Intégration

On s’appuie sur la notion intuitive d’aire rencontrée au collège et sur les propriétés d’additivité et d’invariance par translation et symétrie. On met en relation les écritures $\int${a}^b f(x)dx∫ab​f(x)dx et $\sum${i=1}^n f(xi)\Delta xi.

Contenus

• Définition de l’intégrale d’une fonction continue et positive sur $[a\ ;\, b]$ comme aire sous la courbe. Notation $\int_{a}^b f(x)dx$. Relation de Chasles.
• Valeur moyenne d’une fonction continue sur $[a\ ;\, b]$. Approche graphique et numérique. La valeur moyenne est comprise entre les bornes de la fonction.
• Approximation d’une intégrale par la méthode des rectangles.
• Présentation de l’intégrale des fonctions continues de signe quelconque.
• Théorème : si $f$ est continue sur $[a\ ;\, b]$, la fonction $F$ définie sur $[a\ ;\, b]$ par $F(x)=\int_{a}^x f(t)dt$ est dérivable sur $[a\ ;\, b]$ et a pour dérivée $f$.
• Calcul d’intégrales à l’aide de primitives : si $F$ est une primitive de $f$, alors :

$\int_a^b f(s)dx=F(b)-F(a)$

Capacités attendues

• Estimer graphiquement ou encadrer une intégrale, une valeur moyenne.
• Calculer une intégrale, une valeur moyenne.
• Calculer l’aire sous une courbe ou entre deux courbes.
• Interpréter une intégrale, une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

Démonstration

• Dérivée de $x\mapsto\int_a^x f(t)dt$ lorsque $f$ est une fonction continue positive croissante.