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Positions relatives de droites et de plans de l’espace

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  • Dans tout le cours, nous nous placerons dans l’espace noté E\mathcal E.

Position relative d’une droite et d’un plan

  • Règles d’incidence :
  • Comme en géométrie plane, par deux points distincts AA et BB de l’espace passe une seule droite, que l’on peut noter (AB)(AB).
  • Si deux points distincts AA et BB appartiennent à un plan (P)(P), alors tous les points de (AB)(AB) appartiennent également à (P)(P).
  • (AB)(AB) est contenue ou incluse dans (P)(P).
  • (P)(P) contient (AB)(AB), et on note (AB)(P)(AB) \subset (P).
  • Une droite (d)(d) et un plan (P)(P) de E\mathcal E sont dans une des configurations suivantes.

Droite et plan sécants Droite et plan parallèles
Un seul point d'intersection Droite et plan strictement parallèles : aucun point d’intersection Droite contenue dans le plan : l’intersection est la droite (d)(d)
  • (d)(d) est une droite définie par un point AA lui appartenant et un vecteur directeur w\vec w ;
    (P)(P) est un plan caractérisé par un point BB et une base de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v).
  • (d)=(A ;w)(d)=(A\ ;\, \vec w) et (P)=(B ;u,v)(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles si et seulement si u\vec u, v\vec v et w\vec w sont coplanaires.
  • (d)=(A ;w)(d)=(A\ ;\, \vec w) et (P)=(B ;u,v)(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles si et seulement si w\vec w est combinaison linéaire de u\vec u et de v\vec v, c’est-à-dire que w=au+bv\vec w=a \vec u +b \vec v.
  • Pour trouver le point d’intersection d’une droite et d’un plan sécants, on cherche le point d’intersection de cette droite avec une droite du plan. Comme il ne peut y avoir qu’un point d’intersection entre une droite et un plan sécants, c’est nécessairement celui-ci.
  • Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans ce plan.

Position relative de deux droites de l’espace

  • Dire que deux droites distinctes (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont coplanaires signifie qu’il existe un plan de E\mathcal E qui les contient toutes les deux.
  • Si deux droites sont coplanaires, alors toutes les propriétés vues jusqu’ici en géométrie plane s’appliquent dans le plan qui les contient. En particulier, dans un plan, il n’y a que deux positions possibles pour deux droites : elles sont parallèles ou sécantes.
  • Dire que deux droites (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont non coplanaires signifie qu’il n’existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.
  • Deux droites distinctes (d)(d) et (d)(d^{\prime}) de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

Droites non coplanaires Droites coplanaires
Aucun point d’intersection Droites strictement parallèles : aucun point d’intersection Droites sécantes : un seul point d’intersection
  • Quand deux droites ne sont pas sécantes, cela ne signifie pas qu’elles sont parallèles. Elles peuvent être non coplanaires.
  • Méthodologie pour déterminer si deux droites sont non coplanaires :
  • on repère deux points distincts sur chacune des deux droites ;
  • trois de ces points forment un plan que l’on peut identifier ;
  • on prouve que le quatrième point n’appartient pas à ce plan.
  • Pour prouver que deux droites sont coplanaires, on peut démontrer qu’elles sont sécantes, ou qu’elles sont parallèles.
  • Soit deux droites (d)=(A ;u)(d)=(A\ ;\, \vec u) et (d)=(B ;v)(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v).
  • (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires.
  • Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Position relative de deux plans de E\mathcal E

  • Deux plans (P)(P) et (P)(P^{\prime}) de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

Plans sécants Plans parallèles
Leur intersection est une droite Plans strictement parallèles : aucun point d’intersection Plans confondus
  • Pour montrer que deux plans distincts sont sécants, on trouve au moins un point d’intersection.
  • Si on en trouve deux, la droite d’intersection est alors la droite qui passe par ces deux points.
  • Si (P)(P^{\prime}) contient deux droites sécantes qui sont parallèles à un plan (P)(P), alors (P)(P^{\prime}) et (P)(P) sont parallèles.
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls et non colinéaires, et AA et BB deux points de E\mathcal E.
  • Le plan (A ;u,v)(A\ ;\, \vec u,\,\vec v) et le plan (B ;u,v)(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles.
  • Soit un plan (P)(P) de base (u,v)(\vec u,\,\vec v). Cette base est appelée direction du plan (P)(P).
  • Deux plans qui ont la même direction sont parallèles.
  • P=(A ;u,v)P=(A\ ;\, \vec u,\,\vec v) et P=(B ;u ,v )P^{\prime}=(B\ ;\, \overrightarrow{u^{\prime}\ },\,\overrightarrow{v^{\prime}\ }) sont parallèles si et seulement si u \overrightarrow{u^{\prime}\ } et v \overrightarrow{v^{\prime}\ } sont tous les deux des combinaisons linéaires de u\vec u et de v\vec v.