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L’effet Doppler

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Introduction :

Christian Andrea Doppler est un mathématicien et un physicien autrichien du XIXe siècle. En 1842, il observe que les ondes mécaniques et électromagnétiques présentent un décalage de leur fréquence entre l’émission et la réception, lorsque la source de l’onde est en mouvement ou que l’observateur est en mouvement. Puis en 1848, l’astronome et physicien français Hippolyte Fizeau démontre expérimentalement cette théorie.
Ce phénomène porte le nom d’effet Doppler ou Doppler-Fizeau lorsque l’on parle d’onde électromagnétique.

Dans ce cours, nous introduirons le principe de l’effet Doppler grâce à trois situations différentes. Puis nous développerons son application dans différents domaines avec les ondes acoustiques et lumineuses.

Qu’est-ce que l’effet Doppler ?

Rappel sur les ondes

Une onde est la propagation d’une perturbation qui produit sur son passage une variation réversible des propriétés locales du milieu dans lequel elle se propage. Lors de sa propagation il y a transport d’énergie, mais sans déplacement de matière.
Une onde est produite par une source avant de se propager dans un milieu adéquat pour atteindre son récepteur.

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Rappel

Une onde mécanique (son) ou électromagnétique (lumière) peut être représentée comme un signal sinusoïdal périodique et est caractérisée par une double périodicité : temporelle définit par la période TT et spatiale définit par la longueur d’onde λ\lambda.

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On rappelle que la longueur d’onde λ\lambda est proportionnelle à la période TT et est inversement proportionnelle à la fréquence ff telle que :

λ=cf=c×T\begin{aligned}\lambda&=\dfrac c f \ &= c \times T\end{aligned}

Avec :

  • la célérité de l’onde cc exprimée en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1} ;
  • la longueur d’onde λ\lambda exprimée en m\text{m} ;
  • la fréquence ff exprimée en Hz\text{Hz} ;
  • la période TT en s\text{s}.

Observer et analyser l’effet Doppler

Lorsqu’une source est en mouvement relatif par rapport à un récepteur fixe, elle émet une onde sinusoïdale dans un référentiel donné. Le récepteur reçoit l’onde avec une fréquence différente de la fréquence émise.

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Définition

Effet Doppler :

L’effet Doppler est le décalage entre la fréquence de l’onde perçue par le récepteur et la fréquence de l’onde émise par la source, lorsque la source ou le récepteur est en mouvement, au cours du temps.

Selon le mouvement de la source SS et du récepteur RR, nous pouvons différencier plusieurs situations.

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  • Dans le premier cas, la source SS et le récepteur RR sont immobiles et séparés par une distance dd. Nous observons que l’onde émise par la source a une longueur d’onde égale à la longueur d’onde de l’onde perçue par le récepteur, que l’on note λ0\lambda_0.

Dans les deux autres cas, la source SS se déplace à une vitesse vv en émettant une onde de fréquence ff, de période TT et de longueur d’onde λS\lambda_S. Cette onde se propage à une célérité cc vers un récepteur RR fixe, dans un référentiel donné.
Dans les deux cas nous considérons que 0<v<c0.

  • Dans le cas 2, la source SS se rapproche du récepteur fixe, nous remarquons alors que la longueur d’onde λR\lambda_R diminue et s’accompagne d’une augmentation de la fréquence ff, car λ=cf\lambda=\dfrac c f.
  • Dans ce cas, la fréquence de l’onde perçue par le récepteur sera supérieure à celle émise par la source.
  • Dans le cas 3, la source SS s’éloigne du récepteur fixe, nous remarquons alors que la longueur d’onde λR\lambda_R augmente et s’accompagne d’une diminution de la fréquence ff, car λ=cf\lambda=\dfrac c f.
  • Dans ce cas, la fréquence de l’onde perçue par le récepteur sera inférieure à celle émise par la source.
  • Dans le cas 4, la source SS se déplace avec une vitesse vv égale à la célérité cc de l’onde, nous remarquons alors que la longueur d’onde λS\lambda_S double et que les sphères de l’onde s’accumule à l’avant en un seul et même point, car la source « rattrape » l’onde qu’elle émet.
  • Dans le cas 5, la source SS se déplace avec une vitesse vv supérieure à la célérité cc de l’onde, nous remarquons que les ondes se propagent à l’arrière de la source dans un cône, appelé cône de Mach.
    Ce cas peut s’observer avec les avions de chasse lorsqu’ils perforent le mur du son, car ils produisent des ondes de compression et de dilatation, provoquant ainsi le « bang  » que l’on entend.

