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Lois discrètes

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Rappels

  • Soit A1,A2,,AnA1,\,A2,\,…,\,A_n une partition de l’univers Ω\Omega et BB un événement quelconque de Ω\Omega.
  • Alors la probabilité de BB est donnée par la formule :

p(B)=p(A1B)+p(A2B)++p(AnB)p(B)=p(A1\cap B)+p(A2\cap B)+⋯+p(A_n\cap B)

  • Soit AA et BB deux événements de l’univers Ω\Omega. Supposons non nulle la probabilité de AA.
  • On appelle probabilité conditionnelle de BB sachant AA le nombre, noté pA(B)p_A (B), défini par :

pA(B)=p(AB)p(A)p_A (B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}

  • Soit AA et BB deux événements associés à une expérience aléatoire.
  • AA et BB sont indépendants :
  • si et seulement si : p(AB)=p(A)×p(B)p(A\cap B)=p(A)\times p(B) ;
  • si et seulement si : pA(B)=p(B)p_A(B)=p(B), avec p(A)0p(A)\neq 0 ;
  • si et seulement si : pB(A)=p(A)p_B(A)=p(A), avec p(B)0p(B)\neq 0.
  • On considère une expérience aléatoire dont l’univers est un ensemble fini Ω\Omega.
  • Définir une variable aléatoire consiste à associer un réel à chaque issue de l’expérience aléatoire.
  • Soit XX une variable aléatoire définie sur un univers Ω\Omega et qui prend les valeurs x1x1, x2x2, …, xnx_n.
  • Définir la loi de probabilité de XX consiste à donner les probabilités p(X=xi)p(X=x_i), pour tout entier ii compris entre 11 et nn.
  • Soit XX une variable aléatoire qui prend les valeurs x1x1, x2x2, …, xnxn , avec respectivement les probabilités p1p1, p2p2, …, pnpn.

Espérance E(X)=i=1nxipiE(X)=\sum{i=1}^n xip_i

L’espérance s’interprète comme la valeur moyenne prise par XX lorsqu’on répète un grand nombre de fois l’expérience aléatoire.

Variance V(X)=i=1npi(xiE(X))2V(X)=\sum{i=1}^n pi\big(x_i-E(X)\big)^2

La variance et l’écart-type mesurent la dispersion des valeurs prises par XX autour de l’espérance. Plus ils sont grands, plus les valeurs sont dispersées.

Écart-type σ(X)=V(X)\sigma(X)=\sqrt{V(X)}

Loi uniforme discrète

  • Soit XX une variable aléatoire définie sur Ω\Omega et qui prend ses valeurs dans {1,2,,n}\lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace.
  • On dit que XX suit une loi uniforme sur {1,2,,n}\lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace si, pour tout entier i{1,2,,n}i\in \lbrace 1,\,2,\,…,\,n\rbrace :

p(X=i)=1np(X=i)=\dfrac 1n

  • Et les indicateurs se calculent avec les formules suivantes :

Loi uniforme
Espérance E(X)=n+12E(X)=\dfrac{n+1}2
Variance V(X)=n2112V(X)=\dfrac{n^2-1}{12}
Écart-type σ(X)=n2112\sigma(X)=\sqrt{\frac{n^2-1}{12}}

Épreuve, loi et schéma de Bernoulli

  • Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, appelées généralement succès (SS) et échec (EE).
  • Si on note pp la probabilité d’obtenir SS, alors, comme SS et EE sont deux événements contraires (E=SˉE=\bar S), la probabilité d’obtenir EE est donc 1p1-p.

