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Notation des limites
Bien rédiger

Introduction

Pour connaître le comportement d'une fonction aux extrémités de son domaine de définition, il est important d'introduire la notion de limite d'une fonction.

Description

Limite à l’infini

Soit ff une fonction définie sur un intervalle [a ;+][a\ ;+\infty].

  • f(x)f(x) tend vers ++\infty quand xx tend vers ++\infty lorsque pour xx suffisament grand, f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut. On note alors : limx+f(x)=+\color{blue} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty
  • f(x)f(x) tend vers ll quand xx tend vers ++\infty lorsque pour xx suffisament grand, f(x)f(x) est aussi proche de ll que l’on veut. On note alors : limx+f(x)=l\color{red} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = l
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation y=ly=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de ff. Sur le schéma, l'asymptote horizontale est y=0y=0).

notation des limites bien rédiger en mathématiques première

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

  • limx+f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty
  • limxf(x)=+\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = +\infty
  • limxf(x)=\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty
  • limxf(x)=l\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = l

Limite au voisinage d'un réel

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;b[]a\ ; b[ avec a<ba < b.

  • f(x)f(x) tend vers ++\infty quand xx tend vers aa avec x>ax > a (pour rester dans le domaine de définition) lorsque f(x)f(x) est aussi grand que l'on veut quand xx se rapproche de aa tout en vérifiant x>x > a. On note alors : limxa+f(x)=limx>axaf(x)=+\lim\limits{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim \limits{\stackrel{x\rightarrow a}{x > a}} f(x)=+\infty
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de ff. Sur le schéma, l'asymptote verticale est x=1x=1.

notation des limites bien rédiger en mathématiques première

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;b[]a\ ; b[ avec a<ba < b.

  • f(x)f(x) tend vers ++\infty quand xx tend vers bb avec x<bx < b (pour rester dans le domaine de définition) lorsque f(x)f(x) est aussi grand que l'on veut quand xx se rapproche de bb tout en vérifiant x<bx < b. On note alors : limxbf(x)=limx<bxbf(x)=+\lim \limits{x\rightarrow b^-}f(x)=\lim \limits{\stackrel{x\rightarrow b}{x < b}}f(x)=+\infty
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation x=bx=b est asymptote verticale à la courbe représentative de ff.

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

  • limxa+f(x)=\lim \limits_{x \rightarrow a^+}f(x)=-\infty
  • limxbf(x)=\lim \limits_{x \rightarrow b^-}f(x)=-\infty (en approchant bb tel que x<bx < b)