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Introduction :
En classe de première, nous avons vu la notion de variable aléatoire, ainsi que la loi d’une variable aléatoire réelle. Dans ce cours, nous allons découvrir des nouvelles lois de probabilité, à savoir les lois uniformes, la loi de Bernoulli et la loi binomiale, puis les lois géométriques.
La loi binomiale, notamment, est utilisée dans divers domaines d’étude : on s’en sert pour modéliser des situations simples de succès ou d’échec, comme un jeu de pile ou face, par exemple. Elle est également utilisée dans des tests statistiques qui permettent d’interpréter des données et de prendre des décisions dans des situations dépendant du hasard.
Nous commencerons par rappeler quelques notions de probabilité, puis nous découvrirons ce qu’est une loi uniforme. Nous verrons enfin comment définir, à partir d’une épreuve de Bernoulli, la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
Rappels
Commençons par faire quelques rappels de première, pour redécouvrir des notions indispensables pour la suite de ce cours.
Probabilités conditionnelles et indépendance
Commençons par rappeler la formule des probabilités totales.
Soit une partition de l’univers et un événement quelconque de .
Alors la probabilité de est donnée par la formule :
Image temporaire
Rappelons que ces événements forment une partition de l’univers si les conditions suivantes sont vérifiées :
Redonnons maintenant la définition des probabilités conditionnelles.
Probabilité conditionnelle :
Soit et deux événements de l’univers . Supposons non nulle la probabilité de .
On appelle probabilité conditionnelle de sachant le nombre, noté , défini par :
Nous pouvons faire quelques remarques :
Comme on a : , alors la formule des probabilités totales peut aussi s’écrire sous la forme :
Enfin, il est important de préciser l’indépendance de deux événements.
Indépendance de deux événements :
Soit et deux événements associés à une expérience aléatoire.
On dit que les événements et sont indépendants si et seulement si :
Et nous pouvons en déduire les propriétés suivantes.
Soit et deux événements associés à une expérience aléatoire.
et sont indépendants :
Variable aléatoire et loi de probabilité
Ce cours est consacré à des variables aléatoires qui suivent certaines lois de probabilité. Il est donc utile de redonner les définitions de ces notions.
Variable aléatoire :
On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini .
Une variable aléatoire est une fonction définie sur et à valeurs dans .
Loi de probabilité d’une variable aléatoire :
Soit une variable aléatoire définie sur un univers et qui prend les valeurs , , …, .
Définir la loi de probabilité de consiste à donner les probabilités , pour tout entier compris entre et .
Nous pouvons aussi mieux décrire une variable aléatoire, grâce à des indicateurs : l’espérance, la variance et l’écart-type.
Espérance, variance et écart-type :
Soit une variable aléatoire qui prend les valeurs , , …, , avec respectivement les probabilités , , …, .
Rappelons enfin les interprétations que l’on peut tirer de ces indicateurs.
Ces rappels étant faits, nous pouvons maintenant aborder quelques lois de probabilité remarquables.
Loi uniforme discrète
Définition
Commençons par une loi simple à se représenter.
Pour cela, considérons un jeu non truqué de cartes, indiscernables au toucher.
On tire une carte :
Soit la variable aléatoire qui associe à la carte tirée le nombre de points.
Calculons maintenant les probabilités que soit égal à , avec compris entre et . Chaque carte a la même probabilité d’être tirée : nous sommes donc dans une situation d’équiprobabilité.
Ainsi, il y a au total issues, et l’événement est réalisé par l’événement « La carte tirée est un cœur », lui-même réalisé par issues (« La carte tirée est un sept de cœur », « La carte tirée est un huit de cœur », etc.).
Nous voyons donc que :
Loi uniforme :
Soit une variable aléatoire définie sur et qui prend ses valeurs dans .
On dit que suit une loi uniforme sur si, pour tout entier :
Indicateurs d’une variable suivant une loi uniforme
Soit une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur .
L’espérance et la variance se calculent avec les formules :
Démontrons la formule donnée pour le calcul de l’espérance.
Il suffit de faire appel à la définition de l’espérance :
Reprenons notre situation initiale, avec le jeu de
Nous pouvions le pressentir intuitivement : si l’on répète un grand nombre de fois l’expérience, on gagnera en moyenne
Calcul de probabilités dans le cas d’une loi uniforme
Si une variable aléatoire suit une loi uniforme, il est assez simple de calculer des probabilités, nous allons le montrer à travers un exemple.
Considérons la variable aléatoire
Puisque
L’événement
L’événement
Épreuve, loi et schéma de Bernoulli
Jacques Bernoulli, mathématicien et physicien suisse des XVIIe et XVIIIe siècles, est l’auteur de l’un des ouvrages les plus importants dans la théorie des probabilités : l’Ars Conjectandi, publié de manière posthume en 1713.
Nous allons ici étudier la loi à laquelle il a donné son nom.
Épreuve de Bernoulli
Commençons par définir ce type d’expérience aléatoire.
Épreuve de Bernoulli :
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès (
Si on note
Voici l’arbre correspondant à une épreuve de Bernoulli :
Image temporaire
Prenons quelques exemples.
Loi de Bernoulli
Dans le cas d’une épreuve de Bernoulli, nous pouvons définir une variable aléatoire
Par convention, nous choisissons d’associer
Et nous pouvons donner sa loi de probabilité, appelée loi de Bernoulli.
Loi de Bernoulli :
On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité
Soit
Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire
Elle est donnée par le tableau suivant :
Comme pour la loi uniforme, nous pouvons donner les formules permettant de calculer les indicateurs d’une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli.
Si
Nous pouvons le démontrer facilement, grâce aux définitions que nous connaissons.
Schéma de Bernoulli
Nous allons maintenant voir ce qui se passe si l’on répète une épreuve de Bernoulli plusieurs fois de suite.
Schéma de Bernoulli :
On appelle schéma de Bernoulli la répétition de
Les conditions identiques et indépendantes sont fondamentales pour être dans le cas d’un schéma de Bernoulli. Elles doivent donc être toujours vérifiées dans chaque situation.
Pour cela, nous vérifions :
On peut représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré, mais qui devient compliqué à tracer pour
Nous allons donner celui correspondant à un schéma de Bernoulli pour
Dans une urne contenant
On regarde si elle est verte, on a alors un succès, et on la remet.
On effectue au total
La probabilité d’obtenir un échec : « La boule tirée est blanche », est alors égale à
Ce schéma de Bernoulli est représenté par l’arbre pondéré suivant, dans lequel
Image temporaire
Coefficient binomial
Dans notre exemple précédent, nous pourrions nous demander combien il existe de façons d’obtenir
Coefficient binomial :
Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres
On appelle coefficient binomial, noté
Reprenons l’arbre précédent, et nous cherchons à savoir combien de chemins mènent à
On calcule de même le nombre de chemins pour obtenir
Il y a |
||
Il y a |
||
Il y a |
||
Il y a |
Nous remarquons les égalités suivantes :
Nous pouvons donner les propriétés suivantes.
Soit
Nous avons :
Nous pouvons aussi donner la formule de Pascal.
Si
Avec ces formules, on peut calculer de proche en proche les coefficients binomiaux.
On peut aussi calculer ces coefficients binomiaux avec une calculatrice.
Loi binomiale
Nous venons donc de définir ce qu’était un schéma de Bernoulli. Nous allons maintenant nous intéresser à ce qui nous importe vraiment ici, c’est-à-dire à la probabilité d’avoir
Définition
Loi binomiale :
Soit
Alors la variable aléatoire
Pour prouver qu’une variable aléatoire
Reprenons notre dernier exemple pour bien comprendre cette loi binomiale.
On considère la variable aléatoire
Toutes les conditions données plus haut sont vérifiées.
