Fiche de révision : Nombres complexes et trigonométrie

• Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct $(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v})$, que l’on appellera plan complexe.

Trigonométrie : formules d’addition et de duplication

• Considérons un repère orthonormé $(0\ ;\, \vec{u},\, \vec{v})$ et deux vecteurs $\vec{s}$ et $\vec{t}$ de coordonnées respectives $\binom xy$ et $\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
• Alors le produit scalaire $\vec{s}\cdot \vec{t}$ vaut :

$\begin{aligned} \vec{s}\cdot \vec{t}&=xx^{\prime}+yy^{\prime} \ &=\Vert \vec{s}\,\Vert \times \Vert\vec{t}\,\Vert \times \cos{(\vec{s},\,\vec{v})} \end{aligned}$

• Soit $a$ et $b$ deux réels.

Écriture exponentielle d’un nombre complexe

• Nous notons, pour tout $\theta$ réel :

• Tout nombre complexe $z$ non nul peut s’écrire sous la forme :

$\begin{aligned} &z=r \text{e}^{\text{i}\theta} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{(avec$$r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)\,[2\pi]}$)}}} \end{aligned}

• Cette écriture est appelée écriture exponentielle de $z$.
• Réciproquement, si on peut écrire $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$, avec $r$ un réel strictement positif, alors $r$ est le module de $z$ et $\theta$ un argument de $z$.

• Soit $z=r \text{e}^{\text{i}\theta}$ et $z^{\prime}=r^{\prime} \text{e}^{\text{i}\theta^{\prime}}$ deux nombres complexes non nuls.
  Soit $n$ et $k$ des entiers relatifs.

Passage d’une écriture à l’autre pour un même nombre complexe

• Les trois formes d’un nombre complexe :

• Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
• Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ou exponentielle, il faut déterminer le module $r$ et un argument $\theta$.
• Généralement, on calcule d’abord le module $r$ :

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

• On écrit ensuite le quotient $\frac zr$ :

$\dfrac zr = \dfrac ar+\dfrac br \text{i}$

• On peut ainsi identifier les cosinus et sinus de $\theta$ :

$\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{a}{r} \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{b}{r} \end{aligned}$

• Et nous trouvons $\theta$.
• Connaissant le module $r$ et un argument $\theta$, on écrit alors la forme voulue.
• Pour passer de la forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique, on passe, le cas échéant, par la forme trigonométrique et on calcule les valeurs exactes des sinus et cosinus :

$\begin{aligned} \mathfrak {Re}(z)&=r \times \cos{(\theta)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \frak{Im}(z)&=r\times \sin{(\theta)} \end{aligned}$

Formule de Moivre, formules d’Euler

• Soit $\theta$ un réel et $n$ un entier relatif.