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Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons introduire les nombres complexes qui constituent un nouvel ensemble de nombres. Cet ensemble a été introduit au XVIe siècle pour résoudre des équations du troisième degré. Les nombres complexes interviennent aujourd’hui dans de nombreux domaines scientifiques.

Ce cours a pour but de définir ce nouvel ensemble de nombres et certaines propriétés liées à l’écriture algébrique des nombres complexes.
Nous découvrirons notamment comment résoudre des équations simples dans ce nouvel ensemble.

L’ensemble des nombres complexes

Définitions et propriétés

Commençons par définir ce nouvel ensemble que constituent les nombres complexes.

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Définition

Ensemble des nombres complexes :

On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C\mathbb{C}, qui possède les propriétés suivantes :

  • C\mathbb{C} contient l’ensemble des nombres réels, autrement dit : RC\mathbb{R}\subset \mathbb{C} ;
  • C\mathbb{C} est muni d’une addition qui prolonge celle de R\mathbb{R}, avec les mêmes propriétés ;
  • C\mathbb{C} est muni d’une multiplication qui prolonge celle de R\mathbb{R}, avec les mêmes propriétés ;
  • C\mathbb{C} contient un élément noté i\text{i} tel que i2=1\text{i}^2=-1 ;
  • Pour tout élément zz de C\mathbb{C}, il existe un unique couple de réels (a ;b)(a\ ;\, b) tel que z=a+ibz=a +\text{i}b.

Donnons quelques premiers exemples, très simples.

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Exemple

  • 4+2i4+2 \text{i} est un nombre complexe, avec a=4a=4 et b=2b=2.
  • 5i5\text{i} est un nombre complexe, avec a=0a=0 et b=5b=5.
  • Les nombres 2-2, 00, 77, 2\sqrt{2} sont des nombres réels, mais, comme RC\mathbb{R}\subset\mathbb{C}, ce sont aussi des nombres complexes !

Dans ce cours, nous nous intéressons plus particulièrement à la forme algébrique des nombres complexes.

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Définition

Forme algébrique d’un nombre complexe :

L’écriture d’un nombre complexe zz sous la forme z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux nombres réels, est appelée forme algébrique de zz.

  • aa est appelé partie réelle de zz, notée Re(z)=a\mathfrak{Re}(z)=a ;
  • bb est appelé partie imaginaire de zz , notée Im(z)=b\mathfrak{Im}(z)=b.

Faisons ici une remarque importante.

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À retenir

Les parties réelle et imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
Par exemple, la partie imaginaire de z=63iz=6-3\text i est Im(z)=3\mathfrak{Im}(z)=-3 : il faut tenir compte du signe et ne pas y inclure le i\text{i}.

Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
Par exemple, le complexe z=2iz=2\text i a pour partie réelle Re(z)=0\mathfrak{Re}(z)=0 et pour partie imaginaire Im(z)=2\mathfrak{Im}(z)=2.

Soit zz un nombre complexe tel que z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux nombres réels.

  • Si Im(z)=0\mathfrak{Im}(z)=0, alors zz est un nombre réel.
  • Si Re(z)=0\mathfrak{Re}(z)=0, alors zz est un imaginaire pur.

Remarquons que le complexe z=0z=0 est l’unique complexe qui est à la fois réel (car Im(z)=0\mathfrak{Im}(z)=0) et imaginaire pur (car Re(z)=0\mathfrak{Re}(z)=0).

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Propriété

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes tel que z=a+ibz=a+\text{i}b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa, bb, aa^{\prime} et bb^{\prime} des nombres réels.
Alors z=zz=z^{\prime} si et seulement si a=aa=a^{\prime} et b=bb=b^{\prime}.

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Attention

Il est impossible de comparer deux nombres complexes, en effet z<zz n’a pas de sens.

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À retenir

  • L’égalité entre deux nombres complexes implique que leurs parties réelles sont égales et que leurs parties imaginaires sont aussi égales.
  • Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
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Exemple

Soit z=3i4z=3\text{i}-4 et z=3iz^{\prime}=3 \text{i}.
Alors zz et zz^{\prime} sont deux nombres complexes différents, car leurs parties réelles sont différentes.

