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Intégration

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons aborder la notion de calcul intégral. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et permettra également, dans le supérieur, de déterminer des probabilités et des statistiques.

Intégrale d’une fonction continue positive

Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle.

Définitions et vocabulaire

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Définition

Unité d’aire :

Dans un repère orthogonal (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,), l’unité d’aire (notée u.a.\text{u.a.}) est l’aire du rectangle OIKJOIKJ, où KK est le point de coordonnées (1 ;1)(1\ ;\,1).

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration unité d’aire

À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.

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Exemple

L’aire du rectangle ABCDABCD sur l’image ci-dessus est de 4 u.a.4\ \text{u.a.}

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Définition

Intégrale d’une fonction positive :

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b], avec a<ba < b, et C\mathscr C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de aa à bb de ff est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine D\mathscr D délimité par la courbe C\mathscr C, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.

  • Elle se note ainsi :

abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}

  • On parle aussi d’aire sous la courbe C\mathscr C sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

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Astuce

On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur [a ;b][a\ ;\,b], abf(x)dx\int_a^b f(x) \text{d}x est un nombre réel positif ou nul.

Précisons aussi que, dans la notation donnée :

  • aa et bb sont les bornes de l’intégrale ;
  • xx est la variable d’intégration et peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre, si celle-ci n’est pas utilisée ailleurs, et dx\text{d}x indique que la variable est xx.
  • Ainsi, par exemple, les deux expressions suivantes sont égales :

abf(t)dt=abf(x)dx\inta^b f(t)\text{d}t = \inta^b f(x) \text{d}x

Si ff est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.

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Propriété

ff est une fonction continue et positive sur un intervalle II.
aa, bb et cc sont des réels de II.

  • Intervalle de longueur nulle :

aaf(x)dx=0\int_a^a f(x) \text{d}x=0

  • Relation de Chasles, ou additivité des aires :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\inta^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x

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Exemple

Soit ff une fonction continue sur R\mathbb{R}. On donne :

12f(x)dx=341f(x)dx=5\begin{aligned} \displaystyle{\int{1}^2 f(x)\text d x}&=3 \ \displaystyle{\int{-4 }^1 f(x) \text{d}x}&=5 \end{aligned}

  • Nous avons alors :

42f(x)dx=41f(x)dx+12f(x)dx=5+3=8\begin{aligned} \displaystyle{\int{-4}^2 f(x) \text{d}x}&=\displaystyle{\int{-4}^1 f(x) \text{d}x}+\displaystyle{\int_1^2 f(x)\text{d}x} \ &=5+3 \ &=8 \end{aligned}

Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive

Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.

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Propriété

Soit ff une fonction continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b].

  • La fonction FaFa définie sur [a ;b][a\ ;\,b] par Fa(x)=axf(t)dtFa(x) = \int_a^x f(t) \text{d}t est la primitive de ff qui s’annule en aa.
  • Si la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}=F(b)-F(a)

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Astuce

Nous pouvons aussi noter :

abf(x)dx=[F(x)]ab=F(b)F(a)\begin{aligned} \inta^b f(x) \text{d}x&=\big[F(x)\big]a^b \ &=F(b)-F(a) \end{aligned}

Démontrons que la fonction FaF_a définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction ff qui s’annule en aa.

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Démonstration

  • On considère :
  • une fonction ff positive et croissante sur [a ;b][a\ ;\,b],
  • une fonction FaF_a :

Fanbsp;:[a ;b]Rxaxf(t)dt\begin{aligned} Fa\, :\,[a\ ;\,b] &\to \mathbb{R} \ x&\mapsto \inta^x f(t) \text{d}t \end{aligned}

  • D’après la définition de l’intégrale, Fa(x)F_a(x) est l’aire de la surface hachurée ci-dessous.

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

  • On calcule le taux de variation de FaF_a en xx dans le cas où hh est un réel strictement positif (avec x+hbx + h \leq b).

