Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Limites de fonctions
Déjà plus de
1 million
d'inscrits !
Avant de commencer, regarde la vidéo
Introduction :
Nous savons ce qu’est une fonction et nous connaissons les fonctions de référence, ainsi que les polynômes du second degré. En première, nous avons appris à dériver une fonction et en étudier les variations.
Dans le cours précédent, nous avons vu comment calculer les limites d’une suite numérique et avons aussi travaillé sur la limite de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition.
Dans ce cours, nous allons approfondir cette notion de limites. Elles apportent des informations supplémentaires sur les fonctions et viendront compléter les tableaux de variations que nous savons déjà construire.
Limite à l’infini
Dans cette première partie, nous nous intéressons au comportement des fonctions en et en (lorsqu’elles y sont définies).
Limite infinie à l’infini
Soit un réel et une fonction définie au moins sur un intervalle .
Limite infinie à l’infini :
Regardons la courbe représentative suivante :
Regardons maintenant cette courbe représentative :
La fonction carrée ou la fonction racine carrée ont pour limite en :
La fonction carrée a pour limite en :
La fonction cube a pour limite en :
Limite finie à l’infini et asymptote horizontale
Dans le cours précédent, sur les limites de suites, nous avons vu que la fonction exponentielle, en , avait pour limite , soit une limite finie.
Limite finie à l’infini :
Soit une fonction définie sur un intervalle ( réel).
Dire que a pour limite le réel en signifie que tout intervalle ouvert contenant contient toutes les images pour suffisamment grand.
On dit, dans ce cas, que la droite d’équation est asymptote horizontale au voisinage de (ou en ) à la courbe représentative de .
De même, la droite d’équation est symptote horizontale au voisinage de (ou en ) lorsque :
Pour définir une asymptote horizontale, il faut calculer ce type de limite.
Inversement, si une limite finie en l’infini a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation est asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction : celle-ci se rapproche au fur et à mesure de l’asymptote horizontale quand tend vers ou .
Prenons un autre exemple et intéressons-nous à la fonction inverse.
Soit la fonction telle que : . Alors :
Pour déterminer la position relative de la courbe par rapport à une asymptote d’équation , il faut étudier le signe de la différence :
Limite infinie en un point et asymptote verticale
Nous venons de voir les limites en l’infini. Intéressons-nous maintenant aux limites en un point.
Soit un réel et un réel positif non nul.
Soit une fonction définie sur une partie de contenant un intervalle ou .
Limite infinie en un point :
Dans certains cas, la limite quand tend vers par valeurs inférieures et celle quand tend vers par valeurs supérieures sont différentes.
Dans ces quatre cas, la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction .
Pour définir une asymptote verticale, il faut calculer ce type de limite.
Inversement, si une limite infinie en un réel a été calculée et que l’on demande une interprétation graphique, alors on peut dire que la droite d’équation est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction : celle-ci se rapproche au fur et à mesure de l’asymptote verticale quand tend vers .
Si est une valeur réelle, cela ne pose pas de problème.
Déterminer une limite
Après avoir défini la notion de limite de fonctions, nous allons voir que, comme pour les suites, nous pouvons déterminer une limite à partir de règles opératoires sur les limites et de théorèmes.
Limites des fonctions usuelles
Tout d’abord, découvrons, ou redécouvrons, les limites des fonctions usuelles.
Propriétés des opérations sur les limites
Les tableaux suivants donnent les règles d’opération et sont à connaître.
Avec qui peut être un réel, ou , et deux réels.
Limites de la somme de deux fonctions
Limites du produit de deux fonctions
Limites du quotient de deux fonctions
Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
Déterminons la limite en de la fonction , définie sur par .
Limite d’une fonction composée
Soit , et trois nombres réels, et et deux fonctions telles que : et .
\begin{aligned} \lim\limits{x \to a} f\big(g(x)\big) &= \lim\limits{x \to a} (f\circ g)(x) \ &= L \end{aligned}
La propriété est aussi valable lorsque , ou sont ou .
Nous cherchons à déterminer .
Limites et comparaison
Nous connaissons, pour les suites, les théorèmes de comparaison et des gendarmes.
Théorème de comparaison :
Ces deux propriétés s’étendent aux limites en , en changeant l’intervalle en , ou à celles en une valeur finie, avec cette fois un intervalle ouvert contenant .
Théorème des gendarmes :
Soit , et trois fonctions et un nombre réel tels que :
Ce théorème s’étend aux limites en , en changeant l’intervalle en , ou à celles en une valeur finie, avec cette fois un intervalle ouvert contenant .
Croissance comparée des fonctions puissances et exponentielle en
Utilisons les limites pour comparer la croissance des fonctions puissances et exponentielle en .
Pour tout entier naturel :
Voici une représentation graphique de la fonction .
Lorsque devient de plus en plus grand, devient de plus en plus grand et tend vers .
Montrons cette propriété en deux étapes.
Pour cela, étudions la fonction définie sur par .
Soit un entier naturel et .
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons défini les limites de fonctions à l’infini et en un point, ainsi que les conditions d’existence des asymptotes horizontales et verticales.
Nous avons ensuite vu les règles opératoires sur les limites de fonctions et les théorèmes qui permettent de déterminer concrètement une limite.
Enfin, nous avons comparé la croissance des fonctions puissances et exponentielle en .
Nous avons aussi vu qu’une fonction dérivée pouvait être aussi dérivable, introduisant la notion de dérivée seconde.
Le prochain cours nous permettra de compléter les connaissances et méthodes de première sur la dérivation.