Dans la suite de ce cours, nous nous intéresserons uniquement au cas 2 et 3, en considérant 0<v<c0.

L’effet Doppler appliqué aux ondes sonores

Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes mécaniques progressives, et sont aussi sujettes à l’effet Doppler dans le cas où la source et/ou le récepteur ne sont pas fixes. Nous rencontrons l’effet Doppler au quotidien, avec par exemple la sirène d’une ambulance.

La sirène d’une ambulance et l’effet Doppler

Qui n’a pas déjà remarqué que la sirène d’une ambulance ne « retentit » pas de la même manière si l’ambulance est fixe ou si elle s’éloigne ou se rapproche de nous. Développons donc ces trois cas.

  • Si nous sommes dans l’ambulance, le récepteur et la source sont fixes dans un référentiel en mouvement, le récepteur et la source entendront donc les ondes acoustiques telles qu’elles sont émises.
  • Si l’ambulance se rapproche d’un récepteur fixe, les ondes acoustiques seront perçues plus aiguës puisque la fréquence de l’onde perçue ff^\prime sera supérieure à la fréquence de l’onde émise ff.

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Démonstration

Soit une onde émise par une source se rapprochant du récepteur fixe, de fréquence ff, en Hz\text{Hz}, et de période T=1fT=\frac 1f, en s\text{s}.
Soit cc la célérité de l’onde et vv la vitesse de déplacement de la source, toutes deux en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.
Nous considérons en outre : 0<v<c0.

  • À t0=0t0=0, la source, à une distance d0d0 du récepteur, émet un premier front d’onde, qui parvient au récepteur à l’instant t0t_0^{\prime}, que l’on peut exprimer facilement :

t0=d0ct0^{\prime}=\dfrac {d0}c

  • Un deuxième front d’onde est émis au bout d’une période, donc à l’instant t1=Tt_1=T.

À cet instant, la source a parcouru depuis t0=0t0=0 une distance dsd\text{s} :

ds=v×Td_\text{s}=v \times T

La source s’est approchée et est donc, à t1=Tt1=T, à une distance d1d1 du récepteur :

d1=d0dsd1=d0-d_\text{s}

Ce deuxième front d’onde parviendra au récepteur à l’instant t1t_1^{\prime}, que l’on peut aussi exprimer :

t1=t1+d1c=T+d0dsc [car t1=T]\begin{aligned} t1^{\prime}&=t1+\dfrac {d1}c \ &= T+\dfrac { d0-d\text{s}}c \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car t1=Tt1=T]}}} \end{aligned}

  • L’intervalle de temps entre l’instant où le récepteur recevra le premier front d’onde et le deuxième est égal à t1t0t1^{\prime}-t0^{\prime}.
  • Il s’agit donc de la période TT^{\prime}, en s\text{s}, de l’onde perçue par le récepteur. Et nous avons :

T=t1t0=T+d0dscd0c=T+d0cdscd0c=Tdsc=Tv×Tc [car ds=v×T]=T(1vc)\begin{aligned} T^{\prime}&= t1^{\prime}-t0^{\prime} \ &= T+\dfrac { d0-d\text{s}}c - \dfrac {d0}c \ &= T+\dfrac { d0}c-\dfrac{d\text{s}}c - \dfrac {d0}c \ &=T-\dfrac{d_\text{s}}c \ &=T-\dfrac{v\times T}c \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $ d_\text{s}=v\times T $]}}} \ &=T\left(1-\dfrac vc\right) \end{aligned}

  • Nous en déduisons l’expression de la fréquence ff^{\prime}, en Hz\text{Hz}, de l’onde perçue par le récepteur :

f=1T=1T(1vc)=1T×11vc=f×11vc\begin{aligned} f^{\prime}&=\dfrac 1{T^{\prime}} \ &=\dfrac 1{T\left(1-\frac vc\right)} \ &=\dfrac 1T\times \dfrac 1{1-\frac vc} \ &=f\times \dfrac 1{1-\frac vc} \end{aligned}

  • Comme nous travaillons avec 0<v<c0 :

11vc>1f>f\dfrac 1{1-\frac vc}>1 \Rightarrow f^{\prime}>f

Ainsi lorsque l’ambulance se rapproche d’un récepteur fixe, la fréquence de l’onde perçue ff^\prime par le récepteur varie en fonction de :

  • la fréquence initiale ff du signal ;
  • la vitesse de déplacement vv de la source ;
  • la célérité cc de l’onde.