  • En effet, Re(z)=4\mathfrak{Re}(z)=-4 et Re(z)=0\mathfrak{Re}(z^{\prime})=0.

On remarque aussi que zz^{\prime} est un imaginaire pur puisque sa partie réelle est nulle.

Opérations dans C\mathbb{C}

Nous l’avons dit dans la définition initiale, C\mathbb C est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles dans R\mathbb R.

  • Nous en tirons donc les propriétés suivantes.
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Propriété

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes tel que z=a+ibz=a+\text{i}b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa, bb, aa^{\prime} et bb^{\prime} des nombres réels.
Nous avons alors :

z+z=(a+a)+i(b+b)zz=(aabb)+i(ab+ab)\begin{aligned} z+z^{\prime}&=(a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime}) \ zz^{\prime}&=(aa^{\prime}-bb^{\prime})+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b) \end{aligned}

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Démonstration

Les règles de calcul sur l’addition et la multiplication étant les mêmes que pour l’ensemble des réels, nous avons :

z+z=(a+ib)+(a+ib)=a+ib+a+ib=(a+a)+i(b+b)zz=(a+ib)×(a+ib)=aa+aib+iba+i2bb=aa+i(ab+ab)bb [car i2=1]=(aabb)+i(ab+ab)\begin{aligned} z+z^{\prime}&=(a+\text{i}b)+(a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}) \ &=a+\text{i}b+a^{\prime}+\text{i}b^{\prime} \ &=(a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime}) \ \ zz^{\prime}&=(a+\text{i}b)\times(a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}) \ &=aa^{\prime}+a\text{i}b^{\prime}+\text{i}ba^{\prime}+\text i^2bb^{\prime} \ &=aa^{\prime}+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)-bb^{\prime} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car i$^2=-1$]}}} \ &=(aa^{\prime}-bb^{\prime})+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b) \end{aligned}

Comme pour les nombres réels, nous pouvons définir l’opposé d’un nombre complexe et l’inverse d’un nombre complexe non nul.

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Définition

Opposé d’un nombre complexe :

Pour tout nombre complexe zz, il existe un unique complexe zz^{\prime} tel que z+z=0z+z^{\prime}=0.

  • zz^{\prime} est appelé opposé de zz, on le note z=zz^{\prime}=-z.
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Propriété

Si z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des réels, alors :

z=a+i(b)=aib\begin{aligned} -z&=-a+\text{i} (-b) \ &=-a-\text{i}b \end{aligned}

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Démonstration

Posons z=a+ibz=a+\text ib et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa, bb, aa^{\prime} et bb^{\prime} des réels. Alors :

z+z=0(a+a)+i(b+b)=0z+z^{\prime}=0\Leftrightarrow (a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime})=0

Les parties réelle et imaginaire de z+zz+z^{\prime} doivent être nulles, donc : a+a=0a+a^{\prime}=0 et b+b=0b+b^{\prime}=0.

  • Soit : a=aa^{\prime}=-a et b=bb^{\prime}=-b.
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Définition

Inverse d’un complexe :

Pour tout nombre complexe zz non nul, il existe un unique complexe zz^{\prime} tel que zz=1zz^{\prime}=1.

  • zz^{\prime} est appelé inverse de zz, on le note z=1zz^{\prime}=\frac 1z.
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Propriété

Si z=a+ibz=a+\text ib, avec aa et bb des réels, alors :

1z=aiba2+b2\dfrac 1z=\dfrac{a-\text{i}b}{a^2+b^2}

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Démonstration

Posons z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa, bb des réels non tous les deux nuls. Alors :

1z=1a+ib=aib(a+ib)×(aib)=aiba2(ib)2 [les identiteˊs remarquables sont valables dans C]=aiba2+b2 [car i2=1]\begin{aligned} \dfrac 1z&=\dfrac 1{a+\text{i}b} \ &=\dfrac {a-\text{i}b}{(a+\text{i}b)\times(a-\text{i}b)} \ &=\dfrac{a-\text{i}b}{a^2-(\text{i}b)^2} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [les identités remarquables sont valables dans C\mathbb C]}}} \ &=\dfrac{a-\text{i}b}{a^2+b^2} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car i$^2=-1$]}}} \end{aligned}

  • Nous avons ici multiplié le numérateur et le dénominateur par le conjugué de ce dernier. Nous découvrirons plus loin combien cette « technique » est utile.