Avec l’arbre précédent, on peut expliciter cette loi binomiale
Ensuite, pour calculer, par exemple, la probabilité d’avoir
De même, on pourra calculer
Probabilités d’une loi binomiale
Dans le tout dernier exemple, nous avons pu nous servir d’un arbre pondéré pour calculer les probabilités de la loi binomiale, mais nous avions un schéma de Bernoulli avec seulement
Soit
Pour tout entier naturel
Reprenons notre jeu de tirage de boules, mais, cette fois, nous répétons
Et nous cherchons à connaître la probabilité d’obtenir
Nous pouvons aussi nous servir de la calculatrice pour calculer directement, grâce à leurs fonctions, les probabilités d’une loi binomiale, par exemple celle suivie par la variable aléatoire
Nous pouvons aussi donner une représentation graphique d’une loi binomiale, en utilisant par exemple un tableur et toujours en travaillant avec la variable aléatoire
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
1 |
Pour calculer la probabilité d’avoir
Le dernier paramètre est une variable booléenne (
Ici, nous entrons donc dans la cellule A2 la formule :
Puis nous copions la formule vers la droite, de la manière habituelle.
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | |
1 | ||||||||||
2 |
Nous pouvons remarquer que la probabilité donnée pour
Nous pouvons aussi noter que la probabilité d’obtenir
Image temporaire
Indicateurs d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale (et application)
Comme nous en avons pris désormais l’habitude, pour mieux décrire une variable aléatoire, nous calculons son espérance, sa variance et son écart-type. Et nous disposons aussi de formules, que nous admettrons dans ce cours, pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
Soit
L’espérance
Nous allons maintenant, à travers un exemple, récapituler ce que nous avons découvert sur la loi binomiale :
Lors du premier tour des dernières élections, la participation était de
Soit
La variable aléatoire
Image temporaire
Cela revient à chercher le plus « petit » intervalle
Nous remarquons que les probabilités pour
Pour déterminer
Nous en déduisons donc que
Pour aller un peu plus loin, nous pouvons noter que, si nous voulons que l’abstention dans l’échantillon soit assez représentative de la réalité, une taille d’échantillon de
Loi géométrique
Nous allons, à partir de la loi de Bernoulli, présenter la dernière loi de ce cours : la loi géométrique.
Définition et propriétés
Reprenons notre exemple du tirage d’une boule dans une urne contenant
Nous allons cette fois nous intéresser à la variable aléatoire
Loi géométrique :
On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est
Si
Imaginons, dans notre expérience, que nous voulions connaître la probabilité de tirer la première boule verte au troisième essai.
Image temporaire
Nous en déduisons la probabilité d’obtenir la première boule verte au troisième essai :
La probabilité de tirer la première boule verte au troisième tirage est d’environ
Soit
Nous avons alors, pour tout entier naturel
Comme toujours, donnons les formules qui permettent de calculer les indicateurs d’une variable aléatoire qui suit une loi géométrique.
Soit
L’espérance
Pour notre expérience, nous avons donc comme espérance :
Toujours dans notre exemple, ce qui peut nous intéresser, c’est de connaître la probabilité de tirer une boule verte au plus tard à un certain essai, ou celle de ne toujours pas avoir rencontré le succès au bout d’un certain nombre d’essais.
Image temporaire
Une loi « sans mémoire »
Imaginons que nous soyons malchanceux et que nous n’ayons toujours pas sorti de boule verte après
Autrement dit, la probabilité que nous tirions une boule verte après le dixième tirage, sachant que nous n’en avons pas tiré durant les six premiers, est égale à la probabilité de la tirer après le quatrième tirage.
Soit
Nous avons alors, pour tous entiers naturels non nuls
Nous n’avons toujours pas obtenu de boule verte après
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons découvert nos premières lois de probabilité, relativement simples mais aux applications fondamentales dans la théorie des probabilités et la science statistique.
Nous approfondirons, dans le cours prochain, cette notion de loi de probabilité non plus en l’étudiant de manière discrète, mais sur des intervalles continus.