On notera donc l’égalité suivante : f=f×11vc\boxed{f^\prime = f \times \dfrac {1}{1-\frac{v}{c}}}

bannière à retenir

À retenir

Lorsqu’une onde est émise par une source se rapprochant d’un récepteur fixe, de fréquence ff et de période TT, et en considérant 0<v<c0, nous pouvons dire que ff^\prime > ff.

  • Alors le décalage Doppler Δf=ff\Delta f= f^\prime - f sera positif et le son plus aigu.
  • Si l’ambulance s’éloigne de nous, les ondes acoustiques seront perçues plus graves puisque la fréquence perçue ff^\prime sera inférieure à la fréquence émise ff.

effet Doppler schoolmouv terminale physique chimie l’émetteur s’éloigne d’un récepteur fixe

bannière demonstration

Démonstration

Soit une onde émise par une source s’éloignant du récepteur fixe, de fréquence ff, en Hz\text{Hz}, et de période T=1fT=\frac 1f, en s\text{s}.
Soit cc la célérité de l’onde et vv la vitesse de déplacement de la source, toutes deux en ms1\text{m}\cdot \text{s}^{-1}.
Nous considérons en outre : 0<v<c0.

  • À t0=0t0=0, la source, à une distance d0d0 du récepteur, émet un premier front d’onde, qui parvient au récepteur à l’instant t0t_0^{\prime}, que l’on peut exprimer facilement :

t0=d0ct0^{\prime}=\dfrac {d0}c

  • Un deuxième front d’onde est émis au bout d’une période, donc à l’instant t1=Tt_1=T.

À cet instant, la source a parcouru depuis t0=0t0=0 une distance dsd\text{s} :

ds=v×Td_\text{s}=v\times T

La source s’est éloignée et est donc, à $t_1=T$, à une distance d1d_1 du récepteur :

d1=d0+dsd1=d0+d_\text{s}

Ce deuxième front d’onde parviendra au récepteur à l’instant t1t_1^{\prime}, que l’on peut aussi exprimer :

t1=t1+d1c=T+d0+dsc [car t1=T]\begin{aligned} t1^{\prime}&=t1+\dfrac {d1}c \ &= T+\dfrac { d0+d_\text{s}}c \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $t_1=T$]}}} \end{aligned}

  • L’intervalle de temps entre l’instant où le récepteur recevra le premier front d’onde et le deuxième est égal à t1t0t1^{\prime}-t0^{\prime}.
  • Il s’agit donc de la période TT^{\prime}, en s\text{s}, de l’onde perçue par le récepteur. Et nous avons :

T=t1t0=T+d0+dscd0c=T+d0c+dscd0c=T+dsc=T+v×Tc [car ds=v×T]=T(1+vc)\begin{aligned} T^{\prime}&= t1^{\prime}-t0^{\prime} \ &= T+\dfrac { d0+d\text{s}}c - \dfrac {d0}c \ &= T+\dfrac { d0}c+\dfrac{d\text{s}}c - \dfrac {d0}c \ &=T+\dfrac{d_\text{s}}c \ &=T+\dfrac{v\times T}c \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $ d_\text{s}=v\times T $]}}} \ &=T\left(1+\dfrac vc\right) \end{aligned}

  • Nous en déduisons l’expression de la fréquence ff^{\prime}, en Hz\text{Hz}, de l’onde perçue par le récepteur :

f=1T=1T(1+vc)=1T×11+vc=f×11+vc\begin{aligned} f^{\prime}&=\dfrac 1{T^{\prime}} \ &=\dfrac 1{T\left(1+\frac vc\right)} \ &=\dfrac 1T\times \dfrac 1{1+\frac vc} \ &=f\times \dfrac 1{1+\frac vc} \end{aligned}

  • Comme nous travaillons avec 0<v<c0 :

11+vc<1f<f\dfrac 1{1+\frac vc}<1 \Rightarrow f^{\prime}

Ainsi lorsque la source s’éloigne d’un récepteur fixe, la fréquence de l’onde perçue ff^\prime par le récepteur varie en fonction de :

  • la fréquence initiale ff du signal ;
  • la vitesse de déplacement vv de la source ;
  • la célérité cc de l’onde.