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ff est croissante sur [x ;x+h][x\ ;\,x+h], on constate sur l’image que l’aire qui représente Fa(x+h)Fa(x)Fa(x+h)-Fa(x) est comprise entre deux rectangles de largeur hh, et chacun de hauteur respective f(x)f(x) et f(x+h)f(x+h), donc :

h×f(x)Fa(x+h)Fa(x)h×f(x+h)f(x)Fa(x+h)Fa(x)hf(x+h) ineˊgaliteˊ (1)\begin{aligned} h \times f(x) &\leq Fa(x+h) - Fa(x) \leq h \times f(x + h) \ \ \textcolor{#BF1280}{\text{f(x)f(x)}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x + h) \longrightarrow$ inégalité $(1)$}} \end{aligned}

  • On calcule le taux de variation de FaF_a en xx dans le cas où hh est un réel strictement négatif (avec ax+ha \leq x + h).

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

ff est croissante sur [x+h ;x][x+h\ ;\,x], on constate sur l’image que l’aire qui représente Fa(x)Fa(x+h)Fa(x)-Fa(x+h) est comprise entre deux rectangles de largeur h-h, et chacun de hauteur respective f(x+h)f(x+h) et f(x)f(x), donc :

h×f(x+h)Fa(x)Fa(x+h)h×f(x)f(x+h)Fa(x)Fa(x+h)hf(x)[ici, le sens des ineˊgaliteˊs ne change pas car h est un nombre positif]f(x+h)Fa(x+h)Fa(x)hf(x) ineˊgaliteˊ (2)\begin{aligned} -h \times f(x+h) &\leq Fa(x) - Fa(x+h) \leq -h \times f(x)\ \ f(x+h) &\leq \dfrac{Fa(x) - Fa(x+h)}{-h} \leq f(x)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[ici, le sens des inégal}}} &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ités ne change pas car $-h$ est un nombre positif]}}}\ \textcolor{#BF1280}{\text{$f(x+h)$}} &\textcolor{#BF1280}{\text{$\leq \dfrac{F_a(x+h) - F_a(x)}{h} \leq f(x) \longrightarrow$ inégalité $(2)$}} \end{aligned}

  • On en déduit la dérivée de Fa(x)F_a(x) lorsque hh tend vers 00.
  • ff est continue sur [a ; b][a\ ;\ b], donc limh0f(x+h)=f(x)\lim\limits_{h \to 0} f(x+h) = f(x).
  • Ainsi, d’après les ineˊgaliteˊ(1) et (2)\textcolor{#BF1280}{\text{inégalités $(1)$ et $(2)$}}, en passant à la limite quand hh tend vers 00, on obtient par encadrement :

limh0Fa(x+h)Fa(x)h=f(x)Fa(x)=f(x) pour x[a ; b][d’apreˋs la deˊfinition du nombre deˊriveˊ]\begin{aligned} \lim\limits{h \to 0} \dfrac{Fa(x+h) - Fa(x)}{h} &= f(x)\ Fa^{\prime}(x) &= f(x)\ \text{pour}\ x \in [a\ ;\ b] \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la définition du nombre dérivé]}}}\ \end{aligned}

  • Par définition, la fonction FaF_a est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b], et elle s’annule en aa car :

Fa(a)=aaf(t)dt=0Fa(a) = \inta^a f(t) \text{d}t = 0

  • Ainsi, la fonction xFa(x)=axf(t)dtx\mapsto Fa(x) = \inta^x f(t) \text{d}t est la primitive de la fonction ff sur l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b] qui s’annule en aa.

Prenons maintenant un exemple de calcul.

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Exemple

Calculons l’intégrale :

13(4x2+3x)dx\displaystyle{\int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x}

  • La fonction f\, :\,x \mapsto 4x^2+3x est continue et positive sur l’intervalle [1 ;3][1\ ;\,3], donc son intégrale existe d’après ce qui précède.

On pose, pour tout x[1 ;3]x \in [1\ ;\,3] :

F(x)=43x3+32x2F(x)=\dfrac{4}{3} x^3+\dfrac{3}{2} x^2

  • La fonction FF est une primitive de ff sur cet intervalle.
  • On calcule maintenant l’intégrale :

