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Les nombres complexes d'un point de vue algébrique
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Introduction :
Dans ce cours, nous allons introduire les nombres complexes qui constituent un nouvel ensemble de nombres. Cet ensemble a été introduit au XVIe siècle pour résoudre des équations du troisième degré. Les nombres complexes interviennent aujourd’hui dans de nombreux domaines scientifiques.
Ce cours a pour but de définir ce nouvel ensemble de nombres et certaines propriétés liées à l’écriture algébrique des nombres complexes.
Nous découvrirons notamment comment résoudre des équations simples dans ce nouvel ensemble.
L’ensemble des nombres complexes
Définitions et propriétés
Commençons par définir ce nouvel ensemble que constituent les nombres complexes.
Ensemble des nombres complexes :
On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté , qui possède les propriétés suivantes :
Donnons quelques premiers exemples, très simples.
Dans ce cours, nous nous intéressons plus particulièrement à la forme algébrique des nombres complexes.
Forme algébrique d’un nombre complexe :
L’écriture d’un nombre complexe sous la forme , avec et deux nombres réels, est appelée forme algébrique de .
Faisons ici une remarque importante.
Les parties réelle et imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.
Par exemple, la partie imaginaire de est : il faut tenir compte du signe et ne pas y inclure le .
Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
Par exemple, le complexe a pour partie réelle et pour partie imaginaire .
Soit un nombre complexe tel que , avec et deux nombres réels.
Remarquons que le complexe est l’unique complexe qui est à la fois réel (car ) et imaginaire pur (car ).
Soit et deux nombres complexes tel que et , avec , , et des nombres réels.
Alors si et seulement si et .
Il est impossible de comparer deux nombres complexes, en effet n’a pas de sens.
Soit et .
Alors et sont deux nombres complexes différents, car leurs parties réelles sont différentes.
On remarque aussi que est un imaginaire pur puisque sa partie réelle est nulle.
Opérations dans
Nous l’avons dit dans la définition initiale, est muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles dans .
Soit et deux nombres complexes tel que et , avec , , et des nombres réels.
Nous avons alors :
Les règles de calcul sur l’addition et la multiplication étant les mêmes que pour l’ensemble des réels, nous avons :
Comme pour les nombres réels, nous pouvons définir l’opposé d’un nombre complexe et l’inverse d’un nombre complexe non nul.
Opposé d’un nombre complexe :
Pour tout nombre complexe , il existe un unique complexe tel que .
Si , avec et des réels, alors :
Posons et , avec , , et des réels. Alors :
Les parties réelle et imaginaire de doivent être nulles, donc : et .
Inverse d’un complexe :
Pour tout nombre complexe non nul, il existe un unique complexe tel que .
Si , avec et des réels, alors :
Posons , avec , des réels non tous les deux nuls. Alors :
Nous allons prendre quelques exemples d’opération.
Posons
Donnons maintenant quelques propriétés qui vont utiliser les définitions ci-dessus.
Nous avons alors :
Si de plus
Les sommes et soustractions de complexes se calculent simplement avec les complexes sous forme algébrique.
Les produits et quotients de complexes demandent plus de vigilance dans les calculs, en utilisant les propriétés de la distributivité.
Conjugué d’un nombre complexe
Nous allons dans cette partie introduire un nombre complexe que l’on appelle le conjugué. Il est particulièrement utilisé en géométrie.
Définition
Avant de découvrir les propriétés, utiles, du conjugué, commençons par définir simplement cette notion.
Conjugué de
Soit
Alors le conjugué de
Illustrons par des exemples simples cette définition.
Propriétés
Considérons un nombre complexe
Nous avons ainsi le théorème suivant.
Soit
Nous avons aussi les propriétés suivantes.
Pour tout nombre complexe
En effet , posons
Continuons à donner les propriétés du conjugué d’un nombre complexe.
Là encore, nous en donnerons les démonstrations ensuite.
En effet, posons
Initialisation :
Pour
Hérédité :
Supposons qu’il existe un rang
Montrons que cela implique que
Nous avons :
Conclusion :
Nous avons montré que la propriété était vraie au rang
Ainsi,
L’utilisation du conjugué d’un complexe est fréquente lors de la manipulation des nombres complexes.
En effet, en posant
Cette propriété est bien utile lorsque l’on a un complexe écrit sous la forme de quotient de complexes ; nous nous en sommes déjà servis plusieurs fois.
Ainsi, pour en déduire sa forme algébrique, il faut pouvoir séparer la partie réelle et la partie imaginaire, et, pour cela, il faut que le dénominateur soit un nombre réel, une solution rapide et efficace consiste à multiplier numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Nous allons continuer à en avoir des exemples dans la partie suivante.
Résolution d’équations dans
Dans cette partie, nous allons apprendre, au travers d’exemples, à résoudre des premières équations, simples, dans
Résolution d’équations du premier degré comprenant uniquement
Pour exprimer
Ici aussi, nous allons utiliser le conjugué du dénominateur :
Résolution d’équations avec
Posons
Donc
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales.
Nous avons ainsi :
Posons
Donc
Isolons les parties réelles et imaginaires de part et d’autre de l’égalité, et nous obtenons un système de
Le binôme de Newton
Dans cette partie, nous allons nous servir de notions découvertes dans le cours de spécialité : « Factorielle, k-uplet, permutation et combinaison ».
Soit
On a, pour tout entier naturel
Où
Soit
Démontrons par récurrence la propriété
Pour tout entier naturel
Supposons qu’il existe un rang
Montrons que cela implique que
Nous avons, par hypothèse de récurrence :
Nous allons maintenant développer, en mettant certains termes en couleur pour mieux nous y retrouver à l’étape suivante :
Nous savons que
Là aussi, nous savons que
Nous avons montré que la propriété était vraie au rang
En pratique, la formule du binôme de Newton permet de développer ou de factoriser des complexes, cela va notamment intervenir pour résoudre des équations de degré supérieur à
Pour retrouver les coefficients binomiaux, nous utilisons le triangle de Pascal, que nous avons découvert en spécialité et que nous redonnons ici, pour rappel, jusqu’à
On cherche la forme algébrique de
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons introduit l’ensemble des nombres complexes et présenté l’écriture algébrique des complexes ainsi que certaines de leurs propriétés.
Les règles de calcul associés aux complexes ont aussi été présentées, ainsi que leur utilisation dans des équations simples.
La notion de complexe conjuguée a également été définie.
Les prochains cours sur les complexes permettront d’élargir leur utilisation pour résoudre des équations plus difficiles et de voir leurs applications en géométrie.