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Le point de vue géométrique des nombres complexes

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Introduction :

Dans ce cours, nous allons faire le lien entre les nombres complexes et la géométrie. Nous allons notamment étendre nos connaissances de ce nouvel ensemble avec la forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Ce deuxième cours va ainsi définir des nouveaux outils associés aux nombres complexes et certaines propriétés liées à l’écriture trigonométrique des nombres complexes.

  • Dans tout ce cours, nous considérerons le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), que l’on appellera plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

Image d’un nombre complexe

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Définition

Image d’un nombre complexe dans le plan complexe :

Considérons un nombre complexe zz dont l’écriture algébrique est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels.

  • Alors l’image de ce nombre complexe zz dans le plan complexe défini ci-dessus est le point MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b).
  • Et à zz est associé tout vecteur w \overrightarrow{w\ } de coordonnées :

(ab)\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}

Faisons une remarque importante.

bannière à retenir

À retenir

  • Les nombres réels étant des nombres complexes ayant une partie imaginaire nulle (b=0b=0), leurs images sont donc sur l’axe des abscisses (O ;u)(O\ ;\, \vec u), appelé axe des réels.
  • De même, les imaginaires purs ayant leurs parties réelles nulles, leurs images sont donc sur l’axe des ordonnées (O ;v)(O\ ;\, \vec v), appelé axe des imaginaires.
  • Le complexe nul z=0z=0 a pour image l’origine du repère.

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Prenons quelques exemples pour bien comprendre cette première définition.

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Exemple

Soit M1M1 l’image du réel z1=5z1=-5, M2M2 l’image de l’imaginaire pur z2=4iz2=4 \text{i} et M3M3 l’image du complexe z3=32iz3=3-2 \text{i}. Dans le plan complexe :

  • M1M_1 a pour coordonnées (5 ;0)(-5\ ;\, 0) ;
  • M2M_2 a pour coordonnées (0 ;4)(0\ ;\, 4) ;
  • M3M_3 a pour coordonnées (3 ;2)(3\ ;\, -2).

En outre, w =3u2v\overrightarrow{w\ } = 3\vec u - 2\vec v est le vecteur image de z3z_3.

Affixe d’un point, d’un vecteur

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Définition

Affixe d’un point :

À tout point du plan complexe MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b), avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zMzM, dont l’écriture algébrique est zM=a+ibzM=a+\text{i}b.

  • zMz_M est alors appelé affixe du point MM.
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Exemple

Dans le plan complexe, le point A(3 ;4)A\,(-3\ ;\, 4) a pour affixe le nombre complexe zA=3+4iz_A=-3+4 \text{i}.

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Sauf cas particuliers, zz, z-z et zˉ\bar{z} sont associés à 33 points différents du plan, mais qui restent liés entre eux (dans un repère orthonormé), et nous avons les propriétés suivantes.

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Propriété

  • Le point MM étant associé à l’affixe zz, alors le point MM^{\prime} associé à l’affixe z-z est l’image de MM par symétrie centrale de centre OO, puisque les abscisse et ordonnée de MM^{\prime} sont les opposés respectivement des abscisse et ordonnée de MM.
  • De même, si le point MM^{\prime\prime} a pour affixe zˉ\bar{z}, alors MM^{\prime\prime} est l’image de MM par symétrie axiale selon l’axe des réels (axe des abscisses), puisque les deux affixes ont la même partie réelle et des parties imaginaires opposées.

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Sur le même principe, on peut associer l’affixe d’un vecteur en utilisant ses coordonnées.

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Définition

Affixe d’un vecteur :

À tout vecteur w \overrightarrow{w\ } du plan complexe de coordonnées (ab)\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}, avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zw z{\overrightarrow{w\ }} dont l’écriture algébrique est zw =a+ibz{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b.

  • zw z_{\overrightarrow{w\ }} est alors appelé affixe du vecteur w \overrightarrow{w\ }.

