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Nombres complexes et trigonométrie

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  • Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), que l’on appellera plan complexe.

Trigonométrie : formules d’addition et de duplication

  • Considérons un repère orthonormé (0 ;u,v)(0\ ;\, \vec{u},\, \vec{v}) et deux vecteurs s\vec{s} et t\vec{t} de coordonnées respectives (xy)\binom xy et (xy)\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}.
  • Alors le produit scalaire st\vec{s}\cdot \vec{t} vaut :

st=xx+yy=s×t×cos(s,v)\begin{aligned} \vec{s}\cdot \vec{t}&=xx^{\prime}+yy^{\prime} \ &=\Vert \vec{s}\,\Vert \times \Vert\vec{t}\,\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{v})} \end{aligned}

  • Soit aa et bb deux réels.

Formules d’addition
cos(ab)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)\cos{(a-b)}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}
cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)\cos(a+b)=\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)}\sin{(b)}
sin(ab)=sin(a)cos(b)cos(a)sin(b)\sin{(a-b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}-\cos{(a)}\sin{(b)}
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)\sin{(a+b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}+\cos{(a)}\sin{(b)}
Formules de duplication
cos(2a)=cos2(a)sin2(a)=12sin2(a)=2cos2(a)1\begin{aligned} \cos{(2a)}&=\cos^2(a)-\sin^2(a) \ &=1-2\sin^2(a) \ &=2\cos^2(a)-1 \end{aligned}
sin(2a)=2cos(a)sin(a)\sin{(2a)}=2\cos{(a)}\sin{(a)}

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

  • Nous notons, pour tout θ\theta réel :

eiθ=cos(θ)+isin(θ)\text{e}^{\text{i}\theta}=\cos{(\theta)}+\text{i}\sin{(\theta)}
Cas particuliers
ei0=1\text{e}^{\text{i}0}=1 eiπ2=i\text{e}^{\text{i}\frac \pi2}=\text i eiπ=1\text{e}^{\text{i}\pi}=-1
  • Tout nombre complexe zz non nul peut s’écrire sous la forme :

z=reiθ(avec r=z et θ=arg(z)[2π])\begin{aligned} &z=r \text{e}^{\text{i}\theta} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(avec r=zr=\vert z\vert et $\theta=\arg{(z)\,[2\pi]}$)}}} \end{aligned}

  • Cette écriture est appelée écriture exponentielle de zz.
  • Réciproquement, si on peut écrire z=reiθz=r \text{e}^{\text{i}\theta}, avec rr un réel strictement positif, alors rr est le module de zz et θ\theta un argument de zz.

Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes trigonométrie écriture exponentielle

  • Soit z=reiθz=r \text{e}^{\text{i}\theta} et z=reiθz^{\prime}=r^{\prime} \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}} deux nombres complexes non nuls.
    Soit nn et kk des entiers relatifs.

Propriétés
z×z=r×r×ei(θ+θ)z\times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \times \text{e}^{\text{i}(\theta+\theta^{\prime})}
zn=rneinθz^n=r^n \text{e}^{\text{i} n\theta} ei(θ+2kπ)=eiθ(eiθ)=eiθ\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}(\theta+2k \pi)}&=\text{e}^{\text{i} \theta} \ \overline{(\text e^{\text i \theta})}&=\text e^{-\text i \theta} \end{aligned}
1z=1r×eiθ\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\times \text{e}^{- \text{i} \theta} zz=rr×ei(θθ)\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \times \text{e}^{\text{i}( \theta-\theta^{\prime})}

Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe

  • Les trois formes d’un nombre complexe :

Forme algébrique d'un nombre complexe
z=a+ibz=a+\text{i}b aa et bb réels
Permet de faire apparaître la partie réelle aa et la partie imaginaire bb
Forme trigonométrique d'un nombre complexe
z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r (\cos{(\theta)}+\text{i} \sin {(\theta))} r=zr=\vert z\vert non nul et θ=arg(z)\theta=\arg{(z)}
Permet de faire apparaître le module et un argument de zz
Forme exponentielle d'un nombre complexe
z=reiθz=r \text{e}^{\text{i} \theta} $r=\vert z\vert$ non nul et θ=arg(z)\theta=\arg{(z)}
Très utile pour les produits et les quotients de complexes
  • Soit zz un nombre complexe tel que z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des réels.
  • Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, il faut déterminer le module rr et un argument θ\theta.
  • Généralement, on calcule d’abord le module rr :

r=a2+b2r=\sqrt{a^2+b^2}

  • On écrit ensuite le quotient zr\frac zr :

zr=ar+bri\dfrac zr = \dfrac ar+\dfrac br \text{i}

  • On peut ainsi identifier les cosinus et sinus de θ\theta :

cos(θ)=arsin(θ)=br\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{a}{r} \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}

  • Et nous trouvons θ\theta.
  • Connaissant le module rr et un argument θ\theta, on écrit alors la forme voulue.
  • Pour passer de la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique, on passe, le cas échéant, par la forme trigonométrique et on calcule les valeurs exactes des sinus et cosinus :

Re(z)=r×cos(θ)et : Im(z)=r×sin(θ)\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=r \times \cos{(\theta)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \frak{Im}(z)&=r\times \sin{(\theta)} \end{aligned}

Formule de Moivre, formules d’Euler

  • Soit θ\theta un réel et nn un entier relatif.

Formule de Moivre Formule d’Euler
(eiθ)n=einθ{(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i} n \theta} cos(θ)=eiθ+eiθ2\cos{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2}
(cos(θ)+isin(θ))n=cos(nθ)+isin(nθ)\big(\cos{(\theta)} + \text{i} \sin{(\theta)}\big)^n =\cos{(n\theta)} +\text{i} \sin{(n\theta)} sin(θ)=eiθeiθ2i\sin{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2 \text{i}}