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Les 3 lois de Newton

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Introduction :

Ce cours est axé sur le thème du temps, et plus précisément sur les lois de Newton.

Dans un premier temps, la première loi de Newton et ses conséquences sur les référentiels sera étudiée, puis la deuxième loi de Newton et sa conséquence sur des mouvements particuliers. La dernière partie concernera la troisième loi de Newton.

Première loi de Newton

Système isolé ou pseudo-isolé

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Définition

Système :

Un système est l’objet étudié au cours d’un mouvement.

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À retenir

Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune force extérieure.

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Attention

Sur Terre un tel cas est hypothétique.

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À retenir

Un système est pseudo-isolé si les forces qui s’exercent sur lui se compensent.

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Exemple

Par exemple, quand une personne est assise sur une chaise, c’est un système pseudo-isolé.

Le vecteur quantité de mouvement

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Définition

Vecteur quantité de mouvement p(t)\vec p(t) :

Le vecteur quantité de mouvement p(t)\vec p(t) d’un objet à un instant tt est le produit de sa masse mm par le vecteur vitesse v(t)\vec v(t) de son centre d’inertie :

p(t)=m×v(t)\vec p(t)=m\times\vec v(t)

L’unité de p\vec p est en kgms1\text{kg}\cdot \text{m}\cdot \text{s}^{-1}.

La première loi de Newton ou principe d’inertie

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À retenir

Le vecteur quantité de mouvement d’un système isolé ou pseudo-isolé est constant.

Réciproquement, si le vecteur quantité de mouvement d’un système est constant alors ce système est isolé ou pseudo-isolé.

Donc, un objet en équilibre reste stable car son vecteur quantité de mouvement est constamment nul. Un objet en mouvement rectiligne uniforme a aussi un vecteur quantité de mouvement constant.

  • Sa masse ne pouvant pas varier, sa vitesse est constante.

Référentiel galiléen

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À retenir

Un référentiel est galiléen si la première loi de Newton y est vérifiée.

Les référentiels héliocentrique, géocentrique et terrestres sont galiléens.

A contrario, un référentiel qui tourne, accélère ou ralentit n’est pas galiléen (on ne prendra pas en compte la rotation propre de la Terre, ou on la minimisera).

Deuxième loi de Newton

Forces et quantité de mouvement

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Définition

Résultante des forces :

La résultante des forces exercées sur un système est la somme vectorielle Σ FΣ\ \vec {\text F} des forces qui s’exercent sur ce système.

D’après la première loi de Newton, si cette résultante est nulle alors son vecteur quantité de mouvement est constant. Sinon, celui-ci varie.

  • Si Σ F=0  p=constant\text{Si } Σ\ \vec {\text F}=\vec 0\ \Leftrightarrow\ \vec p=\text{constant}
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Définition

Première loi de Newton :

Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un système matériel isolé ou pseudo-isolé est soit immobile, soit en mouvement rectiligne uniforme. Son vecteur vitesse est constant.
La réciproque est vraie : si un système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme alors il est isolé ou pseudo isolé.

Énoncé

Si on prend une durée ΔtΔt infinitésimale, alors on arrive à la deuxième loi de Newton :

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Définition

Deuxième loi de Newton :

La deuxième loi de Newton dit que dans un référentiel galiléen, la résultante des forces appliquées à un système est la dérivée par rapport au temps du vecteur quantité de mouvement du centre d’inertie de ce système :

dp(t)dt=F\dfrac{d\vec p(t)}{dt}=\sum \vec {\text F}

Comme p(t)=m×v(t)\vec p(t)=m\times\vec v(t)

  • alors dp(t)dt=m.dv(t)dt\dfrac{d\vec p(t)}{dt}=m.\dfrac{d\vec v(t)}{dt}
  • donc ΣF=m×a(t)\Sigma\vec{\text F}=m\times\vec a(t)

Les forces sont exprimées en Newton.

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Astuce

Pour comprendre cette équation, il faut se rappeler comment fonctionne une dérivée : la dérivée d’une fonction permet de trouver l’équation qui décrit la façon dont elle varie.

La variation de la vitesse dans le temps est tout simplement l’accélération. Donc quand on dit ΣF=m\Sigma\vec{\text F}=m fois la dérivée de la vitesse, le résultat est aussi égal à mm fois le vecteur accélération appelé ici a(t)\vec a(t).

