Question 1
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par :
$$f(x)=\dfrac {2x}{x^2+\frac 34}+1$$
On admet que $f$ est continue sur $\mathbb R$ et on donne ci-dessous $\mathscr C_f$, sa courbe représentative dans un repère orthonormé :
Courbe représentative de la fonction f
$$\int_{-0,5}^{4} f(x) \text d x$$
Parmi les propositions suivantes, laquelle est vraie ? Justifier.
Proposition A |
$$\int_{-0,5}^4 f(x) \text{d}x\leq 0$$ |
Proposition B |
$$24 \leq \int_{-0,5}^4 f(x)\text{d}x\leq 36$$ |
Proposition C |
$$6 \leq \int_{-0,5}^4 f(x)\text{d}x\leq 9$$ |
$$\int_{-0,5}^{4} f(x) \text d x$$
Question 2
On considère maintenant la fonction $g$ définie sur $\mathbb R^+$ par :
$$g(x)=2x\text{e}^{-2x+1}$$
$$g^{\prime}(x)=2\text{e}^{-2x+1}(1-2x)$$
Déterminer les variations de $g$ sur $\mathbb R^+$, puis construire son tableau de variations.
On admettra que $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)=0$.
Quel est le signe de $g(x)$ sur $\mathbb R^+$ ?
Question 3
Soit la suite $(I_n )$ définie, pour tout entier naturel, par :
$$I_n=\int_0^n g(x)\text{d}x$$
Par exemple :
$$\begin{aligned}
I_0&=\int_0^0 g(x)\text{d}x=0 \\
I_1&=\int_0^1 g(x)\text{d}x \\
I_2&=\int_0^2g(x)\text{d}x
\end{aligned}$$
Soit $n$ un entier naturel.
En utilisant la relation de Chasles, exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$.
En déduire que $I_{n+1} \geq I_n$ pour tout entier naturel $n$.
Que peut-on dire de la suite $(I_n)$ ?
À l’aide d’une intégration par parties, on peut montrer que, pour tout entier naturel $n\geq 1$ :
$$I_n=\dfrac {\text{e}}2-\text{e}^{-2n+1}\left(n+\dfrac 12\right)\qquad \textcolor{#A9A9A9}{(1)}$$
Cette formule est également vraie pour $n=0$.
Dans la suite de l’exercice, on admet donc que la relation $(1)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.
Mais, pour vous entraîner, vous pouvez faire l’intégration par parties, le détail sera donné en astuce dans le corrigé.
Démontrer que la suite $(I_n)$ est majorée par $\frac {\text{e}}2$, puis qu’elle converge vers un réel que l’on note $l$.
On admet que :
$$\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=l=\dfrac {\text{e}}2$$
On a programmé en Python l’algorithme ci-dessous :
$\begin{aligned}
&\text{def approche(p):} \\
&\qquad \text{n = 0} \\
&\qquad \text{while (e$\ast\ast$(-2 $\ast$ n + 1) $\ast$ (n + 1/2)$ $) > 10$\ast\ast$(-p):} \\
&\qquad\qquad \text{ n = n + 1} \\
&\qquad \text{print (n)}
\end{aligned}$ |
Quand on entre sur la console Python la commande $\purple{\text{approche(4)}}$, le programme renvoie la valeur $\purple{\text{7}}$. Que signifie ce résultat ?
Question 4
Une animalerie adopte le logo représenté par la figure plus bas.
On admettra que $\mathscr C_f$ est au-dessus de $\mathscr C_g$ sur l’intervalle $[0\ ;\, 4]$.
Représentation du logo
Calculer l’aire de la partie bleue du logo, comprise entre :
- les droites d’équations $x=-0,5$ et $x=4$ ;
- les courbes $\mathscr C_f$ et $\mathscr C_g$ ;
- leurs symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
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