Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2024. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des dates du bac 2024 ou des coefficients des matières … 💪

L’ensemble des nombres complexes

On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, qui possède les propriétés suivantes :
$\mathbb{C}$ contient l’ensemble des nombres réels ;
$\mathbb{C}$ est muni d’une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$, avec les mêmes propriétés ;
$\mathbb{C}$ contient un élément noté $\text{i}$ tel que $\text{i}^2=-1$ ;
Pour tout élément $z$ de $\mathbb{C}$, il existe un unique couple de réels $(a\ ;\, b)$ tel que $z=a +\text{i}b$.
L’écriture d’un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux nombres réels, est appelée forme algébrique de $z$.
$a$ est appelé partie réelle de $z$, notée $\mathfrak{Re}(z)=a$ ;
$b$ est appelé partie imaginaire de $z$ , notée $\mathfrak{Im}(z)=b$.
Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
si $\mathfrak{Im}(z)=0$, alors $z$ est un nombre réel ;
si $\mathfrak{Re}(z)=0$, alors $z$ est un imaginaire pur ;
$z=0$ est l’unique complexe qui est à la fois réel et imaginaire pur.
L’égalité entre deux nombres complexes implique que leurs parties réelles sont égales et que leurs parties imaginaires sont aussi égales.
Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
Opérations dans $\mathbb{C}$
Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes tel que $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}$, avec $a$, $b$, $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ des nombres réels.

Somme	$$z+z^{\prime}=(a+a^{\prime})+\text{i}(b+b^{\prime})$$
Opposé d'un complexe $z^\prime$	$$-z^\prime=-a^\prime-\text ib^\prime$$
Soustraction	$$z-z^{\prime}=(a-a^{\prime})+\text{i}(b-b^{\prime})$$
Produit	$$zz^{\prime}=(aa^{\prime}-bb^{\prime})+\text{i}(ab^{\prime}+a^{\prime}b)$$
Inverse d'un complexe non nul $z^\prime$	$$\dfrac 1{z^\prime}=\dfrac{a^\prime-\text{i}b^\prime}{{a^\prime}^2+{b^\prime}^2}$$
Quotient d'un complexe $z$ par un complexe non nul $z^\prime$	$$\dfrac z{z^\prime}=z\times \dfrac 1{z^\prime}$$

Conjugué d’un nombre complexe

Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux réels.
Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar{z}= a -\text{i}b$.

Propriétés

$z$ est un réel si et seulement si $z=\bar{z}$

$z$ est un imaginaire pur si et seulement si $z=-\bar{z}$

$z+\bar{z}=2\, \mathfrak{Re}(z)$

$z-\bar{z}=2 \text{i}\, \mathfrak{Im}(z)$

$\begin{aligned} z\bar{z}&=a^2+b^2 \\ &\geq 0 \end{aligned}$

$\overline{\overline{z}}=z$

$\overline{-z}=-\bar{z}$

$\overline{z+z^{\prime}}=\bar{z}+\overline{z^{\prime}}$

$\overline{z\times z^{\prime}}=\bar{z}\times \overline{z^{\prime}}$

$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Pour tout $n\in \mathbb N$\ : }} \overline{z^n}=(\bar{z})^n$

$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }} \overline{\left(\dfrac 1{z^\prime}\right)}=\dfrac 1{\bar{z^\prime}}$

$\textcolor{#A9A9A9}{\text{Si $z^\prime\neq 0$\ : }}\overline{\left(\dfrac z{z^\prime}\right)}=\dfrac {\bar z}{\bar{z^\prime}}$

Résolution d’équations dans $\mathbb C$

Pour résoudre une équation du premier degré ne comportant que $z$, il faut comme dans le cas d’équations dans $\mathbb R$, isoler $z$.
Pour avoir la forme algébrique de $z$, si on obtient un quotient de complexes, il faut multiplier ce quotient au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.
Pour résoudre une équation du premier degré comportant $z$ et $\bar{z}$, il faut remplacer $z$ et $\bar{z}$ par $a+\text{i}b$ et $a-\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
On séparera dans l’expression obtenue les parties réelles et les parties imaginaires afin de déterminer les valeurs possibles pour $a$ et $b$.

Le binôme de Newton

Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes.
On a, pour tout entier naturel $n$ :

$$\begin{aligned} (z+z^{\prime})^n&= \binom n0 z^n + \binom n1 z^{n-1}z^{\prime} + … + \binom n{n-1} z {z^{\prime}}^{\,n-1} + \binom nn {z^{\prime}}^{\,n} \\ &=\sum_{k=0}^n \binom nk z^{n-k} {z^{\prime}}^{\,k} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$\binom n k =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sont les coefficients binomiaux]}}} \end{aligned}$$

En pratique, la formule du binôme de Newton permet de développer ou de factoriser des complexes, cela va notamment intervenir pour résoudre des équations de degré supérieur à $2$ ou pour étudier certains polynômes de complexes.

Fiche de révision : Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

L’ensemble des nombres complexes

Conjugué d’un nombre complexe

Résolution d’équations dans $\mathbb C$

Le binôme de Newton