Mouvement dans un champ de pesanteur uniforme

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À retenir

Au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur est considéré uniforme et est décrit par le vecteur g0\stackrel{→}{g_0} de direction et de sens vers le centre de la Terre.

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Exemple

Voici ci-dessous le tir d’un canon avec une vitesse initiale v0\stackrel{→}{v_0} et qui fait un angle αα avec l’horizontale dans un référentiel orthonormé terrestre.

Tir canon référentiel orthonormé terrestre SPC terminale

On est dans le repère (O ;i;j;k)(O\ ; \stackrel{→}{i}; \stackrel{→}{j};\stackrel{→}{k}) donc les composantes de v0\stackrel {→}{v0} et g0\stackrel {→}{g0} sont :

v0{v0x=0v0y=v0cosαv0z=v0sinα\stackrel {→}{v0} \left\lbrace \begin{aligned} v{0x}&=0 \ v{0y}&=v0 \cdot \cosα \ v{0z}&=v0 \cdot \sinα \ \end{aligned}\right.

g0{g0x=0g0y=0g0z=g0\stackrel {→}{g0} \left\lbrace \begin{aligned} g{0x}&=0 \ g{0y}&=0 \ g{0z}&=-g_0 \ \end{aligned}\right.

Si on néglige les actions de frottement de l’air, la seule force qui s’applique sur le boulet est le poids de l’objet : P=m g0\stackrel{→}{P}=m\ \cdot \stackrel{→}{g_0}.

D’après la deuxième loi de Newton : P=m a=m.g0\stackrel{→}{P}=m\ \cdot \stackrel{→}{a} =m.\stackrel{→}{g_0}

  • donc a=g0\stackrel {→}{a}=\stackrel {→}{g_0} pour un objet placé dans un champ de pesanteur uniforme.

a(t){ax(t)=0ay(t)=0az(t)=g0\stackrel {→}{a(t)} \left\lbrace \begin{aligned} ax(t)&=0 \ ay(t)&=0 \ az(t)&=-g0\end{aligned} \right.

Comme a=dvdt\stackrel{→}{a}=\dfrac{d\stackrel{→}{v}}{dt} alors par intégration on obtient :

v(t){vx=ctevy=ctevz=g0t+cte\stackrel{→}{v(t)} \left\lbrace \begin{aligned} vx&=cte \ vy&=cte \ vz&=-g0 \cdot t+cte\ \end{aligned}\right.

D’après les composantes de v0\stackrel {→}{v_0} la vitesse initiale on a :

v(t){vx(t)=0vy(t)=v0cosαvz(t)=g0t+v0sinα\stackrel {→}{v(t)} \left\lbrace \begin{aligned} vx(t)&=0 \ vy(t)&=v0 \cdot \cosα \ vz(t)&=-g0 \cdot t+v0 \cdot \sinα\end{aligned}\right.

De même comme v(t)=dOMdt\overrightarrow{v(t)}=\dfrac{d_{\overrightarrow{OM}}}{dt} alors par intégration on obtient :

OM(t){x(t)=ctey(t)=v0cosαt+ctez(t)=12g0t2+v0sinαt+cte\overrightarrow{OM(t)} \left\lbrace \begin{aligned} x(t)&=cte \ y(t)&=v0 \cdot \cosα \cdot t+cte \ z(t)&=-\dfrac{1}{2} \cdot g0 \cdot t^2+v_0 \cdot \sinα \cdot t+cte\ \end{aligned} \right.

D’après les conditions initiales on a :

OM(t){x(t)=0y(t)=v0cosαtz(t)=12g0t2+v0sinαt\overrightarrow{OM(t)} \left\lbrace \begin{aligned} x(t) &=0 \ y(t)&=v0 \cdot \cosα \cdot t \ z(t)&=-\dfrac{1}{2} \cdot g0 \cdot t^2+v_0 \cdot \sinα \cdot t\ \end{aligned}\right.

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Définition

Équation horaire du mouvement du centre d’inertie d’un objet :

L’équation horaire du mouvement du centre d’inertie d’un objet est l’évolution de ces coordonnées de position au cours du temps.