On notera donc l’égalité suivante : f=f×11+vc\boxed{f^\prime=f\times \dfrac {1}{1+\frac{v}{c}}}

bannière à retenir

À retenir

Lorsqu’une onde est émise par une source s’éloignant d’un récepteur fixe, de fréquence ff et de période TT, et en considérant 0<v<c0, nous pouvons dire que f<ff^\prime.

  • Alors le décalage Doppler Δf=ff\Delta f= f^\prime - f sera négatif et le son plus grave.
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Exemple

Soit une ambulance traversant un boulevard à 80 kmh180\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1} dont la sirène émet des ondes acoustiques de fréquence 420 Hz420\ \text{Hz} et est entendue par un piéton qui attend pour traverse. De plus, la vitesse du son dans l’air est de 340 ms1340\ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}, soit 1 224 kmh11\ 224\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1}.

  • L’ambulance se rapproche du piéton, quelle est la fréquence perçue ff^\prime par le piéton ?

f=f1vc=4201801 224449 Hz\begin{aligned} f^\prime&=\dfrac{f}{1-\frac{v}{c}}\ &=\dfrac{420}{1-\frac{80}{1\ 224}}\ &\approx 449\ \text{Hz} \end{aligned}

  • L’ambulance s’éloigne du piéton, quelle est la fréquence perçue ff^\prime par le piéton ?

f=f1+vc=4201+801 224=394 Hz\begin{aligned} f^\prime&=\dfrac{f}{1+\frac{v}{c}}\ &=\dfrac{420}{1+\frac{80}{1\ 224}}\ &=394\ \text{Hz} \end{aligned}

La fréquence émise ff^\prime par l’ambulance sera perçue plus grande dans le cas où l’ambulance s’approche progressivement du récepteur et plus petite dans le cas où elle s’en éloigne.

bannière à retenir

À retenir

Ici, nous avons pu établir que lorsque le source est en mouvement, nous observons l’effet Doppler, c’est-à-dire un décalage entre la fréquence perçue ff^\prime par le récepteur et la fréquence émise ff par la source :

  • si la source se rapproche du récepteur fixe :
    f=f×11vcf^\prime = f\times \dfrac {1}{1-\frac{v}{c}} et ainsi f>f f^\prime >f ;
  • si la source s’éloigne du récepteur fixe :
    f=f×11+vcf^\prime = f\times\dfrac {1}{1+\frac{v}{c}} et ainsi f<ff^\prime.
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Attention

Le raisonnement sera le même si la source est fixe et le récepteur en mouvement, mais les formules seront différentes. Dans ce cours nous parlons uniquement le cas du récepteur fixe.

Mais cette capacité physique qu’ont les ondes sonores à changer de fréquence quand leur source est en mouvement, trouve aussi plusieurs applications utiles notamment dans le calcul d’une vitesse.

Calcul des vitesses à l’aide de l’effet Doppler

Comme vu précédemment les ondes sonores subissent un effet Doppler lorsque la source ou le récepteur est en mouvement. Les relations développées dans la partie 1 de ce cours, entre la fréquence perçue, la fréquence émise, la vitesse de la source et la célérité de l’onde permettent de calculer la vitesse de la source en mesurant la fréquence perçue et la fréquence émise.

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Exemple

Un ambulance traverse un boulevard en se rapprochant d’un piéton, elle émet un son de fréquence f1=450 Hzf1=450\ \text{Hz}. Le piéton mesure à l’aide d’un sonomètre une fréquence f2=420 Hzf2=420\ \text{Hz}.

  • L’ambulance se rapproche du piéton, quelle est sa vitesse ?

Sachant que f2=f11vcf2=\dfrac{f1}{1-\frac{v}{c}}, par équivalence nous trouvons :

1vc=f1f2v=c(f1f21)1-\dfrac v c =\dfrac{f1}{f2}\Leftrightarrow v=c\left(\dfrac{f1}{f2}-1\right)

Soit,

v=1 224×(4504201)87,4 kmh1\begin{aligned} v &=1\ 224\times \left(\dfrac{450}{420}-1\right)\ &\approx 87,4\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1} \end{aligned}

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Exemple

Un hélicoptère vole à une vitesse vv que nous voulons déterminer.
Quand l’appareil est immobile, il émet des ondes sonores de fréquences f=8,1×102 Hzf=8,1 \times10^2\ \text{Hz}. Au cours du vol, l’hélicoptère s’éloigne de l’observateur qui est immobile, ce dernier enregistre des ondes sonores de fréquences f=7×102 Hzf^\prime=7\times 10^2\ \text{Hz}.

