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Positions relatives de droites et de plans de l’espace
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Introduction :
Dans le cours « Vecteurs, droites et plans de l’espace », nous avons étudié comment caractériser droites et plans de l’espace par des vecteurs, et comment prouver l’appartenance d’un point à l’un d’entre eux.
Nous allons, dans ce chapitre, apprendre comment peuvent se positionner droites et plans entre eux : peuvent-ils être sécants et, dans ce cas, quelle est leur intersection ? peuvent-ils être parallèles ? ou dans une autre configuration ? On parle ainsi de position relative de droites et de plans.
Dans une première partie, nous verrons quelles peuvent être les positions relatives d’une droite et d’un plan ; ensuite, nous étudierons les positions relatives de deux droites de l’espace ; enfin, nous verrons dans la troisième partie les positions relatives de deux plans de l’espace.
Position relative d’une droite et d’un plan
Règles d’incidence
On admet les résultats suivants, qui sont des postulats de la géométrie en trois dimensions.
Rappelons également des notions du chapitre précédent, qui vont nous servir à établir des propriétés.
Nous pouvons illustrer ces règles d’incidence dans un cube.
Remarque :
Il faut bien distinguer dans ce cours la face du cube et le plan qui contient cette face.
Soit le cube .
Le plan et le plan sont confondus : tous les deux contiennent les trois points , et qui ne sont pas alignés.
puisque et appartiennent au plan .
Les points et , alignés avec et , appartiennent donc à ce plan.
Nous avons pris l’exemple d’une droite incluse dans un plan. Nous allons maintenant étudier l’ensemble des positions relatives possibles d’une droite et d’un plan de .
Position relative d’une droite et d’un plan
Prenons l’exemple du pavé droit ci-dessous.
Observons les positions relatives de quelques droites et plans qui sont représentés.
Nous observons une autre configuration possible :
À partir de cet exemple, nous admettons qu’il ne peut y avoir que deux configurations possibles dans l’espace pour une droite et un plan.
Une droite et un plan de sont dans une des configurations suivantes.
Droite et plan sécants | Droite et plan parallèles | |
Intersection : un seul point | Droite et plan strictement parallèles : aucun point d’intersection | Droite contenue dans le plan : l’intersection est la droite |
|
|
|
Nous allons maintenant montrer comment on peut caractériser le parallélisme entre une droite et un plan de à l’aide des vecteurs.
Caractérisation vectorielle du parallélisme entre un plan et une droite
Reprenons le pavé droit .
On munit le plan du repère d’une part ; est un vecteur directeur de d’autre part.
est une combinaison linéaire de la base de vecteurs de .
Elle admet comme vecteur directeur. Or :
Nous pouvons généraliser ces observations avec la propriété suivante.
Dans :
et sont parallèles si et seulement si , et sont coplanaires.
et sont parallèles si et seulement si est combinaison linéaire de et de , c’est-à-dire que .
Nous allons utiliser cette propriété ainsi que nos connaissances sur la position relative de plans et de droites dans l’exemple ci-dessous.
Dans le pavé droit , est le milieu de , est le milieu de et est le milieu de .
Le plan est muni du repère .
Pour trouver le point d’intersection d’une droite et d’un plan sécants, on cherche le point d’intersection de cette droite avec une droite du plan.
Dans le plan , les points et sont inclus dans ce plan et coupe en . Donc et .
On décompose en utilisant la relation de Chasles et les vecteurs de la base choisie pour . On a :
Nous remarquons également :
Cela signifie que
Servons-nous de cet exemple pour aller un peu plus loin dans le raisonnement. Nous avons vu que :
En plaçant dans le plan
Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans ce plan.
Position relative de deux droites de l’espace
Nous allons maintenant étudier les positions relatives possibles de deux droites
Droites coplanaires, droites non coplanaires
Pour comprendre les positions relatives possibles de deux droites, observons certaines droites dans le cube
Elles ont en effet un même vecteur directeur :
Dans ce plan,
Pour autant, elles ne sont pas parallèles, en effet, la première admet
Montrons qu’il n’existe pas de plan qui les contienne toutes les deux.
Les points
Supposons par l’absurde que
Nous posons donc les deux définitions suivantes.