Avant d’approfondir, précisons les notations que nous utilisons.

  • La notation zMzM pour l’affixe associé au point MM et la notation zw z{\overrightarrow{w\ }} pour l’affixe associé au vecteur w \overrightarrow{w\ } ne sont pas des notations imposées, mais souvent rencontrées, notamment si on a plusieurs points ou vecteurs définis dans le plan complexe.
  • Nous trouvons aussi la notation M(z)M(z) et w (z)\overrightarrow{w\ }(z), dont nous nous servirons aussi dans ce cours.
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Exemple

Dans le plan complexe, le vecteur w (14)\overrightarrow{w\ } \begin{pmatrix} 1 \ -4 \end{pmatrix} a pour affixe le nombre complexe zw =14iz_{\overrightarrow{w\ }}=1-4\text i.

  • Nous pouvons noter : w (zw =14i)\overrightarrow{w\ }(z_{\overrightarrow{w\ }}=1-4 \text{i}).

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Les relations utilisées dans un repère du plan sont aussi valables dans le plan complexe, ainsi avons-nous les propriétés suivantes.

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Propriété

Soit AA et BB deux points du plan complexe avec respectivement zAzA et zBzB les affixes associées aux deux points.
Soit w \overrightarrow {w\ } et w \overrightarrow{w^{\prime}\ } deux vecteurs du plan complexe avec respectivement zw z{\overrightarrow{w\ }} et zw z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }} les affixes associées aux deux vecteurs.
On a alors :

  • AA et BB sont confondus si et seulement si zA=zBzA=zB ;
  • le milieu du segment [AB][AB] a pour affixe :

zA+zB2\dfrac{zA+zB}{2}

  • le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour affixe :

zBzA zB-zA

  • le vecteur w +w \overrightarrow{w\ }+\overrightarrow{w^{\prime}\ } a pour affixe :

zw +zw  z{\overrightarrow{w\ }}+z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}

  • le vecteur kw k\overrightarrow{w\ } (avec kk réel) a pour affixe :

kzw k\,z_{\overrightarrow{w\ }}

Nous allons démontrer les formules 2 et 3 (les autres se démontrent de manière analogue, avec les coordonnées).

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Démonstration

  • Posons A(xA ;yA)A\,(xA\ ;\, yA) et B(xB ;yB)B\,(xB\ ;\, yB).

Donc les affixes de ces points sont : zA=xA+iyAzA=xA+\text{i} yA et zB=xB+iyBzB=xB+\text{i} yB.

Le milieu de [AB][AB] a pour coordonnées :

(xA+xB2 ;yA+yB2)\left(\dfrac{xA+xB}{2}\ ;\, \dfrac{yA+yB}{2}\right)

Il est associé à l’affixe :

xA+xB2+iyA+yB2=(xA+iyA)+(xB+iyB)2=zA+zB2\begin{aligned} \dfrac{xA+xB}{2}+\text{i}\dfrac{yA+yB}{2}&= \dfrac{(xA+\text i yA) + (xB+\text i yB)}2 \ &=\dfrac{zA+zB}{2} \end{aligned}

  • Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour coordonnées :

(xBxAyByA)\begin{pmatrix} xB-xA \ yB-yA \end{pmatrix}

Il a donc a pour affixe :

zAB =(xBxA)+i(yByA)=(xB+iyB)(xA+iyA)=zBzA\begin{aligned} z{\overrightarrow{AB\ }}&=(xB-xA)+\text i (yB-yA) \ &=(xB+\text iyB)-(xA+\text iyA) \ &=zB-z_A \end{aligned}

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Exemple

Considérons, par exemple, le cas où AA et BB sont deux points respectivement associés à zA=3i2zA=3\text{i}-2 et zB=1+5izB=1+5\text{i}.