13(4x2+3x)dx=F(3)F(1)=(43×33+32×32)(43×13+32×12)=(36+272)(43+32)=36+2724332=2166+8168696=2806=1403 u.a.\begin{aligned} \int_1^3(4x^2+3x)\text{d}x&=F(3)-F(1)\ &=\left( \dfrac{4}{3}×3^3+\dfrac{3}{2}×3^2 \right)-\left( \dfrac{4}{3}×1^3+\dfrac{3}{2}×1^2 \right) \ &=\left( 36+\dfrac{27}{2} \right)- \left(\dfrac{4}{3}+\dfrac{3}{2} \right) \ &=36+\dfrac {27}{2}-\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{2} \ &=\dfrac{216}{6}+\dfrac{81}{6}-\dfrac{8}{6}-\dfrac{9}{6} \ &=\dfrac{280}{6} \ &=\dfrac{140}{3}\ \text{u.a.} \end{aligned}

Nous allons maintenant présenter une méthode d’approximation d’une intégrale.

  • Considérons une fonction ff continue et positive sur un intervalle [a ;b][a\ ;\,b] (a<ba < b), représentée graphiquement ci-dessous.

Alt texte Image temporaire

  • Partageons l’intervalle [a ;b][a\ ;\,b] en nn intervalles de même longueur, où nn est un entier naturel plus grand que 22.
  • Le but est que nn soit le plus grand possible pour approcher le plus possible la courbe représentative de la fonction ff.
  • Pour tout i{1,2,,n}i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace, plaçons les abscisses xixi et les points AiAi, AiA^{\prime}i et AiA^{\prime\prime}i d’abscisse xixi, et les points Ai+1A{i+1}, Ai+1A^{\prime}{i+1} et Ai+1A^{\prime\prime}{i+1} d’abscisse xi+1x_{i+1}, comme indiqué sur le graphique.

Pour tout i\in {1 ; 2 ; … ; n} :

  • l’aire du rectangle AiAiAi+1Ai+1Ai A^{\prime}i A^{\prime}{i+1} A{i+1} est :

(xi+1xi)f(xi)(x{i+1} - xi) f(x_i)

  • l’aire du rectangle AiAiAi+1Ai+1Ai A^{\prime\prime}i A^{\prime\prime}{i+1} A{i+1} est :

(xi+1xi)f(xi+1)(x{i+1} - xi) f(x_{i+1})

  • la fonction ff est positive sur l’intervalle [xi ;xi+1][xi\ ;\,x{i+1}], donc l’intégrale xixi+1f(t)dt\int{xi}^{x{i+1}} f(t) \text{d} t est égale (en u.a.\text{u.a.}) à l’aire du domaine compris entre la courbe représentative de ff, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=xix = xi et x=xi+1x = x_{i+1}.
  • (xi+1xi)f(xi)(x{i+1} - xi) f(xi) ou (xi+1xi)f(xi+1)(x{i+1} - xi) f(x{i+1}) sont donc des valeurs approchées de l’intégrale :

xixi+1f(t)dt\int{xi}^{x_{i+1}} f(t) \text{d} t

  • En faisant la somme des aires des rectangles ainsi définis, nous obtenons, pour abf(t)dt\int_a^b f(t) \text{d} t, les valeurs approchées :

i=0n1(xi+1xi)f(xi)=unou : i=0n1(xi+1xi)f(xi+1)=vn\begin{aligned} \sum{i=0}^{n-1} (x{i+1} - xi) f(xi) &= un \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{ou\ :\ }} \sum{i=0}^{n-1} (x{i+1} - xi) f(x{i+1}) &= vn \end{aligned}

  • Comme nous avons partagé [a ;b][a\ ;\,b] en nn intervalles de même longueur, nous avons, pour tout i{1,2,,n}i\in \lbrace 1,\, 2,\, …,\, n\rbrace :

xi+1xi=banx{i+1} - xi = \dfrac{b-a}{n}

  • Nous obtenons ainsi :

un=i=0n1banf(xi)=bani=0n1f(xi) [en factorisant par ban]=ban(f(x0)+f(x1)++f(xn1))De meˆme : vn=ban(f(x1)+f(x2)++f(xn))\begin{aligned} un &=\sum{i=0}^{n-1} \dfrac{b-a}{n}f(xi) \ &= \dfrac{b-a}{n} \sum{i=0}^{n-1} f(xi) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [en factorisant par $\frac {b-a}{n}$]}}} \ &= \dfrac{b-a}{n} \big(f(x0) + f(x1) + … + f(x{n-1})\big) \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{De même\ :\ }}vn &= \dfrac{b-a}{n} (f(x1) + f(x2) + … + f(xn)) \end{aligned}

  • Cette méthode d’approximation d’une aire est appelée la méthode des rectangles.
  • En faisant tendre nn tend ++\infty, on peut se rapprocher de plus en plus (en utilisant la suite (un)(un) ou la suite (vn)(vn), ou les deux) de la valeur de cette aire qui est égale (en u.a.\text{u.a.}) à :

abf(t)dt\int_a^b f(t) \text{d} t

Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque

Définition

Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.

