Interaction gravitationnelle
Introduction :
Ce cours porte sur l’interaction gravitationnelle. Nous commencerons ce cours par une mise au point sur les référentiels. Puis nous étudierons le principe de la gravitation universelle. Nous aborderons enfin le phénomène de pesanteur puis l’inertie et ses conséquences.
Les référentiels
Les référentiels
Définition
Référentiel :
Un référentiel est un objet, ou un ensemble d’objets, par rapport auquel on définit un mouvement et une trajectoire dans l’espace et dans le temps.
- Pour décrire le déplacement, on utilise un repère spatial (« un point de vue ») qui permet de localiser le déplacement.
- Pour étudier ce mouvement, on utilise un repère temporel (une horloge) qui permet de mesurer le temps de déplacement.
Définition
Référentiel géocentrique :
Si le référentiel est le centre de gravité de la Terre, on parle de référentiel géocentrique.
Exemple
Il est utilisé par exemple pour décrire le mouvement de la Lune dans l’espace.
Définition
Référentiel terrestre :
Si le référentiel est le sol de la Terre, on parle de référentiel terrestre.
Exemple
Par exemple, un homme qui se tient debout sans bouger en un point de la Terre est immobile dans le référentiel terrestre (mais décrira un mouvement circulaire dans le référentiel géocentrique !).
Définition
Référentiel héliocentrique :
Si le référentiel est le centre du Soleil, on parle de référentiel héliocentrique (encore appelé référentiel de Kepler).
À retenir
Pour décrire mathématiquement un mouvement on associe au référentiel un repère. Il est composé de plusieurs axes :
- dans un plan, il est composé de deux axes, l’abscisse et l’ordonnée ;
- dans l’espace (en 3 dimensions), il est composé de trois axes : on ajoute aux deux axes précédents la cote.
Un repère est le plus souvent orthogonal, ce qui signifie que les droites qui le composent sont perpendiculaires entre elles. Quand elles sont à la même échelle, c’est-à-dire que la même distance sur chaque droite représente la même valeur absolue, alors on parle de repère orthonormé.
Il existe une infinité de repères possibles que l’on associe à un référentiel.
Ces éléments étant maintenant plus clairs, nous pouvons passer à la description de la gravitation universelle.
La gravitation universelle
La gravitation universelle
Isaac Newton a montré que deux corps A et B exercent l’un sur l’autre une force qui dépend de leur masse et du carré de la distance qui les sépare.
Définition
Gravité :
La gravité est la capacité de deux corps à s’attirer mutuellement. Autrement dit, l’interaction gravitationnelle est responsable de l'attraction des corps massifs entre eux.
Définition
Centre de gravité :
On définit la position d’un objet par son centre de gravité, qui est le point d’application de la résultante des forces de gravité.
Astuce
Centre de gravité et centre d’inertie sont confondus quand le champ de gravité est uniforme, ce qui sera toujours le cas pour le niveau de seconde. Par conséquent ces deux appellations n’ont pas besoin d’être différenciées.
La loi de l’attraction gravitationnelle est définie de la façon suivante :
Propriété
Loi de l’attraction gravitationnelle de Newton :
Deux objets A et B de masses respectives et dont les centres de gravité sont séparés d’une distance $d$, qui exercent l’une sur l’autre des forces attractives de même valeur est notée par la relation suivante :
$$F_{A/B}=F_{B/A}=G\cdot \dfrac{m_A\cdot m_B}{d^2}$$
- F correspond à la force gravitationnelle en Newton
- $m_A$ et $m_B$ correspondent à la masse des corps en kilogramme
- $d$ est la distance entre les corps A et B en mètres
- $G$ est la constante de gravitation universelle et vaut $G = 6,67.10^{-11}\text {m}^3 \cdot \text{kg}^{-1}\cdot \text{s}^{-2}$
Propriété
3e loi de Newton : principe des actions réciproques
Les forces exercées par le corps A sur le corps B et par le corps B sur le corps A, sont dites réciproques : elles ont la même intensité, la même direction mais ont un sens opposé. La relation est donc la suivante :
$$\overrightarrow{F}_{A/B}=-\overrightarrow{F}_{B/A}=G\cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2}\cdot \overrightarrow u_{AB}$$
- $\overrightarrow u_{AB}$ est un vecteur unitaire (de valeur 1) qui va de A vers B.
Cette écriture, qui peut sembler un peu compliquée, décrit simplement que la force que le corps A applique sur le corps B a la même valeur absolue que celle appliquée par B sur A. Un vecteur ne pouvant être égal à une valeur seule (puisque un vecteur a un sens, une direction et une norme), on doit ajouter un vecteur unitaire, $\overrightarrow{u}_{AB}$ dans la formule.
