Médaille
N°1 pour apprendre & réviser du collège au lycée.
Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

Déjà plus de

1 million

d'inscrits !

L’ensemble des nombres complexes

  • On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté C\mathbb{C}, qui possède les propriétés suivantes :
  • C\mathbb{C} contient l’ensemble des nombres réels ;
  • C\mathbb{C} est muni d’une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de R\mathbb{R}, avec les mêmes propriétés ;
  • C\mathbb{C} contient un élément noté i\text{i} tel que i2=1\text{i}^2=-1 ;
  • Pour tout élément zz de C\mathbb{C}, il existe un unique couple de réels (a ;b)(a\ ;\, b) tel que z=a+ibz=a +\text{i}b.
  • L’écriture d’un nombre complexe zz sous la forme z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux nombres réels, est appelée forme algébrique de zz.
  • aa est appelé partie réelle de zz, notée Re(z)=a\mathfrak{Re}(z)=a ;
  • bb est appelé partie imaginaire de zz , notée Im(z)=b\mathfrak{Im}(z)=b.
  • Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
  • si Im(z)=0\mathfrak{Im}(z)=0, alors zz est un nombre réel ;
  • si Re(z)=0\mathfrak{Re}(z)=0, alors zz est un imaginaire pur ;
  • z=0z=0 est l’unique complexe qui est à la fois réel et imaginaire pur.
  • L’égalité entre deux nombres complexes implique que leurs parties réelles sont égales et que leurs parties imaginaires sont aussi égales.
  • Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
  • Opérations dans C\mathbb{C}
  • Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes tel que z=a+ibz=a+\text{i}b et z=a+ibz^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}, avec aa, bb, aa^{\prime} et bb^{\prime} des nombres réels.

Somme z+z=(a+a)+i(b+b)z+z^{\prime}=(a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime})
Opposé d'un complexe zz^\prime z=aib-z^\prime=-a^\prime-\text ib^\prime
Soustraction zz=(aa)+i(bb)z-z^{\prime}=(a-a^{\prime})+\text{i}(b-b^{\prime})
Produit zz=(aabb)+i(ab+ab)zz^{\prime}=(aa^{\prime}-bb^{\prime})+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)
Inverse d'un complexe non nul zz^\prime 1z=aiba2+b2\dfrac 1{z^\prime}=\dfrac{a^\prime-\text{i}b^\prime}{{a^\prime}^2+{b^\prime}^2}
Quotient d'un complexe zz par un complexe non nul zz^\prime zz=z×1z\dfrac z{z^\prime}=z\times \dfrac 1{z^\prime}

Conjugué d’un nombre complexe

  • Soit zz un nombre complexe tel que z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb deux réels.
  • Le conjugué de zz est le nombre complexe zˉ=aib\bar{z}= a -\text{i}b.

Propriétés
zz est un réel si et seulement si z=zˉz=\bar{z}
zz est un imaginaire pur si et seulement si z=zˉz=-\bar{z}
z+zˉ=2Re(z)z+\bar{z}=2\, \mathfrak{Re}(z)
zzˉ=2iIm(z)z-\bar{z}=2 \text{i}\, \mathfrak{Im}(z)
zzˉ=a2+b20\begin{aligned} z\bar{z}&=a^2+b^2 \ &\geq 0 \end{aligned}
z=z\overline{\overline{z}}=z
z=zˉ\overline{-z}=-\bar{z}
z+z=zˉ+z\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}
z×z=zˉ×z\overline{z\times z^{\prime}}=\bar{z}\times \overline{z^{\prime}}
Pour tout nN : zn=(zˉ)n\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $n\in \mathbb N$\ : }} \overline{z^n}=(\bar{z})^n
Si z0 : (1z)=1zˉ\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }} \overline{\left(\dfrac 1{z^\prime}\right)}=\dfrac 1{\bar{z^\prime}}
Si z0 : (zz)=zˉzˉ\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }}\overline{\left(\dfrac z{z^\prime}\right)}=\dfrac {\bar z}{\bar{z^\prime}}

Résolution d’équations dans C\mathbb C

  • Pour résoudre une équation du premier degré ne comportant que zz, il faut comme dans le cas d’équations dans R\mathbb R, isoler zz.
  • Pour avoir la forme algébrique de zz, si on obtient un quotient de complexes, il faut multiplier ce quotient au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.
  • Pour résoudre une équation du premier degré comportant zz et zˉ\bar{z}, il faut remplacer zz et zˉ\bar{z} par a+iba+\text{i}b et aiba-\text{i}b, avec aa et bb des réels.
  • On séparera dans l’expression obtenue les parties réelles et les parties imaginaires afin de déterminer les valeurs possibles pour aa et bb.

Le binôme de Newton

  • Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes.
  • On a, pour tout entier naturel nn :

(z+z)n=(n0)zn+(n1)zn1z++(nn1)zzn1+(nn)zn=k=0n(nk)znkzk [(nk)=n!k!(nk)! sont les coefficients binomiaux]\begin{aligned} (z+z^{\prime})^n&= \binom n0 z^n + \binom n1 z^{n-1}z^{\prime} + … + \binom n{n-1} z {z^{\prime}}^{\,n-1} + \binom nn {z^{\prime}}^{\,n} \ &=\sum_{k=0}^n \binom nk z^{n-k} {z^{\prime}}^{\,k} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$\binom n k =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sont les coefficients binomiaux]}}} \end{aligned}

  • En pratique, la formule du binôme de Newton permet de développer ou de factoriser des complexes, cela va notamment intervenir pour résoudre des équations de degré supérieur à 22 ou pour étudier certains polynômes de complexes.