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Définition

Intégrale d’une fonction continue :

Si ff est une fonction continue sur l’intervalle II, si FF est une primitive de ff sur II et si aa et bb sont deux réels quelconques de II, alors on appelle intégrale de ff entre aa et bb la différence F(b)F(a)F(b)-F(a).

  • Cette intégrale est toujours notée :

abf(x)dx\displaystyle{\int_a^b f(x) \text{d}x}

Propriétés

Donnons quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.

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Propriété

Soit ff et gg une fonction continue sur un intervalle II, aa, bb et cc des réels quelconques de II et kk un réel.

  • On a les propriétés suivantes :

aaf(x)dx=0baf(x)dx=abf(x)dxLineˊariteˊ : abkf(x)dx=kabf(x)dxab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx\begin{aligned} \inta^a f(x) \text{d}x&=0 \ \intb^a f(x) \text{d}x&=-\inta^b f(x) \text{d}x \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Linéarité\ :\ }}\inta^b k f(x) \text{d}x&=k\inta^b f(x) \text{d}x \ \inta^b\big(f(x)+g(x)\big) \text{d}x&=\inta^b f(x) \text{d}x+\inta^b g(x) \text{d}x \end{aligned}

  • Relation de Chasles

Pour tous réels aa, bb et cc tels que acba\leq c\leq b :

abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx\inta^b f(x) \text{d}x=\inta^c f(x) \text{d}x+\int_c^b f(x) \text{d}x

  • Positivité de l’intégrale

aa et bb sont maintenant deux réels de II tels que a<ba < b.

  • Si f(x)0f(x)\geq0 pour tout xx de [a ;b][a\ ;\,b], alors :

abf(x)dx0\int_a^b f(x) \text{d}x\geq0

  • Si f(x)g(x)f(x)\geq g(x) pour tout xx de [a ; b][a\ ;\ b], alors :

abf(x)dxabg(x)dx\inta^b f(x) \text{d}x\geq \inta^b g(x) \text{d}x

Exemple

Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.

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Exemple

Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :

I=01exex+2dxJ=012ex+2dx\begin{aligned} I&=\int0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ J&=\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \end{aligned}

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Attention

On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale JJ, puisqu’il est impossible de calculer une primitive de x2ex+2x\mapsto \dfrac{2}{e^x+2} avec les formules classiques.

  • Nous allons donc calculer II, puis I+JI+J, pour en déduire JJ.
  • Calculons l’intégrale II.

Soit ff la fonction définie sur [0 ;1][0\ ;\,1] par :

f(x)=exex+2f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}

ff est de la forme uu\frac{u^{\prime}}{u}, où u(x)=ex+2>0u(x) = \text{e}^x + 2>0, donc une primitive FF de ff sur l’intervalle [0 ;1][0\ ;\,1] sera de la forme ln(u)\ln{(u)} :

F(x)=ln(ex+2)F(x)= \ln{(\text{e}^x + 2)}

  • Nous pouvons ainsi calculer II :

I=01exex+2dx=F(1)F(0)=ln(e1+2)ln(e0+2)=ln(e+2)ln(3) [car e0=1]\begin{aligned} I& =\int_0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}\text{d}x\ &=F(1)-F(0)\ &=\ln {(\text{e}^1+2)}-\ln {(\text{e}^0+2)} \ &= \ln {(\text{e}+2)} - \ln {(3)}\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $\text{e}^0=1$]}}} \end{aligned}

  • Calculons l’intégrale I+JI+J.

