Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Interaction gravitationnelle

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

Avant de commencer, regarde la vidéo

Introduction :

Ce cours porte sur l’interaction gravitationnelle. Nous commencerons ce cours par une mise au point sur les référentiels. Puis nous étudierons le principe de la gravitation universelle. Nous aborderons enfin le phénomène de pesanteur puis l’inertie et ses conséquences.

Les référentiels

bannière definition

Définition

Référentiel :

Un référentiel est un objet, ou un ensemble d’objets, par rapport auquel on définit un mouvement et une trajectoire dans l’espace et dans le temps.

  • Pour décrire le déplacement, on utilise un repère spatial (« un point de vue ») qui permet de localiser le déplacement.
  • Pour étudier ce mouvement, on utilise un repère temporel (une horloge) qui permet de mesurer le temps de déplacement.
bannière definition

Définition

Référentiel géocentrique :

Si le référentiel est le centre de gravité de la Terre, on parle de référentiel géocentrique.

bannière exemple

Exemple

Il est utilisé par exemple pour décrire le mouvement de la Lune dans l’espace.

bannière definition

Définition

Référentiel terrestre :

Si le référentiel est le sol de la Terre, on parle de référentiel terrestre.

bannière exemple

Exemple

Par exemple, un homme qui se tient debout sans bouger en un point de la Terre est immobile dans le référentiel terrestre (mais décrira un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique !).

bannière definition

Définition

Référentiel héliocentrique :

Si le référentiel est le centre du Soleil, on parle de référentiel héliocentrique (encore appelé référentiel de Kepler).

bannière à retenir

À retenir

Pour décrire mathématiquement un mouvement on associe au référentiel un repère. Il est composé de plusieurs axes :

  • dans un plan, il est composé de deux axes, l’abscisse et l’ordonnée ;
  • dans l’espace (en 3 dimensions), il est composé de trois axes : on ajoute aux deux axes précédents la cote.

Un repère est le plus souvent orthogonal, ce qui signifie que les droites qui le composent sont perpendiculaires entre elles. Quand elles sont à la même échelle, c’est-à-dire que la même distance sur chaque droite représente la même valeur absolue, alors on parle de repère orthonormé.

Il existe une infinité de repères possibles que l’on associe à un référentiel.

Ces éléments étant maintenant plus clairs, nous pouvons passer à la description de la gravitation universelle.

La gravitation universelle

Isaac Newton a montré que deux corps A et B exercent l’un sur l’autre une force qui dépend de leur masse et du carré de la distance qui les sépare.

bannière definition

Définition

Gravité :

La gravité est la capacité de deux corps à s’attirer mutuellement. Autrement dit, l’interaction gravitationnelle est responsable de l'attraction des corps massifs entre eux.

bannière definition

Définition

Centre de gravité :

On définit la position d’un objet par son centre de gravité, qui est le point d’application de la résultante des forces de gravité.

bannière astuce

Astuce

Centre de gravité et centre d’inertie sont confondus quand le champ de gravité est uniforme, ce qui sera toujours le cas pour le niveau de seconde. Par conséquent ces deux appellations n’ont pas besoin d’être différenciées.

La loi de l’attraction gravitationnelle est définie de la façon suivante :

bannière propriete

Propriété

Loi de l’attraction gravitationnelle de Newton :

Deux objets A et B de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance dd, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :

FA/B=FB/A=GmAmBd2F{A/B}=F{B/A}=G\cdot \dfrac{mA\cdot mB}{d^2}

  • F correspond à la force gravitationnelle en Newton
  • mAmA et mBmB correspondent à la masse des corps en kilogramme
  • dd est la distance entre les corps A et B en mètres
  • GG est la constante de gravitation universelle et vaut G=6,67.1011m3kg1s2G = 6,67.10^{-11}\text {m}^3 \cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{s}^{-2}
bannière propriete

Propriété

3e loi de Newton : principe des actions réciproques

Les forces exercées par le corps A sur le corps B et par le corps B sur le corps A, sont dites réciproques : elles ont la même intensité, la même direction mais ont un sens opposé. La relation est donc la suivante :

\overrightarrow{F}{A/B}=-\overrightarrow{F}{B/A}=G\cdot \dfrac{mA \cdot mB}{d^2}\cdot \overrightarrow u_{AB}

  • uAB\overrightarrow u_{AB} est un vecteur unitaire (de valeur 1) qui va de A vers B.

Interaction gravitationnelle entre deux corps célestes 2nde

Cette écriture, qui peut sembler un peu compliquée, décrit simplement que la force que le corps A applique sur le corps B a la même valeur absolue que celle appliquée par B sur A. Un vecteur ne pouvant être égal à une valeur seule (puisque un vecteur a un sens, une direction et une norme), on doit ajouter un vecteur unitaire, uAB\overrightarrow{u}_{AB} dans la formule.