Alt texte Image temporaire

  • On considère une épreuve de Bernoulli avec une probabilité pp d’obtenir un succès.
    Soit XX la variable aléatoire qui ne prend que deux valeurs :
  • la valeur 11 si l’issue est un succès ;
  • la valeur 00 si l’issue est un échec.
  • Alors la loi de probabilité de la variable aléatoire XX est appelée loi de Bernoulli de paramètre pp.

xixi 11 00
p(X=xi)p(X=xi) pp 1p1-p
  • Les indicateurs se calculent avec les formules suivantes :

Loi de Bernoulli
Espérance E(X)=pE(X)=p
Variance V(X)=p(1p)V(X)=p(1-p)
Écart-type σ(X)=p(1p)\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}
  • On appelle schéma de Bernoulli la répétition de nn épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
  • Pour s’assurer que les conditions « identiques » et « indépendantes » sont vérifiées :
  • les issues des épreuves doivent être les mêmes ;
  • ces issues doivent avoir les mêmes probabilités d’une épreuve à l’autre.
  • Considérons un arbre pondéré représentant un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. Soit kk un entier naturel tel que 0kn0\leq k\leq n.
  • On appelle coefficient binomial, noté (nk)\binom nk, le nombre de chemins correspondant à kk succès.

Propriétés du coefficient binomial
Symétrie \begin{aligned} \binom n0&=\binom nn=1 \\ \binom n k&=\binom n {n-k} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\in \mathbb N$}}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{et $0\leq k\leq n$]}}} \end{aligned}
Formule de Pascal (nk)=(n1k)+(n1k1)[avec n2et 1kn1]\begin{aligned} \binom nk &=\binom {n-1}k+\binom{n-1}{k-1} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\geq 2$}}} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{et $1\leq k\leq n-1$]}}} \end{aligned}

Loi binomiale

  • Soit XX la variable aléatoire qui compte le nombre de succès obtenus lors de nn épreuves d’un schéma de Bernoulli, et pp la probabilité de succès à chaque épreuve.
  • La variable aléatoire XX suit une loi de probabilité appelée loi binomiale de paramètres nn et pp, et notée généralement B(n,p)\mathcal B(n,\, p).
  • Pour tout entier naturel kk (avec 0kn)0\leq k\leq n), la probabilité d’obtenir kk succès sur les nn épreuves est donnée par la formule :

p(X=k)=(nk)pk(1p)nkp(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}

  • Représentation graphique de la loi binomiale (n=40n=40 et p=0,45p=0,45) :

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  • Les indicateurs sont donnés par les formules suivantes :

Loi binomiale
Espérance E(X)=npE(X)=np
Variance V(X)=np(1p)V(X)=np(1-p)
Écart-type σ(X)=np(1p)\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}
  • Pour prouver qu’une variable aléatoire XX suit une loi binomiale, on justifie que les conditions suivantes sont vérifiées :
  • il faut avoir nn expériences identiques ;
  • chaque expérience a 22 issues possibles (épreuve de Bernoulli) ;
  • ces expériences sont indépendantes les unes des autres ;
  • la variable aléatoire XX compte le nombre de succès obtenus lors des nn épreuves.

Loi géométrique

  • On considère une épreuve de Bernoulli où la probabilité de succès est pp.
  • Si XX comptabilise le nombre de répétitions (identiques et indépendantes) de l’épreuve nécessaires pour obtenir le premier succès, alors on dit que XX suit la loi géométrique de paramètre pp.
  • Nous avons alors, pour tout entier naturel kk non nul :

p(X=k)=p×(1p)k1p(X=k)=p\times (1-p)^{k-1}

  • Les indicateurs sont donnés par les formules suivantes :

Loi géométrique
Espérance E(X)=1pE(X)=\dfrac 1p
Variance V(X)=1pp2V(X)=\dfrac{1-p}{p^2}
Écart-type σ(X)=1pp\sigma(X)=\dfrac{\sqrt{1-p}}p
  • La loi géométrique est dite « sans mémoire » et nous avons, pour tous entiers naturels non nuls kk et kk^{\prime} :

pX>k(X>k+k)=p(X>k)p_{X > k}(X>k+k^{\prime})=p(X > k^{\prime})

  • Il s’agit donc de s’intéresser au nombre d’épreuves supplémentaires kk^{\prime} par rapport à kk. La probabilité ne dépend que de kk^{\prime}.