Nous avons :

I+J=01exex+2dx+012ex+2dx=01(exex+2+2ex+2)dx[d’apreˋs la proprieˊteˊ de lineˊariteˊ]=01ex+2ex+2dx=011dx=G(1)G(0) [en prenant G(x)=x]=10=1\begin{aligned} I+J&=\int0^1 \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2} \text{d}x +\int0^1 \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ &= \int0^1 \left( \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}+ \dfrac{2}{\text{e}^x+2} \right) \text{d}x\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[d’après la propriété de linéarité]}}} \ &=\int0^1 \dfrac{\text{e}^x+2}{\text{e}^x+2} \text{d}x \ &=\int_0^1 1 \text{d}x \ &=G(1)-G(0)\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en prenant $G(x)=x$]}}} \ &=1-0\ &=1 \end{aligned}

  • On a donc : I+J=1I+J=1.
  • Trouvons maintenant la valeur de l’intégrale JJ.

On a I+J=1I+J=1.

  • On en déduit la valeur de l’intégrale JJ :

J=1I=1(ln(e+2)ln(3))=1ln(e+2)+ln(3)=1ln(e+23) [car ln(a)ln(b)=ln(ab)]\begin{aligned}J&=1-I\ &=1-\big(\ln {(\text{e}+2)} -\ln {(3)}\big)\ &=1- \ln {(\text{e}+2)} +\ln {(3)} \ &=1-\ln\left(\dfrac{\text{e}+2}{3}\right) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\ln{(a)} -\ln{(b)}= \ln\left(\frac ab\right)$]}}} \end{aligned}

Applications du calcul intégral

Nous savons maintenant comment calculer une intégrale. Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.

Calculer une aire à l’aide d’une intégrale

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Propriété

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II, et aa et bb deux réels de II tels que a<ba < b .

Soit E\mathscr E la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe Cf\mathscr C_f représentant ff et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b.

  • Si f0 f\geq0 sur II, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)= \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}

  • Si f0f\leq0, alors :

Aire(E)=abf(x)dx u.a.\text{Aire}(\mathscr E)=- \int_a^b f(x) \text{d}x\ \text{u.a.}

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle [a ;c][a\ ;\,c], la fonction ff est positive (sa courbe est au-dessus de l’axe des abscisses).

  • L’aire A1A_1 sera donc égale à :

acf(x)dx\int_a^c f(x) \text{d}x

En revanche, sur l’intervalle [c ;b][c\ ;\,b], la fonction ff est négative (sa courbe est en dessous de l’axe des abscisses).

  • L’aire A2A_2 sera donc égale à :

cbf(x)dx-\int_c^b f(x) \text{d}x

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Attention

On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.

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Propriété

Soit ff et gg sont deux fonctions continues sur un intervalle II telles que f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur II, et aa et bb deux réels de II tels que aba\leq b.

  • Alors l’aire de la surface comprise entre les courbes Cf\mathscr Cf et Cg\mathscr Cg et les droites d’équation x=ax=a et x=bx=b est égale à :

ab(g(x)f(x))dx\int_a^b\big(g(x)-f(x)\big) \text{d}x

Alt texte

Valeur moyenne d’une fonction

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Définition

Valeur moyenne d’une fonction :

Si ff est une fonction continue sur [a ;b][a\ ;\,b], avec aba \neq b et a<ba, on appelle valeur moyenne de ff sur [a ; b][a\ ;\ b] le réel :

μ=1baabf(x)dx\mu= \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \text{d}x

Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.

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Exemple

Alt terminale option mathématiques complémentaires intégration

Ici, la fonction ff est positive sur [a ;b][a\ ;\,b], on interprète la valeur moyenne de la manière suivante : l’aire « sous la courbe » de ff est égale à l’aire « sous la courbe » de la fonction constante égale à μ\mu.

  • Sur notre schéma, l’aire rouge est égale à l’aire hachurée en bleu.

Nous allons maintenant, à travers un exemple, interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.

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Exemple

On considère la fonction dérivable ff définie sur I=[0 ;20]I = [0\ ;\, 20] par :

f(x)=1000×(x+5)×e0,2xf(x) = 1\,000 \times (x+5) \times \text{e}^{-0,2x}

Cette fonction est la fonction de demande d’un produit.

  • Le nombre $f(x)$ représente la quantité d’objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x eurosx \text{ euros}.
  • On considère la fonction FF définie sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;\, 20] par :

F(x)=5000×(x+10)×e0,2xF(x) = -5\,000\times (x + 10) \times \text{e}^{-0,2x}

Montrons que la fonction FF est une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;\, 20].

