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Limites de fonctions

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Introduction :

Nous savons ce qu’est une fonction et nous connaissons les fonctions de référence, ainsi que les polynômes du second degré. En première, nous avons appris à dériver une fonction et en étudier les variations.

Dans le cours précédent, nous avons vu comment calculer les limites d’une suite numérique et avons aussi travaillé sur la limite de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition.
Dans ce cours, nous allons approfondir cette notion de limites, qui apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et qui viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.

Limite à l’infini

Dans cette première partie, nous nous intéressons au comportement des fonctions en -\infty et en ++\infty (lorsqu’elles y sont définies).

Limite infinie à l’infini

Soit AA un réel et ff une fonction définie au moins sur un intervalle ]A ;+[]A\ ;\,+\infty[.

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Définition

Limite infinie à l’infini :

  • Une fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty si les images f(x)f(x) sont plus grandes que n’importe quel réel AA donné, à condition de prendre xx assez grand.
  • On note alors :

lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty

  • Une fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty si les images f(x)f(x) sont plus petites que n’importe quel réel AA donné, à condition de prendre xx assez grand.
  • On note alors :

lim{x+}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty

Regardons la courbe représentative suivante :

Img-01 Ajouter le f en indice.

 

  • La fonction ff a pour limite ++\infty en ++\infty.

Regardons maintenant cette courbe représentative :

Img-02

 

  • La fonction ff a pour limite -\infty en ++\infty.
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Exemple

La fonction carrée ou la fonction racine carrée ont pour limite ++\infty en ++\infty :

limx+x2=limx+x=+\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} x^2 &= \lim\limits{x \to +\infty} \sqrt x \ &= +\infty \end{aligned}

  • On définit de la même manière les limites infinies en -\infty.
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Exemple

La fonction carrée a pour limite ++\infty en -\infty :

limxx2=+\lim\limits_{x \to -\infty} x^2=+\infty

La fonction cube a pour limite -\infty en -\infty :

limxx3=\lim\limits_{x \to -\infty} x^3=-\infty

Limite finie à l’infini et asymptote horizontale

Dans le cours précédent, sur les limites de suites, nous avons vu que la fonction exponentielle, en -\infty, avait pour limite 00, soit une limite finie.

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Définition

Limite finie à l’infini :

Soit ff une fonction définie sur un intervalle ]a ;+[]a\ ;\,+\infty[ (aa réel).
Dire que ff a pour limite le réel ll quand xx tend vers ++\infty signifie que tout intervalle ouvert contenant ll contient toutes les images f(x)f(x) pour xx suffisamment grand.

  • On note alors :

limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l

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À retenir

On dit, dans ce cas, que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale au voisinage de ++\infty (ou en ++\infty) à la courbe représentative de ff.

De même, on définit une asymptote horizontale, d’équation y=ly=l, au voisinage de -\infty (ou en -\infty) lorsque :

limxf(x)=l\lim\limits_{x \to - \infty} f(x)=l

Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite.
Inversement, si une limite finie ll en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation y=ly=l est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction.

  • On peut ainsi dire que la droite d’équation y=0y=0 est asymptote horizontale en -\infty à la courbe représentative de la fonction exponentielle.
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Exemple

Prenons un autre exemple et intéressons-nous à la fonction inverse.
Soit la fonction ff telle que : f(x)=1xf(x) = \dfrac 1x. Alors :

limx+f(x)=0limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty}f(x)=0 \ \lim\limits{x \to - \infty} f(x)=0 \end{aligned}

  • On en déduit que la droite d’équation y=0y=0 (qui est l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à la courbe Cf\mathscr C_f au voisinage de ++\infty et de -\infty.

Pour déterminer la position relative de la courbe Cf\mathscr C_f par rapport à une asymptote d’équation y=ly=l, il faut étudier le signe de la différence f(x)lf(x)-l :

  • si f(x)l>0f(x)-l > 0, alors f(x)>lf(x)>l,
  • la courbe Cf\mathscr C_f est au-dessus de l’asymptote sur l’intervalle, ou la réunion d’intervalles, où c’est le cas ;
  • si f(x)l<0f(x)-l <0, alors f(x)<lf(x)< l,
  • la courbe Cf\mathscr C_f est au-dessous de l’asymptote sur l’intervalle, ou la réunion d’intervalles, où c’est le cas.

Limite infinie en un point et asymptote verticale

Nous venons de voir les limites en l’infini. Intéressons-nous maintenant aux limites en un point.

Soit aa un réel et hh un réel positif non nul.
Soit ff une fonction définie sur une partie de R\mathbb{R} contenant un intervalle ]ah ;a[]a-h\ ;\,a[ ou ]a ;a+h[]a\ ;\,a+h[.