  • AB \overrightarrow{AB\ } est associé à :

zAB =zBzA=1+5i(3i2)=1+2+i(53)=3+2i\begin{aligned} z{\overrightarrow{AB\ }}&=zB-z_A \ &=1+5\text{i} - (3\text{i}-2) \ &=1+2+\text{i}(5-3) \ &=3+2 \text{i} \end{aligned}

  • et le milieu de [AB][AB] a pour affixe :

zA+zB2=3i2+1+5i2=(2+1)+i(3+5)2=1+8i2=12+4i\begin{aligned} \dfrac{zA+zB}{2}&=\dfrac{3\text{i}-2+1+5\text{i}}{2} \ &=\dfrac{(-2+1)+\text{i}(3+5)}{2} \ &=\dfrac{-1+8 \text{i}}{2} \ &=-\dfrac 12 + 4\text i \end{aligned}

Module et argument d’un nombre complexe

Module d’un nombre complexe

Considérant toujours le plan complexe muni d’un repère orthonormé, la notion de distance est particulièrement intéressante et utile pour en déduire des propriétés géométriques.
Il faut donc savoir faire le lien entre les nombres complexes et la notion de distance en introduisant le module dans un plan complexe muni d’un repère orthonormé.

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Définition

Module d’un nombre complexe :

Soit un point MM du plan d’affixe zz, alors la distance OMOM, avec OO l’origine du repère, est aussi appelée module de zz et notée : z=OM\vert z\vert=OM.
Si, de plus, l’écriture algébrique de zz est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels, alors :

z=OM=a2+b2\begin{aligned} \vert z\vert &=OM \ &=\sqrt{a^2+b^2} \end{aligned}

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Exemple

Dans le plan complexe, avec AA associé à zA=2+5izA=-2+5 \text{i}, on a alors le module de zAzA :

zA=(2)2+52=4+25=29Et donc : OA=zA=29\begin{aligned} \vert zA\vert&=\sqrt{(-2)^2+5^2} \ &=\sqrt{4+25} \ &=\sqrt{29} \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Et donc\ :\ }} OA&= \vert zA\vert \ &=\sqrt{29} \end{aligned}

On remarque ainsi un certain nombre de propriétés listées ci-dessous (non démontrées ici, mais facilement démontrables).

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Propriété

zz, z-z et zˉ\bar{z} ont même module :

z=z=zˉ\vert z\vert =\vert -z \vert=\vert\bar{z}\vert

En effet, si MM est associé à l’affixe zz, MM^{\prime} associé à z-z et, enfin, MM^{\prime\prime} associé à zˉ\bar{z}, on a bien pour raison de symétrie :

OM=OM=OMOM=OM^{\prime}=OM^{\prime\prime}

On peut généraliser la notion de module d’un nombre complexe à la longueur d’un segment.

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Propriété

Si zAB z{\overrightarrow{AB\ } } est associé au vecteur AB \overrightarrow{AB\ }, alors le module de zAB z{\overrightarrow{AB\ }}, aussi noté zAB =zBzA\vert z{\overrightarrow{AB\ }}\vert=\vert zB-z_A\vert, correspond à la longueur ABAB.

  • On a donc notamment AB=BAAB=BA et zBzA=zAzB\vert zB-zA\vert =\vert zA-zB\vert.
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À retenir

Les modules, donc les distances dans le plan complexe, permettent ainsi de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures (triangle isocèle, triangle équilatéral, parallélogramme…).
Il faut parfois raisonner sur le module de l’affixe d’un point, et parfois sur le module de l’affixe d’un vecteur, en fonction des longueurs qui nous intéressent.

Nous verrons dans un cours prochain, de manière approfondie, comment utiliser les nombres complexes en géométrie.
Nous allons tout de même en donner un premier exemple très simple.

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Exemple

AA, BB et CC sont trois points du plan complexe, d’affixes respectives :

zA=3+izB=5+4izC=6i\begin{aligned} zA&=3+\text{i} \ zB&=5+4 \text{i} \ z_C&=6-\text{i} \end{aligned}

  • Montrons que le triangle ABCABC est isocèle en AA.