Nous allons prendre quelques exemples d’opération.

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Exemple

Posons z1=4+2iz1=4+2 \text{i} et z2=35iz2=3-5 \text{i}.

  • Nous avons alors :

z1+z2=(4+3)+i(25)=73iz1z2=(4×32×(5))+i(4×(5)+2×3)=2214iz1=42i1z1=42i42+22=42i20=15110i\begin{aligned} z1+z2&=(4+3)+\text{i}(2-5) \ &=7-3 \text{i} \ \ z1z2&=\big(4\times 3-2\times(-5)\big)+\text{i}\big(4\times (-5)+2\times 3\big) \ &=22-14 \text{i} \ \ -z1&=-4-2 \text{i}\ \ \dfrac 1{z1}&=\dfrac{4-2 \text{i}}{4^2+2^2} \ &=\dfrac{4-2 \text{i}}{20} \ &=\dfrac 15 -\dfrac 1{10} \text{i} \end{aligned}

  • Là aussi, nous avons multiplié le numérateur et le dénominateur par le conjugué de ce dernier. Nous découvrirons plus loin combien cette « technique » est utile.

Donnons maintenant quelques propriétés qui vont utiliser les définitions ci-dessus.

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Propriété

zz et zz^{\prime} sont deux nombres complexes tel que z=a+ibz=a+\text{i}b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa, bb, aa^{\prime} et bb^{\prime} des réels.
Nous avons alors :

zz=(aa)+i(bb)z-z^{\prime}=(a-a^{\prime})+\text{i}(b-b^{\prime})

Si de plus zz^{\prime} est non nul, alors :

zz=z×1z\dfrac z{z^{\prime}}=z\times \dfrac 1{z^{\prime}}

Les sommes et soustractions de complexes se calculent simplement avec les complexes sous forme algébrique.
Les produits et quotients de complexes demandent plus de vigilance dans les calculs, en utilisant les propriétés de la distributivité.

  • Dans ces cas, nous verrons que la forme algébrique n’est pas la plus efficace, les cours suivants présenteront d’autres formes d’écriture des complexes, qui y sont plus adaptés.

Conjugué d’un nombre complexe

Nous allons dans cette partie introduire un nombre complexe que l’on appelle le conjugué. Il est particulièrement utilisé en géométrie.

Définition

Avant de découvrir les propriétés, utiles, du conjugué, commençons par définir simplement cette notion.

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Définition

Conjugué de zz :

Soit zz un nombre complexe tel que z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux réels.
Alors le conjugué de zz est le nombre complexe zˉ=aib\bar{z}= a -\text{i}b.

Illustrons par des exemples simples cette définition.

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Exemple

  • z1=4+2iz1=4+2 \text{i} a pour conjugué z1=42i\overline{z1}=4-2 \text{i}.
  • z2=3i+2z2=-3 \text{i}+2 a pour conjugué z2=3i+2\overline{z2}=3 \text{i}+2.
  • z3=5+6iz3=-5+6\text{i} a pour conjugué z3=56i\overline{z3}=-5-6\text{i}.

Propriétés

Considérons un nombre complexe z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux nombres réels.

  • Si zz est un réel, alors b=0b=0 et z=az=a.
  • zˉ=a=z\bar z = a = z.
  • Si zz est un imaginaire pur, alors a=0a=0 et z=ibz=\text{i}b.
  • zˉ=ib=z\bar z = -\text{i}b = -z.

Nous avons ainsi le théorème suivant.

