Fiche de révision : Lois discrètes

Rappels

• Soit $A_1,\,A_2,\,…,\,A_n$ une partition de l’univers $\Omega$ et $B$ un événement quelconque de $\Omega$.
• Alors la probabilité de $B$ est donnée par la formule :

$$p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)$$

• Soit $A$ et $B$ deux événements de l’univers $\Omega$. Supposons non nulle la probabilité de $A$.
• On appelle probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$ le nombre, noté $p_A (B)$, défini par :

$$p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$$

• Soit $A$ et $B$ deux événements associés à une expérience aléatoire.
• $A$ et $B$ sont indépendants :
• si et seulement si : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ ;
• si et seulement si : $p_A(B)=p(B)$, avec $p(A)\neq 0$ ;
• si et seulement si : $p_B(A)=p(A)$, avec $p(B)\neq 0$.
• On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini $\Omega$.
• Définir une variable aléatoire consiste à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.
• Soit $X$ une variable aléatoire définie sur un univers $\Omega$ et qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, …, $x_n$.
• Définir la loi de probabilité de $X$ consiste à donner les probabilités $p(X=x_i)$, pour tout entier $i$ compris entre $1$ et $n$.
• Soit $X$ une variable aléatoire qui prend les valeurs $x_1$, $x_2$, …, $x_n$ , avec respectivement les probabilités $p_1$, $p_2$, …, $p_n$.

Loi uniforme discrète

• Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $\Omega$ et qui prend ses valeurs dans $\lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace$.
• On dit que $X$ suit une loi uniforme sur $\lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace$ si, pour tout entier $i\in \lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace$ :

$$p(X=i)=\dfrac 1n$$

• Et les indicateurs se calculent avec les formules suivantes :

Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès ($S$) et échec ($E$).
• Si on note $p$ la probabilité d’obtenir $S$, alors, comme $S$ et $E$ sont deux événements contraires ($E=\bar S$), la probabilité d’obtenir $E$ est donc $1-p$.

• On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité $p$ d’obtenir un succès.
  Soit $X$ la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs :
• la valeur $1$ si l’issue est un succès ;
• la valeur $0$ si l’issue est un échec.
• Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est appelée loi de Bernoulli de paramètre $p$.

• Les indicateurs se calculent avec les formules suivantes :

• On appelle schéma de Bernoulli la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
• Pour s’assurer que les conditions « identiques » et « indépendantes » sont vérifiées :
• les issues des épreuves doivent être les mêmes ;
• ces issues doivent avoir les mêmes probabilités d’une épreuve à l’autre.
• Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$. Soit $k$ un entier naturel tel que $0\leq k\leq n$.
• On appelle coefficient binomial, noté $\binom nk$, le nombre de chemins correspondant à $k$ succès.

Loi binomiale

• Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de $n$ épreuves d’un schéma de Bernoulli, et $p$ la probabilité de succès à chaque épreuve.
• La variable aléatoire $X$ suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, et notée généralement $\mathcal B(n,\, p)$.
• Pour tout entier naturel $k$ (avec $0\leq k\leq n)$, la probabilité d’obtenir $k$ succès sur les $n$ épreuves est donnée par la formule :

$$p(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$$

• Représentation graphique de la loi binomiale ($n=40$ et $p=0,45$) :

• Les indicateurs sont donnés par les formules suivantes :

• Pour prouver qu’une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
• il faut avoir $n$ expériences identiques ;
• chaque expérience a $2$ issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
• ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
• la variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès obtenus lors des $n$ épreuves.

Loi géométrique

• On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est $p$.
• Si $X$ comptabilise le nombre de répétitions (identiques et indépendantes) de l’épreuve nécessaires pour obtenir le premier succès, alors on dit que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$.
• Nous avons alors, pour tout entier naturel $k$ non nul :

$$p(X=k)=p\times (1-p)^{k-1}$$

• Les indicateurs sont donnés par les formules suivantes :

• La loi géométrique est dite « sans mémoire » et nous avons, pour tous entiers naturels non nuls $k$ et $k^{\prime}$ :

$$p_{X > k}(X>k+k^{\prime})=p(X > k^{\prime})$$

• Il s’agit donc de s’intéresser au nombre d’épreuves supplémentaires $k^{\prime}$ par rapport à $k$. La probabilité ne dépend que de $k^{\prime}$.