Soit zAB z{\overrightarrow{AB\ }} l’affixe de AB \overrightarrow{AB\ } et zAC z{\overrightarrow{AC\ }} l’affixe de AC \overrightarrow{AC\ }.

Nous avons, avec la propriété que nous venons de voir :

AB=zAB =zBzA=5+4i(3+i)=2+3i=22+32=13AC=zAC =zCzA=6i(3+i)=32i=32+(2)2=13=AB\begin{aligned} AB&=\vert z{\overrightarrow{AB\ }}\vert \ &= \vert zB - zA\vert \ &=\vert 5+4 \text{i} - (3+\text{i})\vert \ &=\vert 2+3 \text{i}\vert \ &=\sqrt{2^2+3^2} \ &=\sqrt{13} \ \ AC&=\vert z{\overrightarrow{AC\ }}\vert \ &= \vert zC - zA\vert \ &=\vert 6-\text{i} - (3+\text{i})\vert \ &=\vert 3-2 \text{i}\vert \ &=\sqrt{3^2+(-2)^2} \ &=\sqrt{13} \ &=AB \end{aligned}

  • ABCABC est isocèle en AA.

Nous allons maintenant utiliser une égalité découverte dans le cours précédent pour en découvrir une autre, importante.

Soit un complexe zz tel que l’écriture algébrique de zz est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des réels.
Nous avons vu dans le cours précédent que :

zzˉ=a2+b2 z\bar z= a^2+b^2

Or le module de zz est défini par :

z=a2+b2\vert z\vert =\sqrt{a^2+b^2}

Nous en déduisons ainsi la propriété suivante.

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Propriété

Soit un nombre complexe z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels. Nous avons :

zzˉ=z2z \bar{z}=\vert z\vert ^2

Le module correspondant à une distance dans le plan complexe, il est toujours positif ou nul. Donc, connaissant son carré, il suffit de faire :

z=zzˉ\vert z\vert =\sqrt{z\bar{z}}

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Exemple

Soit le nombre complexe z=5+2iz=5+2 \text{i}.
Nous avons :

zzˉ=52+22=29\begin{aligned} z\bar{z}&=5^2+2^2 \ &=29 \end{aligned}

Nous en déduisons le module de zz :

z=29\vert z\vert =\sqrt{29}

Donnons maintenant quelques propriétés opératoires sur les modules.

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Propriété

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes et nn un entier naturel, alors :

z×z=z×zzn=zn\begin{aligned} \vert z\times z^{\prime}\vert &=\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert \ \vert z^n\vert&=\vert z\vert ^n \end{aligned}

Si de plus zz est non nul alors :

1z=1zzz=zz\begin{aligned} \left\vert \dfrac{1}{z}\right\vert &=\dfrac{1}{\vert z\vert } \ \left\vert \dfrac{z^{\prime}}{z}\right\vert &=\dfrac{\vert z^{\prime}\vert }{\vert z\vert } \end{aligned}

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Démonstration

  • Démontrons que le module d’un produit est égal au produit des modules.

Nous savons que le produit d’un complexe et de son conjugué est égal au carré de son module.

  • Nous pouvons donc écrire :

z×z2=(z×z)×(z×z)=z×z×zˉ×z[car le conjugueˊ d’un produit est eˊgal au produit des conjugueˊs]=(z×zˉ)×(z×z)=z2×z2\begin{aligned} \vert z\times z^{\prime} \vert^2 &= (z\times z^{\prime})\times (\overline{z\times z^{\prime}}) \ &=z\times z^{\prime}\times \bar z\times \overline {z^{\prime}} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car le conjugué d’un produit est égal au produit des conjugués]}}} \ &=(z\times \bar z)\times (z^{\prime}\times \overline{z^{\prime}}) \ &=\vert z\vert ^2\times \vert z^{\prime}\vert ^2 \end{aligned}

Passons maintenant à la racine carrée :

z×z2=z2×z2\sqrt{\vert z\times z^{\prime} \vert^2} = \sqrt{\vert z\vert ^2}\times \sqrt{\vert z^{\prime}\vert^2 }

Les modules étant par définition positifs, nous concluons que :

z×z=z×z\vert z\times z^{\prime} \vert=\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert

  • Démontrons maintenant que le module d’une puissance est égale à la puissance du module.