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Théorème

Soit zz un nombre complexe :

  • zz est un réel si et seulement si z=zˉz=\bar{z} ;
  • zz est un imaginaire pur si et seulement si z=zˉz=-\bar{z}.

Nous avons aussi les propriétés suivantes.

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Propriété

Pour tout nombre complexe zz, on a :

z+zˉ=2Re(z)zzˉ=2iIm(z)z=z\begin{aligned} z+\bar{z}&=2\, \mathfrak{Re}(z) \ z-\bar{z}&=2 \text{i}\, \mathfrak{Im}(z) \ \overline{\overline{z}}&=z \end{aligned}

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Démonstration

En effet , posons z=a+ibz=a+\text ib, avec aa et bb des réels.

  • Nous avons alors :

z+zˉ=a+ib+aib=2a=2Re(z)\begin{aligned} z+\bar{z}&=a+\text{i}b+a-\text{i}b \ &=2a \ &=2\,\mathfrak{Re}(z) \end{aligned}

  • Nous avons ensuite :

zzˉ=a+ib(aib)=a+iba+ib=2ib=2iIm(z)\begin{aligned} z-\bar{z}&=a+\text{i}b-(a-\text{i}b) \ &=a+\text{i}b-a+\text{i}b \ &=2 \text{i}b \ &=2 \text{i}\, \mathfrak{Im}(z) \end{aligned}

  • Et enfin :

z=aib=a+ib=z\begin{aligned} \overline{\overline{z}}&=\overline{a-\text{i}b} \ &=a+\text{i}b \ &=z \end{aligned}

Continuons à donner les propriétés du conjugué d’un nombre complexe.
Là encore, nous en donnerons les démonstrations ensuite.

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Propriété

  • Pour tous nombres complexes zz et zz^{\prime}, on a :

z=zˉz+z=zˉ+zz×z=zˉ×z\begin{aligned} \overline{-z}&=-\bar{z} \ \overline{z+z^{\prime}}&=\bar{z}+\overline{z^{\prime}} \ \overline{z\times z^{\prime}}&=\bar{z}\times \overline{z^{\prime}} \end{aligned}

  • Pour tout entier naturel nn :

zn=(zˉ)n\overline{z^n}=(\bar{z})^n

  • Si de plus z0z\neq 0 :

(1z)=1zˉ(zz)=zzˉ\begin{aligned} \overline{\left(\dfrac 1z\right)}&=\dfrac 1{\bar{z}} \ \overline{\left(\dfrac{z^{\prime}}z\right)}&=\dfrac{\overline{z^{\prime}}}{\bar{z}} \end{aligned}

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Démonstration

En effet, posons z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des réels, et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa^{\prime} et bb^{\prime} des réels.

  • Commençons par démontrer les trois premières formules :

z=(a+ib)=aib=a+ib=(aib)=zˉz+z=(a+ib)+(a+ib)=a+a+i(b+b)=a+ai(b+b)=aib+aib=zˉ+zD’une part : z×z=aabb+i(ab+ab)[en utilisant la proprieˊteˊ du produit]=aabbi(ab+ab)D’autre part : zˉ×z=(a+ib)×(a+ib)=(aib)×(aib)=aaaibiba+i2bb=aabbi(ab+ab)Donc : z×z=zˉ×z\begin{aligned} \overline{-z}&=\overline{-(a+\text{i}b)} \ &=\overline{-a-\text{i}b} \ &=-a+\text{i}b \ &=-(a-\text{i}b) \ &=-\bar{z} \ \ \overline{z+z^{\prime}}&=\overline{(a+\text{i}b)+(a^{\prime}+\text{i}b^{\prime})} \ &=\overline{a+a^{\prime}+\text{i}(b+b^{\prime})} \ &=a+a^{\prime}-\text{i}(b+b^{\prime}) \ &=a-\text ib+a^{\prime}-\text{i}b^{\prime} \ &=\bar{z}+\overline{z^{\prime}} \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’une part\ :\ }}\overline{z\times z^{\prime}}&=\overline{aa^{\prime}-bb^{\prime}+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[en utilisant la propriété du produit]}}} \ &=\green{aa^{\prime}-bb^{\prime}-\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{D’autre part\ :\ }} \bar z \times \overline{z^{\prime}}&=(\overline{a+\text{i}b})\times (\overline{a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}}) \ &=(a-\text{i}b)\times (a^{\prime}-\text{i}b^{\prime}) \ &=aa^{\prime}-a\text i b^\prime -\text i b a^\prime+\text i^2bb^\prime \ &=\green{aa^{\prime}-bb^{\prime}-\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}\overline{z\times z^{\prime}}&=\bar{z}\times \overline{z^{\prime}} \end{aligned}

