Limites de fonctions

Limite à l’infini

Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie au moins sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$.
Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)= +\infty$$

Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A$ donné, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ à partir de $x$ assez grand :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= - \infty$$

On définit de la même manière les limites infinies en $-\infty$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ réel).
Dire que $f$ a pour limite le réel $l$ en $+\infty$ signifie que tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les images $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand :

$$\lim\limits_{x \to + \infty} f(x)=l$$

La droite d’équation $y=l$ est alors asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

Soit $a$ un réel et $h$ un réel positif non nul et $f$ une fonction définie sur une partie de $\mathbb{R}$ contenant un intervalle $]a-h\ ;\,a[$ ou $]a\ ;\,a+h[$.
$f$ a pour limite $+\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont supérieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= +\infty$$

$f$ a pour limite $-\infty$ quand $x$ tend vers $a$ si, pour tout $A$, les images $f(x)$ sont inférieures à $A$ quand $x$ est suffisamment proche de $a$ :

$$\lim\limits_{x \to a}f(x)= -\infty$$

On parle de limite à gauche en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs inférieures à $a$.
On parle de limite à droite en $a$ lorsque $x$ tend vers $a$ par valeurs supérieures à $a$.
La droite d’équation $x=a$ est alors asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction $f$.

$\lim\limits_{x \to +\infty} x^n= +\infty$	$n$ entier naturel
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= +\infty$	$n$ entier naturel pair
$\lim\limits_{x \to -\infty} x^n= -\infty$	$n$ entier naturel impair
$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac 1x = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac 1x =0$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x>0}\dfrac 1x = +\infty$
$\lim\limits_{x \to 0 \atop x<0}\dfrac 1x = -\infty$
$\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt x= +\infty$
$ \lim\limits_{x\to -\infty} \text{e}^x =\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-x} =0$
$\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$

Avec $a$ qui peut être un réel, $-\infty$ ou $+\infty$, $l$ et $l^{\prime}$ deux réels.

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$	$l$	$l>0$	$l>0$	$l<0$	$l<0$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$	$l^\prime$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$
$\red{\lim\limits_{x \to a} f(x)\times g(x)}$	$\red{ l\times l^\prime}$	$\red {+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{\text{FI}}$

$\lim\limits_{x\to a} f(x)$	$l$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$\pm\infty$	$l$	$0$
$\lim\limits_{x \to a} g(x)$	$l^\prime\neq0$	$\pm\infty$	$l^\prime>0$	$l^\prime<0$	$l^\prime>0$	$l^\prime<0$	$\pm\infty$	$0^+_-$	$0$
$\red{\lim\limits_{x \to a} \dfrac {f(x)}{g(x)}}$	$\red{ \dfrac l {l^\prime}}$	$\red 0$	$\red{+\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{-\infty}$	$\red{+\infty}$	$\red{\text{FI}}$	$\red{\pm\infty}$	$\red{\text{FI}}$

Il existe donc quatre formes indéterminées : $(+\infty) + (-\infty )$ ; $0\times \infty$ ; $\dfrac {\infty}{\infty}$ ; $\dfrac {0}{0}$.
Pour lever une indétermination, il suffit très souvent de factoriser l’expression de la fonction.
Fonction composée : soit $a$, $l$ et $L$ trois nombres réels, et $f$ et $g$ deux fonctions telles que : $g\,:\,I \to J$ et $f\,:\,J \to \mathbb{R}$.
Si $\lim\limits_{x \to a} g(x)= l$ et $\lim\limits_{x \to l} f(x) = L$, alors :

$$\lim\limits_{x \to a} f\big(g(x)\big) = \lim\limits_{x \to a} (f\circ g)(x) = L$$

La propriété est aussi valable lorsque $a$, $l$ ou $L$ sont $-\infty$ ou $+\infty$.
Théorème de comparaison :
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\geq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)= +\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$$

Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que $f(x)\leq g(x)$ sur un intervalle $]a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)= -\infty$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f( x)= -\infty$$

Ces deux propriétés s’étendent aux limites en $-\infty$ et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
Théorème des gendarmes :
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions et $l$ un nombre réel tels que $f(x)\leq g(x) \leq h(x)$ sur un intervalle $[a\ ;\,+\infty[$ ($a$ un réel) et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)= \lim\limits_{x \to +\infty} h( x)= l$, alors :

$$\lim\limits_{x \to +\infty} g( x)=l$$

Ce théorème s’étend aux limites en $-\infty$, et à celles en une valeur finie, en changeant l’intervalle.
Pour tout entier naturel $n\geq 1$ : $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\text e^x}{x^n}= +\infty$

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