\times (x + 10) \times \text{e}^{-0,2x}$

Montrons que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$.

Soit $x\in [0\ ;\, 20]$. Nous avons alors :

$\begin{aligned} F^{\prime}(x) &= -5\,000 \times \big(1\times \text{e}^{-0,2x} - 0,2\times (x + 10)\times \text{e}^{-0,2x}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ et $(\text{e}^w)^{\prime}=w^{\prime}\text{e}^w$]}}} \ &=-5\,000 \times \big(1 - 0,2\times (x + 10)\big) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 5\,000\big)\times \text{e}^{-0,2x} \ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 1\,000 \times 5\big) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= 1\,000\times (x + 10 - 5) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= 1\,000\times (x + 5) \text{e}^{-0,2x} \ &= f(x) \end{aligned}$

• La fonction $F$ est donc bien une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 20]$.
• Déterminons la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\, 8]$.

D’après la définition que nous venons de voir, la valeur moyenne $\mu$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\,8]$ est :

$\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{8-2}\times \int$2^8 f(x) \text{d} x \ &= \dfrac{1}{6}\times \big[F(x)\big]2^8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $F$ est une primitive de $f$ sur $[2\ ;\, 8]$]}}} \ &= \dfrac{1}{6}\times \big(F(8) - F(2)\big) \ &= \dfrac{1}{6} \times \big(-5\,000\times (8 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 8} - (-5\,000\times (2 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 2} )\big) \ &= \dfrac{5\,000}{6} \times \big((2 +10)\times \text{e}^{-0,4} - (8 +10)\times \text{e}^{-1,6}\big) \ &= \dfrac{2\,500}{3}\times (12\times \text{e}^{-0,4} - 18\times \text{e}^{-1,6}) \ &= 2\,500\times (4\times \text{e}^{-0,4} - 6\times \text{e}^{-1,6}) \ &\approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}} \end{aligned}

• Interprétons ce résultat.

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[2\ ;\, 8]$ est :

$\mu \approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}}$

• Par définition de la fonction $f$, la quantité moyenne d’objets demandés, lorsque le prix unitaire est compris entre $2 \text{ euros}$ et $8 \text{ euros}$, est d’environ $3\,675$.