  • Démontrons par récurrence la propriété PnP_n suivante : « Pour tout entier naturel nn, zn=(zˉ)n\overline{z^n}=(\bar{z})^n ».

Initialisation :

Pour n=0n=0, nous avons :

z0=(a+ib)0=1et : (zˉ)0=(aib)0=1Donc : z0=(zˉ)0\begin{aligned} \overline{z^0}&= \overline{(a+\text{i}b)^0} \ &=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }}(\bar{z})^0&=(a-\text{i}b)^0 \ &=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }}\overline{z^0}&=(\bar{z})^0 \end{aligned}

  • P0P_0 est vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un rang kk (entier naturel) tel que PkP_k est vraie :

  • zk=(zˉ)k\overline{z^k}=(\bar{z})^k.

Montrons que cela implique que Pk+1P_{k+1} est aussi vraie.

  • C’est-à-dire : zk+1=(zˉ)k+1\overline{z^{k+1}}=(\bar{z})^{k+1}.

Nous avons :

zk+1=zk×z=zk×zˉ=(zˉ)k×zˉ [par hypotheˋse de reˊcurrence]=(zˉ)k+1\begin{aligned} \overline{z^{k+1}}&=\overline {z^k\times z} \ &=\overline {z^k} \times \bar z \ &=(\bar{z})^k \times \bar{z} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par hypothèse de récurrence]}}} \ &=(\bar{z})^{k+1} \end{aligned}

  • Si PkPk est vraie, alors Pk+1P{k+1} est vraie.

Conclusion :

Nous avons montré que la propriété était vraie au rang 00, et nous avons démontré qu’elle était héréditaire à partir de n=0n=0.

  • La propriété PnP_n est vraie pour tout entier naturel nn.
  • Supposons de plus que z0z \neq 0, alors :

z×1z=1Donc : z×1z=1ˉ=1et : z×1z=zˉ×(1z)=1\begin{aligned} z \times \dfrac 1z&=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} \overline{z \times \dfrac 1z} &=\bar{1} \ &=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \overline{z \times \dfrac 1z} &=\green{\bar{z} \times \overline{\left(\dfrac 1z\right)}=1} \end{aligned}

Ainsi, (1z)\overline{\left(\frac 1z\right)} est l’inverse de zˉ\bar z.

  • Nous avons donc :

(1z)=1zˉ\overline{\left(\dfrac 1z\right)} =\dfrac 1{\bar{z}}

  • De même, toujours en supposant z0z \neq 0 :

(zz)=z×1z=z×(1z)=z×1zˉ=zzˉ\begin{aligned} \overline{\left(\dfrac {z^{\prime}}z\right)} &=\overline{z^{\prime}\times \dfrac 1z} \ &=\overline{z^{\prime}}\times \overline{\left(\dfrac 1z\right)} \ &=\overline{z^{\prime}}\times \dfrac 1{\bar{z}} \ &=\dfrac {\overline {z^{\prime}}}{\bar{z}} \end{aligned}

L’utilisation du conjugué d’un complexe est fréquente lors de la manipulation des nombres complexes.

  • On remarquera notamment que le produit zzˉz\bar{z} est toujours un nombre réel positif (ou nul).
bannière à retenir

À retenir

En effet, en posant z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels :

zzˉ=(a+ib)×(aib)=a2(ib)2=a2+b20\begin{aligned} z\bar{z}&=(a+\text{i}b)\times(a-\text{i}b) \ &=a^2-(\text{i}b)^2 \ &=a^2+b^2 \ &\geq 0 \end{aligned}

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Astuce

Cette propriété est bien utile lorsque l’on a un complexe écrit sous la forme de quotient de complexes ; nous nous en sommes déjà servis plusieurs fois.
Ainsi, pour en déduire sa forme algébrique, il faut pouvoir séparer la partie réelle et la partie imaginaire, et, pour cela, il faut que le dénominateur soit un nombre réel, une solution rapide et efficace consiste à multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Nous allons continuer à en avoir des exemples dans la partie suivante.

Résolution d’équations dans C\mathbb C

Dans cette partie, nous allons apprendre, au travers d’exemples, à résoudre des premières équations, simples, dans C\mathbb C.

Résolution d’équations du premier degré comprenant uniquement zz dans C\mathbb C

bannière à retenir

À retenir

  • Pour résoudre une équation du premier degré ne comportant que zz, il faut comme dans le cas d’équations dans R\mathbb R, isoler zz.
  • Pour avoir la forme algébrique de zz, si on obtient un quotient de complexes, il faut multiplier ce quotient au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.
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Exemple

  • Résolvons dans C\mathbb C l’équation : 3z4=2i+33z-4=2\text{i}+3

3z4=2i+3 3z=2i+3+43z=2i+7z=2i+73=73+23i\begin{aligned} \begin{aligned}3z-4=2\text{i}+3\ \end{aligned}&\begin{aligned}\Leftrightarrow 3z=2\text{i}+3+4\end{aligned} \ &\begin{aligned}\Leftrightarrow 3z=2\text i+7\end{aligned} \ &\begin{aligned} \Leftrightarrow z&=\dfrac{2\text i+7}3 \ &=\dfrac 73 + \dfrac 23 \text i \end{aligned} \end{aligned}

  • La solution dans C\mathbb C est :

z=73+23iz=\dfrac 73 + \dfrac 23 \text{i}

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Exemple

  • Résolvons dans C\mathbb C l’équation : 4z+i=iz34z+\text{i}=\text{i}z-3 :

4z+i=iz34ziz=i3z(4i)=3iz=3i4i\begin{aligned} 4z+\text{i}=\text{i}z-3 &\Leftrightarrow 4z-\text{i}z=-\text{i}-3 \ &\Leftrightarrow z(4-\text{i})=-3-\text{i} \ &\Leftrightarrow z=\dfrac{-3-\text i}{4-\text i} \end{aligned}

Pour exprimer zz sous forme algébrique, on multiplie le quotient de droite au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur :

z=(3i)×(4+i)(4i)×(4+i)=123i4ii242i2=123i4i+116+1=117i17=1117717i\begin{aligned} z&=\dfrac{(-3-\text{i})\times (4+\text{i})}{(4-\text{i})\times (4+\text{i})} \ &=\dfrac{-12-3\text{i}-4\text{i}-\text i^2}{4^2 -\text{i}^2} \ &=\dfrac{-12-3\text{i}-4\text{i}+1}{16 +1} \ &=\dfrac{-11-7\text{i}}{17} \ &=-\dfrac {11}{17} - \dfrac7{17} \text{i} \end{aligned}

  • La solution dans C\mathbb C est :

z=1117717iz=-\dfrac {11}{17} - \dfrac7{17} \text{i}

bannière exemple

Exemple

  • Résolvons dans C\mathbb C l’équation :
    4z2iz=2+i\dfrac {4z}{2\text i-z}=2+\text i

4z2iz=2+i4z=(2+i)(2iz)4z=4i2z2iz4z+2z+iz=4i2z(6+i)=4i2z=2+4i6+i\begin{aligned} \dfrac {4z}{2\text i-z}=2+\text i&\Leftrightarrow 4z=(2+\text{i})(2\text{i}-z) \ &\Leftrightarrow 4z=4\text{i}-2z-2-\text{i}z \ &\Leftrightarrow 4z+2z+\text{i}z=4\text{i}-2 \ &\Leftrightarrow z(6+\text{i})=4\text{i}-2 \ &\Leftrightarrow z=\dfrac{-2+4\text{i}}{6+\text{i}} \end{aligned}