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Définition

Limite infinie en un point :

  • ff a pour limite ++\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi grand que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de aa.
  • On note alors :

limxaf(x)=+\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty

  • ff a pour limite -\infty quand xx tend vers aa si f(x)f(x) est aussi petit que l’on veut à condition de prendre xx suffisamment proche de aa.
  • On note alors :

limxaf(x)=\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty

  • On parle de limite à gauche en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs inférieures à aa.

Img-03

 

limxax<af(x)=+\lim\limits_{x \to a \atop x < a} f(x)= +\infty

Img-04

 

limxax<af(x)=\lim\limits_{x \to a \atop x < a} f(x)= -\infty

  • On parle de limite à droite en aa lorsque xx tend vers aa par valeurs supérieures à aa.

Img-05

 

limxax>af(x)=+\lim\limits_{x \to a \atop x > a} f(x)= +\infty

Img-06

 

limxax>af(x)=\lim\limits_{x \to a \atop x > a} f(x)= - \infty

bannière à retenir

À retenir

Dans ces quatre cas, la droite d’équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ff.

Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite.
Inversement, si une limite infinie en un réel aa a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation x=ax=a est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction.

Si limxaf(x)\lim\limits_{x \to a} f(x) est une valeur réelle, cela ne pose pas de problème.

  • Ce cas sera étudié dans un cours prochain, sur la continuité.

Déterminer une limite

Après avoir défini la notion de limite de fonctions, nous allons voir que, de la même manière que pour les suites, nous pouvons déterminer une limite à partir de règles opératoires sur les limites, ainsi que grâce à des théorèmes.

Limites des fonctions usuelles

Tout d’abord, découvrons, ou redécouvrons, les limites des fonctions usuelles.

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À retenir

  • Fonctions de type xnx^n :
  • pour tout entier naturel nn :

limx+xn=+\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty

  • si nn est pair :

limxxn=+\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty

  • si nn est impair :

limxxn=\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty

  • Fonction inverse :

limx+1x=limx1x=0limx0x>01x=+limx0x<01x=\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 1x &= \lim\limits{x \to -\infty} \dfrac 1x \ &=0 \ \ \lim\limits{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x &= +\infty \ \lim\limits{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x &= -\infty \end{aligned}

  • Fonction racine carrée :

limx+x=+\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty

  • Fonction exponentielle :

limxex=limx+ex=0limx+ex=+\begin{aligned} \lim\limits{x\to -\infty} \text{e}^x &=\lim\limits{x \to +\infty} \text{e}^{-x} \ &=0 \ \ \lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x&=+\infty \end{aligned}

Propriétés des opérations sur les limites

Les tableaux suivants donnent les règles d’opération et sont à connaître.

  • Ces règles sont toutefois aisément retrouvables grâce à la logique et à la règle des signes.
  • Comme pour les suites, il y a des formes indéterminées.
bannière à retenir

À retenir

Avec aa qui peut être un réel, -\infty ou ++\infty.

Limites de la somme de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x \to a} f(x) ll ll ll ++\infty -\infty ++\infty
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty
limxaf(x)+g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)+g(x)} l+l\red{l+l^\prime} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du produit de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll l>0l>0 l>0l>0 l<0l<0 l<0l<0 ++\infty ++\infty -\infty 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) ll^\prime ++\infty -\infty ++\infty -\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty
limxaf(x)×g(x)\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)} l×l\red{ l\times l^\prime} +\red {+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} +\red{+\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}}

Limites du quotient de deux fonctions

limxaf(x)\lim\limits{x\to a} f(x) ll ll ++\infty ++\infty -\infty -\infty ±\pm\infty ll 00
limxag(x)\lim\limits{x \to a} g(x) l0l^\prime\neq0 ±\pm\infty l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 l>0l^\prime>0 l<0l^\prime<0 ±\pm\infty 0+0^+- 00
limxaf(x)g(x)\red{\lim\limits{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}} ll\red{ \dfrac l {l^\prime}} 0\red 0 +\red{+\infty} \red{-\infty} \red{-\infty} +\red{+\infty} FI\red{\text{FI}} ±\red{\pm\infty} FI\red{\text{FI}}
  • Il existe donc quatre formes indéterminées :
  • (+)+()(+\infty) + (-\infty ) ;
  • 0×0\times \infty ;
  • \dfrac {\infty}{\infty} ;
  • 00\dfrac {0}{0}.
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Astuce

Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction, et c’est à voir au cas par cas.

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Exemple

Déterminons la limite en ++\infty de la fonction ff, définie sur R\mathbb{R} par f(x)=x32x+5f(x)= x^3 - 2x+5.