La norme des vecteurs permet de se passer du vecteur unitaire. Ce qui donne la relation suivante : $$|\overrightarrow{F}_{A/B}|=|-\overrightarrow{F}_{B/A}|=G\cdot \dfrac{m_A \cdot m_B}{d^2}$$
Exemple
La force d’interaction entre la Terre et la Lune a une intensité de : $$\overrightarrow{F}_{L/T}=-\overrightarrow{F}_{L/T}=G\cdot \dfrac{m_T \cdot m_L}{d^2}=1,99.10^{20} \text{N}$$
- Avec $m_T= 5,98 \times 10^{24}\ \text{kg}$ ;
- $m_L=7,34 \times 10^{22}\ \text{kg}$ ;
- $d= 384\ 000\ \text{km}$.
La pesanteur
La pesanteur
La formule précédente permet de calculer la pesanteur.
Le poids sur la Terre
Le poids sur la Terre
Tout corps de centre C et de masse $m$ posé sur le sol subit l’attraction de notre planète : la pesanteur terrestre.
Exemple
Nous partons du principe que la distance entre le centre de gravité de notre planète et le corps C est assimilable au rayon de la Terre RT.
Par conséquent la force qu’exerce la Terre sur le corps est égale à celle qu’exerce le corps sur la Terre. D’après la formule sur la force de gravité nous avons :
$\begin{aligned}\overrightarrow{F}_{terre/corps}&= -\overrightarrow{F}_{corps/terre}\\&=6,67.10^{-11}\times\dfrac{6,0.10^{24}m_c}{(6,38.10^6)^2}\\&\approx 9,8\times m_c\end{aligned}$
On retrouve l’expression du poids d’un corps sur Terre par la relation : $P= m\times g$ avec $g=9,8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$.
- Où P est le poids en Newton
- $m$, la masse en kg
- $g$, l’accélération de pesanteur : $g=9,8\ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}$
Attention
L’accélération de pesanteur peut aussi s’exprimer en $\text{N}\cdot \text{kg}^{-1}$.
Le poids sur la Lune
Le poids sur la Lune
Pour calculer la pesanteur sur un autre corps céleste, comme la Lune par exemple, on reprend le même calcul en changeant mT par mL et RT par RL.
Sachant que la masse de la Lune est $m_L =7,4\times 10^{22}\ \text{kg}$ et que le rayon lunaire est $R_L=1,74\times 10^6\text{m}$. On trouve que le poids d’un objet sur la Lune est égal à 1,6 fois la masse de l’objet soit : $P_L = 1,6\times \text{m}$.
Pour comparer la pesanteur terrestre avec celle de la Lune on divise l’accélération de pesanteur de la terre gTerre par l’accélération de pesanteur de la Lune gLune.
On peut donc en conclure qu’un corps sur la Lune est 6 fois plus léger que sur Terre.
Le principe d’inertie
Le principe d’inertie
Galilée puis Newton ont formulé le principe d’inertie de la façon suivante :
Propriété
Principe d’inertie
Un corps est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme si et seulement si les forces qui s’exercent sur lui se compensent ou s’il n’est soumis à aucune force.
Un mouvement rectiligne uniforme est défini par un vecteur mouvement inchangé dans le temps : son sens, sa direction et sa norme sont toujours les mêmes. Par conséquent, la trajectoire du corps considéré est rectiligne (en ligne droite) et uniforme (c’est à dire toujours à la même vitesse).
À retenir
Par conséquent, pour entretenir un mouvement, il n’est pas nécessaire qu’il y ait une force.
Cette notion est assez contre-intuitive pour nous, car sur Terre un objet en mouvement ne sera jamais dans un environnement où toutes les forces se compensent.
Les frottements de l’air ou du sol ralentissent les objets et donnent le sentiment qu’il faut appliquer une force de façon continue pour générer et maintenir un mouvement.
Dans l’espace, quand on est suffisamment éloigné des étoiles et planètes, il n’y a pas de frottement de l’air et la force de gravitation est négligeable. Dans ce cadre, un objet lancé par un astronaute a un mouvement rectiligne uniforme ou est simplement immobile.
À retenir
Le principe d’inertie nous permet aussi de conclure deux choses :
- la modification d’une force (c’est-à-dire de sa norme, de son sens ou de sa direction) modifiera le mouvement ;
- un corps soumis à des forces qui ne se compensent pas, ne peut avoir un mouvement rectiligne uniforme ou rester immobile.