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Astuce

On peut déterminer la trajectoire par la courbe d’équation z=f(y) z = f(y) en éliminant le temps tt.

y(t)=vocosαty(t) = vo \cdot \cosα \cdot t d’où t=y(t)vocosαt=\dfrac{y(t)}{vo \cdot \cosα} et si on le remplace dans z(t)z(t) alors :

z(t)=12g0(yvo.cosα)2+ytanαz(t)=-\dfrac{1}{2} \cdot g_0 \cdot (\dfrac{y}{vo. \cosα})^2+y \cdot \tanα

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À retenir

z(t)=12g0(yvocosα)2+ytanαz(t)=-\dfrac{1}{2} \cdot g_0 \cdot (\dfrac{y}{vo \cdot \cosα})^2+y \cdot \tanα est l’équation d’une parabole.

La portée maximale est obtenue pour α=45°α = 45\degree.

Comme c’est une parabole, on peut connaître la valeur de αα pour la portée maximale et la valeur du sommet de la parabole.

Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

On va considérer une particule de charge qq et de masse mm qui pénètre avec une vitesse v0\stackrel{→}{v_0} dans un champ électrostatique uniforme E\stackrel{→}{E} perpendiculaire aux armatures d’un condensateur plan.

On fait l’étude dans un repère galiléen orthonormé (O ;i;j;k)(O\ ; \stackrel{→}{i}; \stackrel{→}{j};\stackrel{→}{k}).

La particule n’est soumise qu’à la force électrostatique : F=q.E\stackrel{→}{F}=q.\stackrel{→}{E}.

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À retenir

D’après la deuxième loi de Newton : F=ma=qE\stackrel{→}{F}=m \cdot \stackrel{→}{a}=q \cdot \stackrel{→}{E} d’où a=qmE\stackrel{→}{a}=\dfrac{q}{m} \cdot \stackrel{→}{E}. Le vecteur accélération est colinéaire au vecteur champ électrique.

De même que précédemment on a :

a(t){ax(t)=0ay(t)=qmEaz(t)=0\stackrel {→}{a(t)} \left\lbrace \begin{aligned} ax(t)&=0 \ ay(t)&=\dfrac{q}{m} \cdot E \ a_z(t)&=0\ \end{aligned} \right.

et

  \; v(t){vx(t)=v0cosαvy(t)=qmE+v0sinαvz(t)=0\stackrel {→}{v(t)} \left\lbrace \begin{aligned} vx(t)&=v0 \cdot \cosα \ vy(t)&=-\dfrac{q}{m} \cdot E+v0 \cdot \sin \alpha \ v_z(t)&=0\ \end{aligned}\right.

Et enfin :

OM(t){x(t)=v0costy(t)=12qmEt2+v0sinαtz(t)=0\stackrel {→}{OM(t)} \left\lbrace \begin{aligned} x(t)&=v0 \cdot \cos \cdot t \ y(t)&=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{q}{m} \cdot E \cdot t^2+v0 \cdot \sin \alpha \cdot t \ z(t)&=0\ \end{aligned}\right.

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Astuce

On peut déterminer la trajectoire par la courbe d’équation y=f(x)y = f(x) en éliminant le temps tt.

x(t)=vocosαtx(t) = vo \cdot \cosα \cdot t d’où t=x(t)vocosαt=\dfrac{x(t)}{vo \cdot \cosα} et si on le remplace dans x(t)x(t) alors :

y(t)=12qmE(xvocosα)2+x.tanαy(t)=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{q}{m} \cdot E \cdot (\dfrac{x}{vo \cdot \cosα})^2+x. \tanα

  • C’est l’équation d’une parabole. La portée maximale est obtenue pour α=45°α = 45\degree.

Troisième loi de Newton

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Définition

Troisième loi de Newton :

Si un objet AA exerce une force sur un objet BB, FA/B\stackrel{→}{F}{A/B}, alors l’objet BB exerce une force sur AA : FB/A\stackrel{→}{F}{B/A}

Ces deux forces sont d’intensité égale, de même direction mais de sens opposé : FA/B=FB/A\stackrel{→}{F}{A/B}=-\stackrel{→}{F}{B/A}

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Exemple

Dans cet exemple, un livre de physique posé sur une table exerce une force sur la table, qui lui répond par une force identique.