  • Commençons par chercher la limite par somme :

limx+x3=+limx+2x+5=\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} x^3 = +\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} -2x+5=-\infty \end{aligned}

  • Une forme indéterminée apparaît, du type (+)+()(+\infty) + (-\infty ).
  • Pour lever cette indétermination, transformons l’expression de la fonction en la factorisant par xx (nous nous intéressons à xx grand, nous le considérons comme non nul) :

f(x)=x32x+5=x(x22+5x)\begin{aligned} f(x)&= x^3 - 2x+5 \ &= x\Big(x^2- 2+\dfrac 5x\Big) \end{aligned}

  • Calculons la limite de cette nouvelle expression :

limx+x22=+limx+5x=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} x^2-2 &= +\infty \ \lim\limits{x \to +\infty} \dfrac 5x& = 0 \end{aligned}

Par somme, nous pouvons calculer :

lim{x+}x22+5x=+\lim\limits_{x \to +\infty} x^2-2+\dfrac{5}{x} =+\infty

De plus :

lim{x+}x=+\lim\limits_{x \to +\infty} x= +\infty

Et donc, par produit :

lim{x+}x(x22+5x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} x\Big(x^2-2+\dfrac{5}{x}\Big)=+\infty

  • lim{x+}f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty

Limite d’une fonction composée

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Propriété

Soit aa, ll et LL trois nombres réels, et ff et gg deux fonctions définies sur R\mathbb{R}.

  • Si \lim\limits{x \to a} g(x)= l et \lim\limits{x \to l} f(x) = L, alors :

\begin{aligned} \lim\limits{x \to a} f\big(g(x)\big) &= \lim\limits{x \to a} f\circ g(x) \ &= L \end{aligned}

La propriété est aussi valable lorsque aa, ll ou LL sont -\infty ou ++\infty.

bannière exemple

Exemple

Nous cherchons à déterminer lim{x+}ex2\lim\limits_{x \to +\infty} { {\mathrm{e}}^{-x^2}}.

  • Déterminons d’abord la limite de x2-x^2 :

lim{x+}x2=\lim\limits_{x \to +\infty} { -x^2} = -\infty

  • Soit g(x)=x2g(x)=-x^2 et f(x)=exf(x)=e^x.
  • Nous savons donc :

limx+g(x)=limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to \blue{+\infty}} g(x) &= \red{-\infty} \ \lim\limits{x \to \red{-\infty}} f(x) &= \green 0 \end{aligned}

  • Et donc, selon la propriété vue ci-dessus :

limx+ex2=limx+f(g(x))=limxf(x)=0\begin{aligned} \lim\limits{x \to +\infty} \text e^{-x^2} &= \lim\limits{x \to \blue{+\infty}} f\big(g(x)\big) \ &= \lim\limits_{x \to \red{-\infty}} f(x) \ &= \green 0 \end{aligned}

Limites et comparaison

Nous connaissons, pour les suites, les théorèmes de comparaison et des gendarmes.

  • Ces théorèmes peuvent se généraliser aux fonctions, permettant de calculer la limite éventuelle d’une fonction en une valeur finie ou infinie.
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Théorème

Théorème de comparaison :

  • Soit ff et gg deux fonctions telles que :
  • f(x)g(x)f(x)\geq g(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel)
  • limx+g(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty
  • alors : limx+f(x)=+\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty
  • Soit ff et gg deux fonctions telles que :
  • f(x)g(x)f(x)\leq g(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel) ;
  • limx+g(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty
  • alors : limx+f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en -\infty, en changeant l’intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ en ] ;a]]-\infty\ ;\,a], ou à celles en une valeur finie.

bannière theoreme

Théorème

Théorème des gendarmes :

Soit ff, gg et hh trois fonctions et ll un nombre réel tels que :

  • f(x)g(x)h(x)f(x)\leq g(x) \leq h(x) sur un intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ (aa un réel)
  • limx+f(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= l
  • limx+h(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l
  • alors : limx+g(x)=l\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l

Ce théorème s’étend aux limites en -\infty, en changeant l’intervalle [a ;+[[a\ ;\,+\infty[ en ] ;a]]-\infty\ ;\,a], ou à celles en une valeur finie.

Croissance comparée des fonctions puissances et exponentielle en ++\infty

Utilisons les limites pour comparer la croissance des fonctions puissances et exponentielle en ++\infty.

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Propriété

Pour entier naturel n1n\neq 1 :

limx+exxn=+\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^x}{x^n}= +\infty

  • Pour un entier naturel n1n \geq 1, lorsque xx devient de plus en plus grand, ex\text e^x devient beaucoup plus grand que xnx^n.
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Exemple

Voici une représentation graphique de la fonction xexx4x\mapsto \dfrac{\text e^x}{x^4}.