La norme des vecteurs permet de se passer du vecteur unitaire. Ce qui donne la relation suivante : FA/B=FB/A=GmAmBd2|\overrightarrow{F}{A/B}|=|-\overrightarrow{F}{B/A}|=G\cdot \dfrac{mA \cdot mB}{d^2}

bannière exemple

Exemple

La force d’interaction entre la Terre et la Lune a une intensité de : FL/T=FL/T=GmTmLd2=1,99.1020N\overrightarrow{F}{L/T}=-\overrightarrow{F}{L/T}=G\cdot \dfrac{mT \cdot mL}{d^2}=1,99.10^{20} \text{N}

  • Avec mT=5,98×1024 kgm_T= 5,98 \times 10^{24}\ \text{kg} ;
  • mL=7,34×1022 kgm_L=7,34 \times 10^{22}\ \text{kg} ;
  • d=384 000 kmd= 384\ 000\ \text{km}.

La pesanteur

La formule précédente permet de calculer la pesanteur.

Le poids sur la Terre

Tout corps de centre C et de masse mm posé sur le sol subit l’attraction de notre planète : la pesanteur terrestre.

Poids d’un corps sur la Terre 2nde

bannière exemple

Exemple

Nous partons du principe que la distance entre le centre de gravité de notre planète et le corps C est assimilable au rayon de la Terre RT.

Par conséquent la force qu’exerce la Terre sur le corps est égale à celle qu’exerce le corps sur la Terre. D’après la formule sur la force de gravité nous avons :

Fterre/corps=Fcorps/terre=6,67.1011×6,0.1024mc(6,38.106)29,8×mc\begin{aligned}\overrightarrow{F}{terre/corps}&= -\overrightarrow{F}{corps/terre}\&=6,67.10^{-11}\times\dfrac{6,0.10^{24}mc}{(6,38.10^6)^2}\&\approx 9,8\times mc\end{aligned}

On retrouve l’expression du poids d’un corps sur Terre par la relation : P=m×gP= m\times g avec g=9,8 ms2g=9,8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}.

  • Où P est le poids en Newton
  • mm, la masse en kg
  • gg, l’accélération de pesanteur : g=9,8 ms2g=9,8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}
bannière attention

Attention

L’accélération de pesanteur peut aussi s’exprimer en Nkg1\text{N}\cdot \text{kg}^{-1}.

Le poids sur la Lune

Pour calculer la pesanteur sur un autre corps céleste, comme la Lune par exemple, on reprend le même calcul en changeant mT par mL et RT par RL.

Poids d’un corps sur la Lune 2nde

Sachant que la masse de la Lune est mL=7,4×1022 kgmL =7,4\times 10^{22}\ \text{kg} et que le rayon lunaire est RL=1,74×106mRL=1,74\times 10^6\text{m}. On trouve que le poids d’un objet sur la Lune est égal à 1,6 fois la masse de l’objet soit : PL=1,6×mP_L = 1,6\times \text{m}.

Pour comparer la pesanteur terrestre avec celle de la Lune on divise l’accélération de pesanteur de la terre gTerre par l’accélération de pesanteur de la Lune gLune.

On peut donc en conclure qu’un corps sur la Lune est 6 fois plus léger que sur Terre.

Le principe d’inertie

Galilée puis Newton ont formulé le principe d’inertie de la façon suivante :

bannière propriete

Propriété

Principe d’inertie

Un corps est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si les forces qui s’exercent sur lui se compensent ou s’il n’est soumis à aucune force.

Un mouvement rectiligne uniforme est défini par un vecteur mouvement inchangé dans le temps : son sens, sa direction et sa norme sont toujours les mêmes. Par conséquent, la trajectoire du corps considéré est rectiligne (en ligne droite) et uniforme (c’est à dire toujours à la même vitesse).

bannière à retenir

À retenir

Par conséquent, pour entretenir un mouvement, il n’est pas nécessaire qu’il y ait une force.

Cette notion est assez contre-intuitive pour nous, car sur Terre un objet en mouvement ne sera jamais dans un environnement où toutes les forces se compensent.

Les frottements de l’air ou du sol ralentissent les objets et donnent le sentiment qu’il faut appliquer une force de façon continue pour générer et maintenir un mouvement.

Dans l’espace, quand on est suffisamment éloigné des étoiles et planètes, il n’y a pas de frottement de l’air et la force de gravitation est négligeable. Dans ce cadre, un objet lancé par un astronaute a un mouvement rectiligne uniforme ou est simplement immobile.

bannière à retenir

À retenir

Le principe d’inertie nous permet aussi de conclure deux choses :

  • la modification d’une force (c’est-à-dire de sa norme, de son sens ou de sa direction) modifiera le mouvement ;
  • un corps soumis à des forces qui ne se compensent pas, ne peut avoir un mouvement rectiligne uniforme ou rester immobile.