Droites coplanaires :
Dire que deux droites distinctes
Remarque :
Ce plan est unique : en effet, nous pouvons choisir trois points non alignés sur ces deux droites.
Si deux droites sont coplanaires, alors toutes les propriétés vues jusqu’ici en géométrie plane s’appliquent dans le plan qui les contient.
En particulier, dans un plan, il n’y a que deux positions possibles pour deux droites : elles sont parallèles ou sécantes.
Droites non coplanaires :
Dire que deux droites
Position relative de deux droites de l’espace
À partir de l’observation et des définitions ci-dessus, nous admettons la propriété suivante.
Deux droites distinctes
Droites non coplanaires | Droites coplanaires | |
Aucun point d’intersection | Droites strictement parallèles : aucun point d’intersection | Droites sécantes : un seul point d’intersection : |
|
|
|
Quand deux droites ne sont pas sécantes, cela ne signifie pas qu’elles sont parallèles. Elles peuvent être non coplanaires.
Nous allons illustrer une partie de ces méthodes dans l’exemple ci-dessous.
On considère le tétraèdre
Les points
Pour prouver que deux droites sont parallèles, nous utiliserons plus aisément les vecteurs. Le paragraphe suivant va nous montrer comment.
Caractérisation vectorielle des droites parallèles
Nous venons de voir que deux droites parallèles sont nécessairement contenues dans le même plan.
On peut en déduire que, dans
On considère deux droites
Pour illustrer ces propriétés, reprenons le tétraèdre du paragraphe précédent.
Nous y avons précisément placé les points
Commençons par étudier la position relative des droites
Utilisons les égalités vectorielles de l’énoncé. Nous avons :
On en déduit que les vecteurs
D’autre part :
Les vecteurs
Ainsi,
Comme dans le plan, on a ainsi la propriété suivante.
Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Si trois droites sont parallèles entre elles, cela ne signifie pas qu’elles sont toutes les trois coplanaires.
Si nous reprenons l’exemple ci-dessus,
Nous avons donc étudié les configurations possibles pour deux droites de l’espace. Voyons à présent ce qu’il en est des positions relatives de plans dans l’espace.
Position relative de deux plans de
Position relative de deux plans
Observons les configurations de quelques plans dans le cube ci-dessous :
Nous pouvons nous demander s’il y a d’autres points d’intersection hors la droite
Par l’absurde, s’il existe un point
De cette observation, nous admettons la propriété suivante : elle énumère les positions relatives possibles entre deux plans.
Deux plans
Plans sécants | Plans parallèles | |
Leur intersection est une droite | Plans strictement parallèles : aucun point d’intersection | Plans confondus |
|
|
|
Pour montrer que deux plans distincts sont sécants, on trouve au moins un point d’intersection.
Nous allons utiliser cette méthode dans l’exemple ci-dessous.
Dans un tétraèdre
Nous cherchons l’intersection du plan
Les deux plans ne sont pas confondus car, par exemple, le point
Supposons qu’elles sont sécantes ; on appelle
Supposons là aussi qu’elles sont sécantes, en un point
Dans cet exemple, nous avons fait l’hypothèse que les points
Si, maintenant,
Caractérisation vectorielle du parallélisme de deux plans
Repartons de l’exemple précédent, en précisant davantage les emplacements des points $M$,
Dans le tétraèdre
On munit le plan
Le plan
Les vecteurs
Donc
Nous appliquons ici la propriété suivante qui est admise.
Si
Soit
Le plan
Direction d’un plan :
Soit un plan
Cette base est appelée direction du plan
Nous pouvons alors formuler la propriété précédente d’une autre manière.
Deux plans qui ont la même direction sont parallèles.
Ou encore :
Prenons un exemple supplémentaire pour illustrer cette propriété.
Soit le pavé droit
Le plan
Nous avons placé les points
Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
Conclusion :
Dans ce cours, nous nous sommes intéressés à la position relative des droites et des plans. Déterminer la nature et intersection de deux droites, de deux plans ou d’une droite et d’un plan nécessite de connaître les configurations possibles.
Et les vecteurs sont des outils supplémentaires pour prouver le parallélisme dans les trois cas.
L’ensemble des propriétés vues ici permet de mieux se représenter les objets géométriques et de développer sa vision de l’espace.
Nous poursuivrons ce travail en ajoutant de nouveaux outils dans le chapitre suivant.