Img-07

Lorsque xx devient de plus en plus grand, exx4\dfrac{\text e^x}{x^4} devient de plus en plus grand et diverge vers ++\infty.

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Démonstration

Montrons cette propriété en deux étapes.

  • Première étape : montrons que la propriété est vraie pour n=1n = 1, c’est-à-dire que :

limx+exx=+\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}x= +\infty

Pour cela, étudions la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par f(x)=exx22f(x) = \text{e}^x - \dfrac{x^2}{2}.

  • ff est dérivable sur R\mathbb{R} et f(x)=exxf^\prime(x) = \text{e}^x - x pour tout xRx\in \mathbb{R}.
  • ff^\prime est dérivable sur R\mathbb{R} et f(x)=ex1f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^x - 1 pour tout xRx\in \mathbb{R}.
  • Pour x>0x > 0, f(x)=ex1>0f^{\prime\prime}(x) = \text{e}^x - 1 > 0.
  • La fonction ff^\prime est strictement croissante sur R+{\mathbb{R}}^{*+}.
  • De plus, f(0)=e00=1>0f^\prime(0) = \text{e}^0 - 0 = 1 > 0.
  • f(x)>0f^\prime(x) > 0 pour tout réel x>0x > 0.
  • La fonction ff est strictement croissante sur R+{\mathbb{R}}^{*+}.
  • En outre, f(0)=e0022=1f(0) = \text{e}^0 - \dfrac{0^2}{2} = 1.
  • f(x)>0f(x) > 0 pour tout réel x>0x > 0.
  • On en déduit que ex>x22\text{e}^x >\dfrac{x^2}{2} pour tout réel x>0x > 0.
  • En divisant par x0x\neq 0 les deux membres de l’inégalité, on obtient, pour tout réel x>0x>0 :

exx>x2\dfrac{{\mathrm{e}}^x}{x} > \frac{x}{2}

  • Or, limx+x2=+\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{2}= +\infty.
  • D’après le théorème de comparaison :

lim{x+}exx=+\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} { \frac{{\mathrm{e}}^x}{x} }= +\infty}

  • Deuxième étape : montrons maintenant que la propriété est vraie pour tout n1n\geq 1, c’est-à-dire que :

limx+exxn=+\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^n}= +\infty

Soit n1n \geq 1 un entier naturel.

exxn=(exn)nxn=(exnx)n=(exnxn×n)n=(exnxn)n×(1n)n=(exnxn)n×nn=(eXX)n×nn [en posant X=xn]\begin{aligned} \dfrac{\text{e}^x}{x^n} &= \dfrac{\big(\text{e}^{\frac{x}{n}}\big)^n }{x^n} \ &= \bigg(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}}}{x}\bigg)^n \ &= \bigg(\dfrac {e^{\frac xn}} {\frac xn \times n}\bigg)^n \ &= \bigg(\dfrac {e^{\frac xn}} {\frac xn}\bigg)^n \times \bigg(\dfrac {1} {n}\bigg)^n \ &= \bigg(\dfrac{\text{e}^{\frac{x}{n}}}{ \frac{x}{n}}\bigg)^n \times n^{-n} \ &=\bigg(\dfrac{\text e^X}{X}\bigg)^n \times n^{-n}\ \textcolor{#A9A9A9}{\Big[\text{en posant } X=\dfrac xn\Big]} \end{aligned}

  • Quand xx tend vers ++\infty, XX tend vers ++\infty.
  • Or, d’après la première étape :

limX+eXX=+\lim\limits_{X \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{X}}{X} = +\infty

  • D’après les règles opératoires sur les limites :

limX+(eXX)n=+limX+(eXX)n×nn=+ [car n1 est un entier naturel fixeˊ]\begin{aligned} \lim\limits{X \to +\infty} \bigg(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\bigg)^n &= +\infty \ \lim\limits{X \to +\infty} \bigg(\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\bigg)^n \times n^{-n} &= +\infty\ \textcolor{#A9A9A9}{[\text{car } n\geq 1 \text{ est un entier naturel fixé}]} \end{aligned}

  • On en déduit que, pour tout entier naturel n1n\geq 1 :

limx+exxn=+\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^{x}}{x^n} = +\infty}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons défini les limites de fonctions à l’infini et en un point, ainsi que les asymptotes horizontales et verticales.
Nous avons ensuite vu les règles opérations sur les limites de fonctions et les théorèmes qui permettent de déterminer concrètement une limite.
Enfin, nous avons comparé la croissance des fonctions puissances et exponentielle en ++\infty.

Nous avons aussi vu qu’une fonction dérivée pouvait être aussi dérivable, introduisant la notion de dérivée seconde.
Le prochain cours nous permettra d’aborder des compléments sur la dérivation, par rapport à ce que nous avons étudié en première.