Nombres complexes et trigonométrie

Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, que l’on appellera plan complexe.

Trigonométrie : formules d’addition et de duplication

Considérons un repère orthonormé $(0\ ;\, \vec{u},\, \vec{v})$ et deux vecteurs $\vec{s}$ et $\vec{t}$ de coordonnées respectives $\binom xy$ et $\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
Alors le produit scalaire $\vec{s}\cdot \vec{t}$ vaut :

$$\begin{aligned} \vec{s}\cdot \vec{t}&=xx^{\prime}+yy^{\prime} \\ &=\Vert \vec{s}\,\Vert \times \Vert\vec{t}\,\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{v})} \end{aligned}$$

Soit $a$ et $b$ deux réels.

Formules d’addition

$$\cos{(a-b)}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}$$

$$\cos(a+b)=\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)}\sin{(b)}$$

$$\sin{(a-b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}-\cos{(a)}\sin{(b)} $$

$$\sin{(a+b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}+\cos{(a)}\sin{(b)}$$

Formules de duplication

$$\begin{aligned} \cos{(2a)}&=\cos^2(a)-\sin^2(a) \\ &=1-2\sin^2(a) \\ &=2\cos^2(a)-1 \end{aligned}$$

$$\sin{(2a)}=2\cos{(a)}\sin{(a)}$$

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

Nous notons, pour tout $\theta$ réel :

$$\text{e}^{\text{i}\theta}=\cos{(\theta)}+\text{i}\sin{(\theta)}$$
Cas particuliers
$$\text{e}^{\text{i}0}=1$$	$$\text{e}^{\text{i}\frac \pi2}=\text i$$	$$\text{e}^{\text{i}\pi}=-1$$

Tout nombre complexe $z$ non nul peut s’écrire sous la forme :

$$\begin{aligned} &z=r \text{e}^{\text{i}\theta} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)\,[2\pi]}$)}}} \end{aligned}$$

Cette écriture est appelée écriture exponentielle de $z$.
Réciproquement, si on peut écrire $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$, avec $r$ un réel strictement positif, alors $r$ est le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.

$Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes trigonométrie écriture exponentielle$

Soit $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$ et $z^{\prime}=r^{\prime} \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}$ deux nombres complexes non nuls.
Soit $n$ et $k$ des entiers relatifs.

Propriétés
$$z\times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \times \text{e}^{\text{i}(\theta+\theta^{\prime})}$$
$$z^n=r^n \text{e}^{\text{i} n\theta}$$	$$\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}(\theta+2k \pi)}&=\text{e}^{\text{i} \theta} \\ \overline{(\text e^{\text i \theta})}&=\text e^{-\text i \theta} \end{aligned}$$
$$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\times \text{e}^{- \text{i} \theta}$$	$$\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \times \text{e}^{\text{i}( \theta-\theta^{\prime})}$$

Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe

Les trois formes d’un nombre complexe :

Forme algébrique d'un nombre complexe
$$z=a+\text{i}b$$	$a$ et $b$ réels
Permet de faire apparaître la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$

Forme trigonométrique d'un nombre complexe
$$z=r (\cos{(\theta)}+\text{i} \sin {(\theta))}$$	$r=\vert z\vert$ non nul et $\theta=\arg{(z)}$
Permet de faire apparaître le module et un argument de $z$

Forme exponentielle d'un nombre complexe
$$z=r \text{e}^{\text{i} \theta}$$	$r=\vert z\vert$ non nul et $\theta=\arg{(z)}$
Très utile pour les produits et les quotients de complexes

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, il faut déterminer le module $r$ et un argument $\theta$.
Généralement, on calcule d’abord le module $r$ :

$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$

On écrit ensuite le quotient $\frac zr$ :

$$\dfrac zr = \dfrac ar+\dfrac br \text{i}$$

On peut ainsi identifier les cosinus et sinus de $\theta$ :

$$\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{a}{r} \\ \sin{(\theta)}&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}$$

Et nous trouvons $\theta$.
Connaissant le module $r$ et un argument $\theta$, on écrit alors la forme voulue.
Pour passer de la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique, on passe, le cas échéant, par la forme trigonométrique et on calcule les valeurs exactes des sinus et cosinus :

$$\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=r \times \cos{(\theta)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \frak{Im}(z)&=r\times \sin{(\theta)} \end{aligned}$$

Formule de Moivre, formules d’Euler

Soit $\theta$ un réel et $n$ un entier relatif.

Formule de Moivre	Formule d’Euler
$${(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i} n \theta}$$	$$\cos{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2}$$
$$\big(\cos{(\theta)} + \text{i} \sin{(\theta)}\big)^n =\cos{(n\theta)} +\text{i} \sin{(n\theta)}$$	$$\sin{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2 \text{i}}$$

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