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Intégration
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Pour retrouver le cours correspondant de la spécialité « Mathématiques » :
Introduction :
Dans ce cours de l’option « Mathématiques complémentaires », nous allons aborder la notion de calcul intégral. Ce type de calcul permet de mesurer des grandeurs (aires, volumes…) et permettra également, dans le supérieur, de déterminer des probabilités et des statistiques.
Intégrale d’une fonction continue positive
Commençons par définir l’intégrale d’une fonction continue et positive sur un intervalle.
Définitions et vocabulaire
Unité d’aire :
Dans un repère orthogonal , l’unité d’aire (notée ) est l’aire du rectangle , où est le point de coordonnées .
À partir de cette notion d’unité d’aire, on peut exprimer l’aire d’autres figures géométriques.
L’aire du rectangle sur l’image ci-dessus est de
Intégrale d’une fonction positive :
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle , avec , et sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L’intégrale de à de est égale à l’aire (en unité d’aire) du domaine délimité par la courbe , l’axe des abscisses et les droites verticales d’équation et .
On constate donc que, pour toute fonction continue et positive sur , est un nombre réel positif ou nul.
Précisons aussi que, dans la notation donnée :
Si est une fonction continue et positive, il résulte alors de la définition précédente de l’intégrale deux propriétés.
est une fonction continue et positive sur un intervalle .
, et sont des réels de .
Soit une fonction continue sur . On donne :
Calcul d’une intégrale d’une fonction continue positive
Le cours précédent nous a fait découvrir la notion de primitives d’une fonction. Elle va nous servir pour calculer une intégrale.
Soit une fonction continue et positive sur un intervalle .
Nous pouvons aussi noter :
Démontrons que la fonction définie ci-dessus est bien une primitive de la fonction qui s’annule en .
est croissante sur , on constate sur l’image que l’aire qui représente est comprise entre deux rectangles de largeur , et chacun de hauteur respective et , donc :
Prenons maintenant un exemple de calcul.
Calculons l’intégrale :
On pose, pour tout
Nous allons maintenant présenter une méthode d’approximation d’une intégrale.
Approximation d'une intégrale par la méthode des rectangles
Pour tout i\in {1 ; 2 ; … ; n} :
Intégrale d’une fonction continue de signe quelconque
Définition
Nous allons maintenant définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque sur un intervalle, donc dans le cas général, à l’aide des primitives de cette fonction.
Intégrale d’une fonction continue :
Si
Propriétés
Donnons quelques propriétés, qui nous permettront de calculer de nombreuses intégrales.
Soit
Pour tous réels
Exemple
Regardons comment appliquer ces propriétés dans le calcul d’une intégrale.
Nous cherchons à calculer les intégrales suivantes :
On constate que l’on ne va pas pouvoir directement calculer l’intégrale
Soit
Nous avons :
On a
Applications du calcul intégral
Nous savons maintenant comment calculer une intégrale. Regardons deux exemples d’application des intégrales, pour mieux comprendre à quoi elles servent, notamment pour le calcul d’une aire.
Calculer une aire à l’aide d’une intégrale
Soit
Soit
Sur le graphique, on peut constater que sur l’intervalle
En revanche, sur l’intervalle
On retiendra qu’une intégrale peut être positive ou négative, mais qu’une aire, elle, est toujours positive.
Soit
Valeur moyenne d’une fonction
Valeur moyenne d’une fonction :
Si
Étudions un exemple pour mieux comprendre cette nouvelle notion.
Ici, la fonction
Nous allons maintenant, à travers un exemple, interpréter une valeur moyenne dans un contexte issu d’une autre discipline.
On considère la fonction dérivable
Cette fonction est la fonction de demande d’un produit.
Montrons que la fonction
Soit
D’après la définition que nous venons de voir, la valeur moyenne
La valeur moyenne de la fonction
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons commencé par définir l’intégrale de
Nous avons ensuite défini cette intégrale lorsque
Enfin, nous avons vu les propriétés que vérifie cette intégrale et avons défini la valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur