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Positions relatives de droites et de plans de l’espace

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪
  • Dans tout le cours, nous nous placerons dans l’espace noté E\mathcal E.

Position relative d’une droite et d’un plan

  • Règles d’incidence :
  • Comme en géométrie plane, par deux points distincts AA et BB de l’espace passe une seule droite, que l’on peut noter (AB)(AB).
  • Si deux points distincts AA et BB appartiennent à un plan (P)(P), alors tous les points de (AB)(AB) appartiennent également à (P)(P).
  • (AB)(AB) est contenue ou incluse dans (P)(P).
  • (P)(P) contient (AB)(AB), et on note (AB)(P)(AB) \subset (P).
  • Une droite (d)(d) et un plan (P)(P) de E\mathcal E sont dans une des configurations suivantes.

Droite et plan sécants Droite et plan parallèles
Un seul point d'intersection Droite et plan strictement parallèles : aucun point d’intersection Droite contenue dans le plan : l’intersection est la droite (d)(d)
  • (d)(d) est une droite définie par un point AA lui appartenant et un vecteur directeur w\vec w ;
    (P)(P) est un plan caractérisé par un point BB et une base de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v).
  • (d)=(A ;w)(d)=(A\ ;\, \vec w) et (P)=(B ;u,v)(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles si et seulement si u\vec u, v\vec v et w\vec w sont coplanaires.
  • (d)=(A ;w)(d)=(A\ ;\, \vec w) et (P)=(B ;u,v)(P)=(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles si et seulement si w\vec w est combinaison linéaire de u\vec u et de v\vec v, c’est-à-dire que w=au+bv\vec w=a \vec u +b \vec v.
  • Pour trouver le point d’intersection d’une droite et d’un plan sécants, on cherche le point d’intersection de cette droite avec une droite du plan. Comme il ne peut y avoir qu’un point d’intersection entre une droite et un plan sécants, c’est nécessairement celui-ci.
  • Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans ce plan.

Position relative de deux droites de l’espace

  • Dire que deux droites distinctes (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont coplanaires signifie qu’il existe un plan de E\mathcal E qui les contient toutes les deux.
  • Si deux droites sont coplanaires, alors toutes les propriétés vues jusqu’ici en géométrie plane s’appliquent dans le plan qui les contient. En particulier, dans un plan, il n’y a que deux positions possibles pour deux droites : elles sont parallèles ou sécantes.
  • Dire que deux droites (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont non coplanaires signifie qu’il n’existe aucun plan qui les contienne toutes les deux.
  • Deux droites distinctes (d)(d) et (d)(d^{\prime}) de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

Droites non coplanaires Droites coplanaires
Aucun point d’intersection Droites strictement parallèles : aucun point d’intersection Droites sécantes : un seul point d’intersection
  • Quand deux droites ne sont pas sécantes, cela ne signifie pas qu’elles sont parallèles. Elles peuvent être non coplanaires.
  • Méthodologie pour déterminer si deux droites sont non coplanaires :
  • on repère deux points distincts sur chacune des deux droites ;
  • trois de ces points forment un plan que l’on peut identifier ;
  • on prouve que le quatrième point n’appartient pas à ce plan.
  • Pour prouver que deux droites sont coplanaires, on peut démontrer qu’elles sont sécantes, ou qu’elles sont parallèles.
  • Soit deux droites (d)=(A ;u)(d)=(A\ ;\, \vec u) et (d)=(B ;v)(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v).
  • (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs u\vec u et v\vec v sont colinéaires.
  • Si deux droites sont parallèles à une troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles.

Position relative de deux plans de E\mathcal E

  • Deux plans (P)(P) et (P)(P^{\prime}) de l’espace sont dans une des configurations suivantes.

Plans sécants Plans parallèles
Leur intersection est une droite Plans strictement parallèles : aucun point d’intersection Plans confondus
  • Pour montrer que deux plans distincts sont sécants, on trouve au moins un point d’intersection.
  • Si on en trouve deux, la droite d’intersection est alors la droite qui passe par ces deux points.
  • Si (P)(P^{\prime}) contient deux droites sécantes qui sont parallèles à un plan (P)(P), alors (P)(P^{\prime}) et (P)(P) sont parallèles.
  • Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls et non colinéaires, et AA et BB deux points de E\mathcal E.
  • Le plan (A ;u,v)(A\ ;\, \vec u,\,\vec v) et le plan (B ;u,v)(B\ ;\, \vec u,\,\vec v) sont parallèles.
  • Soit un plan (P)(P) de base (u,v)(\vec u,\,\vec v). Cette base est appelée direction du plan (P)(P).
  • Deux plans qui ont la même direction sont parallèles.
  • P=(A ;u,v)P=(A\ ;\, \vec u,\,\vec v) et P=(B ;u ,v )P^{\prime}=(B\ ;\, \overrightarrow{u^{\prime}\ },\,\overrightarrow{v^{\prime}\ }) sont parallèles si et seulement si u \overrightarrow{u^{\prime}\ } et v \overrightarrow{v^{\prime}\ } sont tous les deux des combinaisons linéaires de u\vec u et de v\vec v.