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Notation des limites
Bien rédiger

Introduction

Pour connaître le comportement d'une fonction aux extrémités de son domaine de définition, il est important d'introduire la notion de limite d'une fonction.

Decription

Limite à l’infini

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a\ ;+\infty]$.

  • $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisament grand, $f(x)$ est aussi grand que l’on veut. On note alors : $$\color{blue} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$$
  • $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ lorsque pour $x$ suffisament grand, $f(x)$ est aussi proche de $l$ que l’on veut. On note alors : $$\color{red} \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = l$$
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $f$. Sur le schéma, l'asymptote horizontale est $y=0$).

notation des limites bien rédiger en mathématiques première

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

  • $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = -\infty$
  • $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = +\infty$
  • $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = -\infty$
  • $\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} f(x) = l$

Limite au voisinage d'un réel

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ; b[$ avec $a < b$.

  • $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ avec $x > a$ (pour rester dans le domaine de définition) lorsque $f(x)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $a$ tout en vérifiant $x > $a. On note alors : $$\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x) = \lim \limits_{\stackrel{x\rightarrow a}{x > a}} f(x)=+\infty$$
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$. Sur le schéma, l'asymptote verticale est $x=1$.

notation des limites bien rédiger en mathématiques première

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ; b[$ avec $a < b$.

  • $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $b$ avec $x < b$ (pour rester dans le domaine de définition) lorsque $f(x)$ est aussi grand que l'on veut quand $x$ se rapproche de $b$ tout en vérifiant $x < b$. On note alors : $$\lim \limits_{x\rightarrow b^-}f(x)=\lim \limits_{\stackrel{x\rightarrow b}{x < b}}f(x)=+\infty$$
  • Dans cette configuration, on dit que la droite d'équation $x=b$ est asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

De manière similiaire, on définit les limites suivantes :

  • $\lim \limits_{x \rightarrow a^+}f(x)=-\infty$
  • $\lim \limits_{x \rightarrow b^-}f(x)=-\infty$ (en approchant $b$ tel que $x < b$)