Tle Mathématiques Nombres complexes et trigonométrieFiche de révision : Nombres complexes et trigonométrie
Nombres complexes et trigonométrie
Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪
- Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, que l’on appellera plan complexe.
Trigonométrie : formules d’addition et de duplication
Trigonométrie : formules d’addition et de duplication
- Considérons un repère orthonormé $(0\ ;\, \vec{u},\, \vec{v})$ et deux vecteurs $\vec{s}$ et $\vec{t}$ de coordonnées respectives $\binom xy$ et $\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
- Alors le produit scalaire $\vec{s}\cdot \vec{t}$ vaut :
$$\begin{aligned} \vec{s}\cdot \vec{t}&=xx^{\prime}+yy^{\prime} \\ &=\Vert \vec{s}\,\Vert \times \Vert\vec{t}\,\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{v})} \end{aligned}$$
- Soit $a$ et $b$ deux réels.
| Formules d’addition |
| $$\cos{(a-b)}=\cos{(a)}\cos{(b)}+\sin{(a)}\sin{(b)}$$ |
| $$\cos(a+b)=\cos{(a)}\cos{(b)}-\sin{(a)}\sin{(b)}$$ |
| $$\sin{(a-b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}-\cos{(a)}\sin{(b)} $$ |
| $$\sin{(a+b)}=\sin{(a)}\cos{(b)}+\cos{(a)}\sin{(b)}$$ |
| Formules de duplication |
| $$\begin{aligned} \cos{(2a)}&=\cos^2(a)-\sin^2(a) \\ &=1-2\sin^2(a) \\ &=2\cos^2(a)-1 \end{aligned}$$ |
| $$\sin{(2a)}=2\cos{(a)}\sin{(a)}$$ |
Écriture exponentielle d’un nombre complexe
Écriture exponentielle d’un nombre complexe
- Nous notons, pour tout $\theta$ réel :
| $$\text{e}^{\text{i}\theta}=\cos{(\theta)}+\text{i}\sin{(\theta)}$$ | ||
| Cas particuliers | ||
| $$\text{e}^{\text{i}0}=1$$ | $$\text{e}^{\text{i}\frac \pi2}=\text i$$ | $$\text{e}^{\text{i}\pi}=-1$$ |
- Tout nombre complexe $z$ non nul peut s’écrire sous la forme :
$$\begin{aligned} &z=r \text{e}^{\text{i}\theta} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)\,[2\pi]}$)}}} \end{aligned}$$
- Cette écriture est appelée écriture exponentielle de $z$.
- Réciproquement, si on peut écrire $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$, avec $r$ un réel strictement positif, alors $r$ est le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.
- Soit $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$ et $z^{\prime}=r^{\prime} \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}$ deux nombres complexes non nuls.
Soit $n$ et $k$ des entiers relatifs.
| Propriétés | |
| $$z\times z^{\prime}=r \times r^{\prime} \times \text{e}^{\text{i}(\theta+\theta^{\prime})}$$ | |
| $$z^n=r^n \text{e}^{\text{i} n\theta}$$ | $$\begin{aligned} \text{e}^{\text{i}(\theta+2k \pi)}&=\text{e}^{\text{i} \theta} \\ \overline{(\text e^{\text i \theta})}&=\text e^{-\text i \theta} \end{aligned}$$ |
| $$\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\times \text{e}^{- \text{i} \theta}$$ | $$\dfrac{z}{z^{\prime}}=\dfrac{r}{r^{\prime}} \times \text{e}^{\text{i}( \theta-\theta^{\prime})}$$ |
Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe
Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe
- Les trois formes d’un nombre complexe :
| Forme algébrique d'un nombre complexe | |
| $$z=a+\text{i}b$$ | $a$ et $b$ réels |
| Permet de faire apparaître la partie réelle $a$ et la partie imaginaire $b$ | |
| Forme trigonométrique d'un nombre complexe | |
| $$z=r (\cos{(\theta)}+\text{i} \sin {(\theta))}$$ | $r=\vert z\vert$ non nul et $\theta=\arg{(z)}$ |
| Permet de faire apparaître le module et un argument de $z$ | |
| Forme exponentielle d'un nombre complexe | |
| $$z=r \text{e}^{\text{i} \theta}$$ | $r=\vert z\vert$ non nul et $\theta=\arg{(z)}$ |
| Très utile pour les produits et les quotients de complexes | |
- Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
- Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, il faut déterminer le module $r$ et un argument $\theta$.
- Généralement, on calcule d’abord le module $r$ :
$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$
- On écrit ensuite le quotient $\frac zr$ :
$$\dfrac zr = \dfrac ar+\dfrac br \text{i}$$
- On peut ainsi identifier les cosinus et sinus de $\theta$ :
$$\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{a}{r} \\ \sin{(\theta)}&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}$$
- Et nous trouvons $\theta$.
- Connaissant le module $r$ et un argument $\theta$, on écrit alors la forme voulue.
- Pour passer de la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique, on passe, le cas échéant, par la forme trigonométrique et on calcule les valeurs exactes des sinus et cosinus :
$$\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=r \times \cos{(\theta)} \\ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \frak{Im}(z)&=r\times \sin{(\theta)} \end{aligned}$$
Formule de Moivre, formules d’Euler
Formule de Moivre, formules d’Euler
- Soit $\theta$ un réel et $n$ un entier relatif.
| Formule de Moivre | Formule d’Euler |
| $${(\text{e}^{\text{i}\theta})}^n=\text{e}^{\text{i} n \theta}$$ | $$\cos{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}+\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2}$$ |
| $$\big(\cos{(\theta)} + \text{i} \sin{(\theta)}\big)^n =\cos{(n\theta)} +\text{i} \sin{(n\theta)}$$ | $$\sin{(\theta)}=\dfrac{\text{e}^{\text{i}\theta}-\text{e}^{-\text{i}\theta}}{2 \text{i}}$$ |