Nous allons le faire en utilisant un raisonnement par récurrence.
Soit zz un nombre complexe.

  • Montrons que, pour tout entier naturel nn, la proposition PnP_n suivante est vraie : « zn=zn\vert z^n\vert = \vert z\vert ^n ».

Initialisation :

Pour n=0n=0, nous avons :

z0=1=1et : z0=1Donc : z0=z0\begin{aligned} \vert z^0\vert &=\vert 1\vert \ &=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{et\ :\ }} \vert z\vert^0&=1 \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{Donc\ :\ }} \vert z^0\vert&=\vert z\vert^0 \end{aligned}

  • P0P_0 est vraie.

Hérédité :

Supposons qu’il existe un entier naturel quelconque kk tel que PkP_k soit vraie.

  • zk=zk\vert z^k\vert = \vert z\vert ^k.

Montrons que, alors, Pk+1P_{k+1} est aussi vraie.

  • C’est-à-dire : zk+1=zk+1\vert z^{k+1}\vert = \vert z\vert ^{k+1}.

Nous avons :

zk+1=zk×z=zk×z [nous l’avons deˊmontreˊ au point 1]=zk×z [par hypotheˋse de reˊcurrence]=zk+1\begin{aligned} \vert z^{k+1}\vert &= \vert z^k\times z\vert \ &=\vert z^k\vert \times \vert z\vert \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [nous l’avons démontré au point 1]}}} \ &=\vert z\vert^k \times \vert z\vert \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [par hypothèse de récurrence]}}} \ &=\vert z\vert^{k+1} \end{aligned}

  • Si PkPk est vraie, alors Pk+1P{k+1} est aussi vraie.

Conclusion :

Nous avons montré que la proposition est vraie pour n=0n=0, et nous avons démontré qu’elle est héréditaire à partir de n=0n=0.

  • La proposition PnP_n est vraie pour tout entier naturel nn.

Ensemble U\mathbb U des nombres complexes de module 11

Considérons un point M(z)M\,(z) tel que z=1\vert z\vert =1.
Cela signifie que dans le repère orthonormé du plan complexe, la distance OMOM est telle que OM=1OM=1.

  • MM est donc situé sur le cercle de centre OO et de rayon 11.

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Définition

Ensemble U\mathbb U et cercle trigonométrique :

L’ensemble des nombres complexes de module 11 est noté U\mathbb U.
L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre OO et de rayon 11, appelé cercle trigonométrique.

Nous pouvons donner une première propriété, qui découle directement de la définition.

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Propriété

Considérons z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels, un nombre complexe appartenant à U\mathbb U.
On a alors :

a2+b2=1a^2+b^2=1

Nous pouvons aussi donner les propriétés de stabilité de U\mathbb U, que nous démontrerons ensuite.

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Propriété

U\mathbb U est stable par produit et par passage à l’inverse.

Cela veut dire que, si zz et zz^{\prime} sont des nombres complexes appartenant à U\mathbb U, alors leur produit et leurs inverses appartiennent aussi à U\mathbb U.

Les démonstrations sont faciles, nous allons les faire rapidement.

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Démonstration

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes appartenant à U\mathbb U.

zz=z×z[car le module d’un produit est eˊgal au produit des modules]=1×1 [car z et z appartiennent aˋ U]=1\begin{aligned} \vert zz^{\prime}\vert &= \vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car le module d’un produit est égal au produit des modules]}}} \ &=1\times 1 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car zz et zz^{\prime} appartiennent à U\mathbb U]}}} \ &=1 \end{aligned}

Le module de zzzz^{\prime} est égal à 11, donc zzzz^{\prime} appartient à U\mathbb U.

