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Programme Lycée TleCours Enseignement scientifiqueModèles démographiques : comprendre l’évolution quantitative des populationsFiche de révision : Modèles démographiques : comprendre l’évolution quantitative des populationsModèles démographiques : comprendre l’évolution quantitative des populations
Modèle linéaire et modèle exponentiel
Modèle linéaire et modèle exponentiel
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Modèle linéaire |
Modèle exponentiel |
| On choisit le modèle linéaire si la variation absolue entre la valeur (effectif) $u_n$ d’un palier $n$ et la valeur $u_{n+1}$ du palier suivant $n+1$ est constante, ou peut être considérée comme constante, et égale à un nombre réel $r$ : $$u_{n+1}-u_n=r$$ | On choisit le modèle exponentiel si le taux d’évolution (ou variation relative) entre la valeur (effectif) $v_n$ d’un palier $n$ et la valeur $v_{n+1}$ du palier suivant $n+1$ est constant, ou peut être considéré comme constant, et égal à un nombre réel $t$ : $$\dfrac{v_{n+1}-v_n}{v_n}=t$$ On associe alors au taux d’évolution le coefficient multiplicateur, que l’on note $q$ : $$q=1+t\Leftrightarrow t=q-1$$ |
| On peut alors ajuster le nuage de points correspondant aux données par une droite. | On peut alors ajuster le nuage de points correspondant aux données par un modèle dit exponentiel. |
| La suite associée est arithmétique. Pour passer d'un terme $u_n$ au terme suivant $u_{n+1}$, on ajoute toujours le même nombre : la raison $r$ (soit la variation absolue). Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $$\begin{aligned} u_{n+1} &= u_n+r \\ u_n&=u_0+nr \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[où $u_0$ est la valeur initiale]}}} \end{aligned}$$ | La suite associée est géométrique. Pour passer d'un terme $v_n$ au terme suivant $v_{n+1}$, on multiplie toujours par le même nombre : la raison $q$ (soit le coefficient multiplicateur). Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= q\times v_n \\ v_n&=v_0\times q^n \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[où $v_0$ est la valeur initiale]}}} \end{aligned}$$ |
| Le signe de la raison $r$ nous donne le sens de variation de la suite :
• si $r=0$, la suite est constante, égale à $u_0$ ; • si $r>0$, la suite est strictement croissante et tendra vers $+\infty$ ; • si $r<0$, la suite est strictement décroissante et tendra vers $-\infty$. |
La valeur de la raison $q$ (et donc le signe du taux d’évolution) nous donne le sens de variation de la suite :
• si $q=1$ (soit $t=0$), la suite est constante, égale à $u_0$ ; • si $q>1$ (soit $t>0$), la suite est strictement croissante et tendra vers $+\infty$ ; • si $q<1$ (soit $t<0$), la suite est strictement décroissante et tendra vers $0$. |
| Pour déterminer la droite qui s’ajuste le mieux au nuage de points, nous effectuons une régression linéaire, au moyen d’un tableur ou d’une calculatrice.
Nous obtenons ainsi l’équation de la droite de régression, qui nous donne le terme général de la suite : $$\begin{aligned} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Droite de régression\ : }}}\purple y&=\green a\times x+\red b \\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{Terme général\ : }}}\purple {u_n}&=\green r \times n+\red{u_0} \end{aligned}$$ |
Pour déterminer la raison $q$ :
• si nous connaissons, en plus de la valeur initiale $v_0$, la valeur $v_{n_0}$ d’un rang $n_0$, on se sert de la formule explicite et de la calculatrice : $$q=\left(\dfrac{v_{n_0}}{v_0}\right)^{\frac 1{n_0}}$$ • si nous connaissons deux termes consécutifs $v_n$ et $v_{n+1}$, nous calculons le taux d’évolution et en déduisons la raison : $$t=\dfrac{v_{n+1}-v_n}{v_n} \Rightarrow q=1+t$$ • si nous connaissons le taux de natalité $t_\text{e}$ et le taux de mortalité $t_\text{d}$, nous calculons le taux d’évolution et en déduisons la raison : $$t=t_\text{e}-t_\text{d} \Rightarrow q=1+t$$ |
| Le modèle linéaire est peu adapté pour des études démographiques ; il est plutôt utilisé pour la modélisation de l’évolution de ressources. | Le modèle exponentiel est bien adapté pour des études démographiques, mais sur des périodes assez courtes : il perd sa pertinence à long terme. |
- Le graphe ci-dessous donne les représentations des différentes modélisations possibles possibles :
- Pour modéliser une évolution, nous utilisons la méthodologie suivante :
- on identifie le modèle le plus adapté ;
- on détermine ses paramètres ;
- on calcule les résultats donnés par le modèle choisi, on vérifie qu’ils sont cohérents avec les observations,
- s’il y a des écarts que l’on ne peut négliger, on l’ajuste, ou on restreint son domaine de validité ;
- on effectue des prévisions grâce au modèle ;
- on vérifie, au fil des nouvelles données réelles reçues, la validité du modèle,
- dès qu’un écart significatif est constaté, on ajuste le modèle, voire on le reprend complètement.
Interprétations
Interprétations
- Thomas Malthus, économiste britannique des XVIIIe et XIXe siècles, utilise le premier le modèle exponentiel pour étudier des évolutions démographiques. Il identifie notamment un déséquilibre entre la croissance exponentielle de la population qu’il prévoit et l’évolution linéaire des moyens de subsistance.
- Il propose d’agir sur la production de ressources et de réduire significativement la croissance démographique.
- Son modèle, efficace sur des périodes courtes, n’est toutefois plus valable à long terme.
- En 1838, un mathématicien belge, Pierre-François Verhulst propose un modèle où l’effectif d’une population tend à se stabiliser autour d’une valeur maximale. Ce modèle aussi rencontre ses limites.
- Aujourd’hui, des modèles beaucoup plus élaborés existent, mis à jour régulièrement et prenant en compte les évolutions des ressources, les conditions climatiques, les politiques nationales et internationales, etc.
- Ainsi, l’ONU prévoit une population d’environ dix milliards de personnes en 2050.