Fiche de révision : Positions relatives de droites et de plans de l’espace

• Dans tout le cours, nous nous placerons dans l’espace noté $\mathcal E$.

Position relative d’une droite et d’un plan

• Règles d’incidence :
• Comme en géométrie plane, par deux points distincts $A$ et $B$ de l’espace passe une seule droite, que l’on peut noter $(AB)$.
• Si deux points distincts $A$ et $B$ appartiennent à un plan $(P)$, alors tous les points de $(AB)$ appartiennent également à $(P)$.
• $(AB)$ est contenue ou incluse dans $(P)$.
• $(P)$ contient $(AB)$, et on note $(AB) \subset (P)$.
• Une droite $(d)$ et un plan $(P)$ de $\mathcal E$ sont dans une des configurations suivantes.

• $(d)$ est une droite définie par un point $A$ lui appartenant et un vecteur directeur $\vec w$ ;
  $(P)$ est un plan caractérisé par un point $B$ et une base de vecteurs $(\vec u,\,\vec v)$.
• $(d)=(A\ ;\, \vec w)$ et $(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v)$ sont parallèles si et seulement si $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires.
• $(d)=(A\ ;\, \vec w)$ et $(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v)$ sont parallèles si et seulement si $\vec w$ est combinaison linéaire de $\vec u$ et de $\vec v$, c’est-à-dire que $\vec w=a \vec u +b \vec v$.
• Pour trouver le point d’intersection d’une droite et d’un plan sécants, on cherche le point d’intersection de cette droite avec une droite du plan. Comme il ne peut y avoir qu’un point d’intersection entre une droite et un plan sécants, c’est nécessairement celui-ci.
• Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans ce plan.

Position relative de deux droites de l’espace

• Dire que deux droites distinctes $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont coplanaires signifie qu’il existe un plan de $\mathcal E$ qui les contient toutes les deux.
• Si deux droites sont coplanaires, alors toutes les propriétés vues jusqu’ici en géométrie plane s’appliquent dans le plan qui les contient. En particulier, dans un plan, il n’y a que deux positions possibles pour deux droites : elles sont parallèles ou sécantes.
• Dire que deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont non coplanaires signifie qu’il n’existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.
• Deux droites distinctes $(d)$ et $(d^{\prime})$ de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

• Quand deux droites ne sont pas sécantes, cela ne signifie pas qu’elles sont parallèles. Elles peuvent être non coplanaires.
• Méthodologie pour déterminer si deux droites sont non coplanaires :
• on repère deux points distincts sur chacune des deux droites ;
• trois de ces points forment un plan que l’on peut identifier ;
• on prouve que le quatrième point n’appartient pas à ce plan.
• Pour prouver que deux droites sont coplanaires, on peut démontrer qu’elles sont sécantes, ou qu’elles sont parallèles.
• Soit deux droites $(d)=(A\ ;\, \vec u)$ et $(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v)$.
• $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
• Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Position relative de deux plans de $\mathcal E$

• Deux plans $(P)$ et $(P^{\prime})$ de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

• Pour montrer que deux plans distincts sont sécants, on trouve au moins un point d’intersection.
• Si on en trouve deux, la droite d’intersection est alors la droite qui passe par ces deux points.
• Si $(P^{\prime})$ contient deux droites sécantes qui sont parallèles à un plan $(P)$, alors $(P^{\prime})$ et $(P)$ sont parallèles.
• Soit $\vec u$ et $\vec v$ deux vecteurs non nuls et non colinéaires, et $A$ et $B$ deux points de $\mathcal E$.
• Le plan $(A\ ;\, \vec u,\,\vec v)$ et le plan $(B\ ;\, \vec u,\,\vec v)$ sont parallèles.
• Soit un plan $(P)$ de base $(\vec u,\,\vec v)$. Cette base est appelée direction du plan $(P)$.
• Deux plans qui ont la même direction sont parallèles.
• $P=(A\ ;\, \vec u,\,\vec v)$ et $P^{\prime}=(B\ ;\, \overrightarrow{u^{\prime}\ },\,\overrightarrow{v^{\prime}\ })$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{u^{\prime}\ }$ et $\overrightarrow{v^{\prime}\ }$ sont tous les deux des combinaisons linéaires de $\vec u$ et de $\vec v$.