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Introduction :
En 5e, nous avons appris à additionner et à soustraire des nombres relatifs. Nous allons en 4e apprendre à les multiplier et à les diviser.
Un nombre relatif est formé d’un signe ou et d’un nombre appelé distance à zéro.
L’ensemble des nombres positifs (comportant un signe ) et des nombres négatifs (comportant un signe ) constitue l’ensemble des nombres relatifs.
L’opposé d’un nombre relatif est le même nombre mais avec le signe opposé. Par exemple, l’opposé de est . L’opposé de est .
Multiplication de nombres relatifs
Produit de deux nombres relatifs de même signe
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est un nombre relatif positif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.
s’écrit tout simplement
s’écrit plus simplement
Produit de deux nombres relatifs de signes contraires
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est un nombre relatif négatif.
La distance à zéro du produit est le produit des distances à zéro des deux nombres.
s’écrit plus simplement
s’écrit plus simplement
Cas particuliers
étant un nombre relatif :
étant un nombre relatif :
n’est pas toujours un nombre négatif.
Si alors
étant un nombre relatif :
Multiplication de plusieurs nombres relatifs différents de
Dans un produit de plusieurs facteurs :
On compte le nombre de facteurs négatifs :
Il y en a .
On effectue le produit des distances à zéro :
On compte le nombre de facteurs négatifs :
Il y en a .
Division de deux nombres relatifs
Définition du quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul
Quotient d’un nombre relatif :
Le quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul est le nombre par lequel il faut multiplier pour obtenir .
Le quotient de par est noté ou .
ou est le nombre qui multiplié par est égal à .
Comme alors
Quotient d’un nombre relatif par un nombre relatif non nul
et sont tous deux positifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule :
et sont tous deux négatifs et donc de même signe. Le résultat sera donc un nombre relatif positif.
On calcule :
et sont de signes opposés. Le résultat sera donc un nombre relatif négatif.
On calcule :
Le quotient d’un nombre relatif par est ce même nombre relatif.
Le quotient d'un nombre relatif par est l’opposé de ce nombre relatif.
Le quotient d’un nombre relatif non nul par lui-même est égal .
Le quotient d’un nombre relatif non nul par son opposé est égal .
Le quotient de par un nombre relatif non nul est égal .
Valeurs approchées du quotient de deux nombres relatifs et encadrements
On considère le quotient qui se note ou
La division de par ne s’arrête pas, cela signifie que le reste de la division ne sera jamais zéro.
Le quotient obtenu n’est pas un nombre décimal (un nombre décimal a une suite décimale limitée).
Le quotient obtenu est un nombre réel (un nombre réel peut avoir une suite décimale illimitée).
Nous pouvons par contre donner :
c’est un encadrement au dixième près de ;
c’est un encadrement au centième près de ;
est une valeur approchée par défaut au dixième près de ;
est une valeur approchée par excès au dixième près de ;
est une valeur approchée par défaut au centième près de ;
est une valeur approchée par excès au centième près de .
Méthode pour effectuer un calcul comportant les quatre opérations
On prend l’expression suivante :
Conclusion :
La règle des signes pour un quotient est identique à la règle des signes pour un produit.