Fiche de révision : Les nombres complexes d'un point de vue algébrique

L’ensemble des nombres complexes

• On admet qu’il existe un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$, qui possède les propriétés suivantes :
• $\mathbb{C}$ contient l’ensemble des nombres réels ;
• $\mathbb{C}$ est muni d’une addition et d'une multiplication qui prolongent celles de $\mathbb{R}$, avec les mêmes propriétés ;
• $\mathbb{C}$ contient un élément noté $\text{i}$ tel que $\text{i}^2=-1$ ;
• Pour tout élément $z$ de $\mathbb{C}$, il existe un unique couple de réels $(a\ ;\, b)$ tel que $z=a +\text{i}b$.
• L’écriture d’un nombre complexe $z$ sous la forme $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux nombres réels, est appelée forme algébrique de $z$.
• $a$ est appelé partie réelle de $z$, notée $\mathfrak{Re}(z)=a$ ;
• $b$ est appelé partie imaginaire de $z$ , notée $\mathfrak{Im}(z)=b$.
• Les parties réelle ou imaginaire d’un complexe peuvent être nulles.
• si $\mathfrak{Im}(z)=0$, alors $z$ est un nombre réel ;
• si $\mathfrak{Re}(z)=0$, alors $z$ est un imaginaire pur ;
• $z=0$ est l’unique complexe qui est à la fois réel et imaginaire pur.
• L’égalité entre deux nombres complexes implique que leurs parties réelles sont égales et que leurs parties imaginaires sont aussi égales.
• Un nombre complexe est nul si et seulement si ses parties réelles et imaginaires sont nulles.
• Opérations dans $\mathbb{C}$
• Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes tel que $z=a+\text{i}b$ et $z^{\prime}=a^{\prime}+\text{i}b^{\prime}$, avec $a$, $b$, $a^{\prime}$ et $b^{\prime}$ des nombres réels.

Conjugué d’un nombre complexe

• Soit $z$ un nombre complexe tel que $z=a+\text{i}b$, avec $a$ et $b$ deux réels.
• Le conjugué de $z$ est le nombre complexe $\bar{z}= a -\text{i}b$.

Résolution d’équations dans $\mathbb C$

• Pour résoudre une équation du premier degré ne comportant que $z$, il faut comme dans le cas d’équations dans $\mathbb R$, isoler $z$.
• Pour avoir la forme algébrique de $z$, si on obtient un quotient de complexes, il faut multiplier ce quotient au numérateur et au dénominateur par le conjugué du dénominateur afin d’isoler la partie réelle et la partie imaginaire.
• Pour résoudre une équation du premier degré comportant $z$ et $\bar{z}$, il faut remplacer $z$ et $\bar{z}$ par $a+\text{i}b$ et $a-\text{i}b$, avec $a$ et $b$ des réels.
• On séparera dans l’expression obtenue les parties réelles et les parties imaginaires afin de déterminer les valeurs possibles pour $a$ et $b$.

Le binôme de Newton

• Soit $z$ et $z^{\prime}$ deux nombres complexes.
• On a, pour tout entier naturel $n$ :

$$\begin{aligned} (z+z^{\prime})^n&= \binom n0 z^n + \binom n1 z^{n-1}z^{\prime} + … + \binom n{n-1} z {z^{\prime}}^{\,n-1} + \binom nn {z^{\prime}}^{\,n} \\ &=\sum_{k=0}^n \binom nk z^{n-k} {z^{\prime}}^{\,k} \\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [$\binom n k =\frac{n!}{k!(n-k)!}$ sont les coefficients binomiaux]}}} \end{aligned}$$

• En pratique, la formule du binôme de Newton permet de développer ou de factoriser des complexes, cela va notamment intervenir pour résoudre des équations de degré supérieur à $2$ ou pour étudier certains polynômes de complexes.