Soit x[0 ;20]x\in [0\ ;\, 20]. Nous avons alors :

F(x)=5000×(1×e0,2x0,2×(x+10)×e0,2x)[car (uv)=uv+uv et (ew)=wew]=5000×(10,2×(x+10))×e0,2x=(1000×(x+10)5000)×e0,2x=(1000×(x+10)1000×5)×e0,2x=1000×(x+105)×e0,2x=1000×(x+5)e0,2x=f(x)\begin{aligned} F^{\prime}(x) &= -5\,000 \times \big(1\times \text{e}^{-0,2x} - 0,2\times (x + 10)\times \text{e}^{-0,2x}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car $(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$ et $(\text{e}^w)^{\prime}=w^{\prime}\text{e}^w$]}}} \ &=-5\,000 \times \big(1 - 0,2\times (x + 10)\big) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 5\,000\big)\times \text{e}^{-0,2x} \ &= \big(1\,000\times (x + 10) - 1\,000 \times 5\big) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= 1\,000\times (x + 10 - 5) \times \text{e}^{-0,2x} \ &= 1\,000\times (x + 5) \text{e}^{-0,2x} \ &= f(x) \end{aligned}

  • La fonction FF est donc bien une primitive de la fonction ff sur l’intervalle [0 ;20][0\ ;\, 20].
  • Déterminons la valeur moyenne de la fonction ff sur l’intervalle [2 ;8][2\ ;\, 8].

D’après la définition que nous venons de voir, la valeur moyenne μ\mu de la fonction ff sur l’intervalle [2 ;8][2\ ;\,8] est :

μ=182×28f(x)dx=16×[F(x)]28 [car F est une primitive de f sur [2 ;8]]=16×(F(8)F(2))=16×(5000×(8+10)×e0,2×8(5000×(2+10)×e0,2×2))=50006×((2+10)×e0,4(8+10)×e1,6)=25003×(12×e0,418×e1,6)=2500×(4×e0,46×e1,6)3675 [aˋ l’entier preˋs]\begin{aligned} \mu &= \dfrac{1}{8-2}\times \int2^8 f(x) \text{d} x \ &= \dfrac{1}{6}\times \big[F(x)\big]2^8 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car FF est une primitive de ff sur [2 ;8][2\ ;\, 8]]}}} \ &= \dfrac{1}{6}\times \big(F(8) - F(2)\big) \ &= \dfrac{1}{6} \times \big(-5\,000\times (8 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 8} - (-5\,000\times (2 +10)\times \text{e}^{-0,2 \times 2} )\big) \ &= \dfrac{5\,000}{6} \times \big((2 +10)\times \text{e}^{-0,4} - (8 +10)\times \text{e}^{-1,6}\big) \ &= \dfrac{2\,500}{3}\times (12\times \text{e}^{-0,4} - 18\times \text{e}^{-1,6}) \ &= 2\,500\times (4\times \text{e}^{-0,4} - 6\times \text{e}^{-1,6}) \ &\approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}} \end{aligned}

  • Interprétons ce résultat.

La valeur moyenne de la fonction ff sur l’intervalle $[2\ ;\, 8]$ est :

μ3675 [aˋ l’entier preˋs]\mu \approx 3\,675\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [à l’entier près]}}}

  • Par définition de la fonction ff, la quantité moyenne d’objets demandés, lorsque le prix unitaire est compris entre 2 euros2 \text{ euros} et 8 euros8 \text{ euros}, est d’environ 36753\,675.

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons commencé par définir l’intégrale de aa à bb (avec a<ba < b), d’une fonction ff continue et positive comme étant égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine D\mathscr D délimité par la courbe C\mathscr C, l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation x=ax=a et x=bx=b.
Nous avons ensuite défini cette intégrale lorsque ff est de signe quelconque comme étant égale à la différence F(b)F(a)F(b) - F(a), où la fonction $F$ est une primitive de la fonction ff sur [a ;b][a\ ;\,b].
Enfin, nous avons vu les propriétés que vérifie cette intégrale et avons défini la valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur [a ; b][a\ ;\ b].