Exercices Le rayonnement solaire

Bételgeuse (ou $\alpha$ Orionis) et Rigel (ou $\beta$ Orionis) sont deux étoiles de la constellation d’Orion, facilement visibles en été.
Ces deux étoiles ont des couleurs bien différentes.

Pour chacune des deux étoiles, donnez la longueur d’onde correspondant à l’émission maximale.

L’énergie que l’on reçoit de la part du Soleil à un instant donné dépend de nombreux paramètres. Parmi eux, la latitude à laquelle on se trouve.

Au niveau de l’équateur, et par temps dégagé, la puissance solaire reçue est égale à $1\,360\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.
Dans les mêmes conditions météorologiques, la puissance solaire $P_S$ reçue à n’importe quelle latitude $\lambda$ est donnée par : $$P_S=1\,360\times\cos(\lambda)$$

Donnez les autres paramètres, en dehors de la latitude, qui influent sur la puissance lumineuse reçue à la surface de la Terre.

Les étoiles, comme notre Soleil, émettent de l’énergie par rayonnement. Mais à la base, cette énergie est contenue sous forme de masse. C’est Einstein qui a établi la relation entre énergie et masse, avec sa célèbre formule : $$\text{E}_{\text{libérée}}=\Delta\text{m}\times\text{c}^2$$ Avec $\text{c}=3,0\times 10^8\,\text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, la célérité de la lumière dans le vide.
Par ailleurs, il est possible de déterminer l’énergie libérée par une étoile pendant une durée $\Delta t=1\,\text{s}$, grâce à la loi de Stefan. Cette loi s’exprime par : $$\dfrac{\text{E}_{\text{libérée}}}{\Delta t}=\sigma\text{ST}^4$$ Avec $\sigma=5,67\times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$, la constante de Stefan-Boltzmann.
La couleur d’une étoile est en lien avec sa température de surface :

Rappel : Celsius = Kelvin – 273,15, ou Kelvin = Celsisu + 273,15
L’étoile la plus proche de la Terre, en dehors du Soleil, est Proxima du Centaure, qui se trouve à 4,2 années lumières. Sa température de surface est $\text{T}=3\,042\,\text{K}$ et son rayon est $\text{R}=1,07\times 10^8\,\text{m}$.

Déterminez la couleur de Proxima du Centaure.