  • Calculer la vitesse de l’hélicoptère au cours de son vol.

Comme f<ff^\prime, l’hélicoptère s’éloigne donc de l’observateur, on utilise l’égalité suivante :

f=f1+vc1+vc=ffv=c(ff1)\begin{aligned} f^\prime=\dfrac{f}{1+\frac{v}{c}} & \Leftrightarrow 1+\frac{v}{c}=\dfrac{f}{f^\prime}\ & \Leftrightarrow v=c\left(\dfrac{f}{f^\prime}-1\right)\ \end{aligned}

Alors,

v=c(ff1)=1 224×(8,1×1027×1021)=192 kmh1\begin{aligned} v&=c\left(\dfrac{f}{f^\prime}-1\right)\ &=1\ 224\times \left(\frac{8,1\times 10^2}{7\times 10^2}-1\right)\ &=192\ \text{km}\cdot \text{h}^{-1} \end{aligned}

Cette application est utilisée au quotidien notamment dans le domaine médical, en calculant par exemple la vitesse d’écoulement du sang dans nos veines.

L’effet Doppler appliqué aux ondes lumineuses

Le physicien Français, Hippolyte Fizeau, a découvert que l’effet Doppler initialement décrit pour les ondes sonores s’appliquent aussi aux ondes lumineuses (ondes électromagnétiques). C’est pour cela que lorsque l’effet Doppler est observé pour les ondes lumineuses, on parle de l’effet Doppler-Fizeau.

L’effet Doppler-Fizeau est employé surtout pour déterminer la vitesse radiale des astres puisque la lumière se propage dans le vide (contrairement au son). Mais il est aussi employé pour déterminer la vitesse des voitures, à l’aide de radars routiers par exemple.

Utilisation de l’effet Doppler-Fizeau en astrophysique

L’effet Doppler-Fizeau est employé pour déterminer la position, la vitesse mais aussi la masse des objets célestes.

  • Quand une étoile se rapproche de la Terre avec une vitesse que l’on considère constante, la fréquence notée par l’observateur terrestre sera supérieure à celle émise par l’étoile.
  • On parle alors d’un décalage des raies d’absorption vers le bleu avec des longueurs d’ondes faibles et donc des fréquences élevées, c’est ce que l’on appelle le « blueshift ».
  • Quand une étoile s’éloigne de la Terre avec une vitesse que l’on considère constante, la fréquence notée par l’observateur terrestre sera inférieure à celle émise par l’étoile.
  • On parle alors d’un décalage des raies d’absorption vers le rouge avec des longueurs d’ondes élevées et donc des fréquences basses, c’est ce que l’on appelle le « redshift ».
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Exemple

L’image 1 nous montre le spectre d’absorption d’une étoile immobile.
L’image 2 nous montre le spectre d’absorption de cette étoile se rapprochant de la Terre, on observe un « blueshift ».
L’image 3 nous montre le spectre d’absorption de cette étoile s’éloignant de la Terre, on observe un « redshift ».

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Utilisation de l’effet Doppler-Fizeau avec les radars routiers

L’effet Doppler-Fizeau est employé pour déterminer la vitesse des voitures dans les radars fixes ou mobiles.
Les radars envoient des ondes électromagnétiques lumineuses de fréquences connues qui sont réfléchies sur les voitures en mouvement. Les ondes ensuite captées par le radar seront inférieures ou supérieures à celles envoyées selon si la voiture s’éloigne ou se rapproche du radar. Ainsi, les radars pourront calculer la vitesse de la voiture et déterminer si oui ou non l’automobiliste respecte la limitation de vitesse.

Conclusion :

Dans ce cours nous avons défini que l’effet Doppler est le décalage de fréquence d’une onde, électromagnétique ou mécanique, observé entre la source et le récepteur, lorsque la distance entre les deux varie au cours du temps.
Cet effet est observé au quotidien lors du passage d’une ambulance dans la rue, il permet également plusieurs applications dans le domaine de l’astronomie, de l’aviation ou encore médical.