Ici aussi, nous allons utiliser le conjugué du dénominateur :

z=(2+4i)×(6i)(6+i)×(6i)=12+2i+24i+462i2=8+26i37=837+2637i\begin{aligned} z&=\dfrac{(-2+4 \text{i})\times (6-\text{i})}{(6+\text{i})\times (6-\text{i})} \ &=\dfrac{-12+2 \text{i}+24 \text{i}+4}{6^2-\text{i}^2} \ &=\dfrac{-8+26 \text{i}}{37} \ &=-\dfrac 8{37} + \dfrac{26}{37} \text{i} \end{aligned}

  • La solution dans C\mathbb C est :

z=837+2637iz=-\dfrac 8{37} + \dfrac{26}{37} \text{i}

Résolution d’équations avec zˉ\bar{z} dans C\mathbb C

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À retenir

  • Pour résoudre une équation du premier degré comportant zz et zˉ\bar{z}, il faut remplacer zz et zˉ\bar{z} par a+iba+\text{i}b et aiba-\text{i}b, avec aa et bb des réels.
  • On séparera dans l’expression obtenue les parties réelles et les parties imaginaires afin de déterminer les valeurs possibles pour aa et bb.
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Exemple

  • Résolvons dans C\mathbb C l’équation : z4zˉ=7iz-4\bar z=7-\text{i}.

Posons z=a+ibz=a+\text ib, avec aa et bb des réels.
Donc zˉ=aib\bar{z}=a-\text{i}b et l’équation devient :

a+ib4(aib)=7ia+ib4a+4ib=7i3a+5ib=7i\begin{aligned} a+\text{i}b-4(a-\text{i}b)=7-\text{i} &\Leftrightarrow a+\text{i}b-4a+4 \text{i}b=7-\text{i} \ &\Leftrightarrow -3a+5 \text{i}b=7-\text{i} \end{aligned}

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
Nous avons ainsi :

{3a=75b=1{a=73b=15\begin{cases} -3a=7 \ 5b=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} a=-\frac 73 \ b=-\frac 15 \end{cases}

  • L’unique solution est :

z=7315iz=-\dfrac 73 -\dfrac 15 \text{i}

bannière exemple

Exemple

  • Résolvons dans C\mathbb C l’équation : 3z=izˉ+5i13z=\text{i}\bar z+5 \text{i}-1.

Posons z=a+ibz=a+\text ib, avec aa et bb des réels.
Donc zˉ=aib\bar{z}=a-\text{i}b et l’équation devient :

3(a+ib)=i(aib)+5i13a+3ib=ia+b+5i13a+3ib=(b1)+i(a+5)\begin{aligned} 3(a+\text{i}b)=\text{i}(a-\text{i}b)+5 \text{i}-1 &\Leftrightarrow 3a+3 \text{i}b=\text{i}a+b+5 \text{i}-1 \ &\Leftrightarrow 3a+3 \text{i}b=(b-1) + \text{i}(a+5) \end{aligned}

Isolons les parties réelles et imaginaires de part et d’autre de l’égalité, et nous obtenons un système de 22 équations à 22 inconnues à résoudre dans R\mathbb R :

{3a=b13b=a+5{b=3a+13b=a+5{b=3a+13(3a+1)=a+5{b=3a+19a+3=a+5{b=3a+19aa=53{b=3a+18a=2{b=3a+1a=14{b=34+1=74a=14\begin{aligned} \begin{cases} 3a=b-1 \ 3b=a + 5 \end{cases} &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ 3b=a+5 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ 3(3a+1)=a+5 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ 9a+3=a+5 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ 9a-a=5-3 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ 8a=2 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=3a+1 \ a=\frac 14 \end{cases} \ &\Leftrightarrow \begin{cases} b=\frac 34+1=\frac 74 \ a=\frac 14 \end{cases} \end{aligned}