  • U\mathbb U est stable par produit.

1z=1z[car le module d’un inverse est l’inverse du module]=11 [car z appartient aˋ U]=1\begin{aligned} \left\vert \dfrac 1z \right\vert &= \dfrac 1{\vert z\vert} \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car le module d’un inverse est l’inverse du module]}}} \ &=\dfrac 11 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car zz appartient à U\mathbb U]}}} \ &=1 \end{aligned}

Le module de 1z\frac 1z est égal à 11, donc 1z\frac 1z appartient à $\mathbb U$.

  • $\mathbb U$ est stable par passage à l’inverse.

Dans un prochain cours, consacré à l’utilisation des nombres complexes en géométrie et que nous avons déjà mentionné, nous verrons comment définir des ensembles au moyen d’autres conditions sur le module. Nous travaillerons aussi sur de nouveaux ensembles, notés Un\mathbb U_n, avec nNn\in \mathbb N^*.

Argument d’un nombre complexe

Pour repérer un point dans un plan muni d’un repère, on peut bien sûr utiliser les coordonnées cartésiennes, avec l’abscisse et l’ordonnée, mais il est aussi possible d’utiliser d’autres systèmes de coordonnées, comme le système de coordonnées polaires.
Dans ce système, on utilise le même repère d’axe (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), mais on définit la position d’un point MM par sa distance à l’origine, la distance OMOM, et par une mesure de l’angle orienté formé entre les vecteurs u\vec{u} et OM \overrightarrow{OM\ }, que l’on note (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }).

Dans le plan complexe, le point MM étant associé à l’affixe zz, la distance OMOM correspond, comme nous venons de le voir, au module de zz.
On associe de la même manière l’angle orienté (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) avec un argument de zz.

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Définition

Argument d’un nombre complexe :

Soit un point MM d’affixe zz non nulle situé dans le plan complexe associé au repère (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), alors une mesure en radian de l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) est un argument de zz.

  • On le note arg(z)\arg{(z)}.

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À retenir

Si l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) a pour mesure (en radian) la valeur θ\theta, alors tous les angles θ+k×2π\theta + k \times 2 \pi, avec kk un entier relatif, sont des mesures possibles de cet angle.

  • Par conséquent, il existe une infinité d’arguments possibles au complexe zz associé à MM, et on utilise souvent la notation suivante pour définir l’ensemble des valeurs possibles :

arg(z)=θ[2π]\arg(z)=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack

On dit : « θ\theta modulo 2π2\pi ».

On remarquera aussi que les angles (modulo 2π2\pi) de 0 rad0\ \text{rad}, π2\frac{\pi}{2}, π\pi, π2-\frac{\pi}{2}, positionnent le point MM sur les axes du repère, donc correspondent à des réels ou à des imaginaires purs.

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Attention

il est impossible de définir l’angle (u,0)(\vec u,\,\vec 0).

  • 00 n’a pas d’argument.
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Exemple

Soit AA, BB et CC trois points du plan d’affixes respectives zA=3zA=3, zB=4izB=-4 \text{i} et zC=1+iz_C=1+ \text{i}.
On a alors, en utilisant la figure ci-dessous :

arg(zA)=0[2π]arg(zB)=π2[2π]arg(zC)=π4[2π]\begin{aligned} \arg(zA)&=0\, \lbrack 2\pi\rbrack \ \arg(zB)&=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack \ \arg(z_C)&=\dfrac{\pi}{4}\,\lbrack 2\pi\rbrack \end{aligned}

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Nous allons ci-dessous lister quelques premières propriétés de l’argument d’un nombre complexe. Elles sont à connaître, mais facilement retrouvables en utilisant la représentation dans le plan complexe.

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Propriété

Soit zz un nombre complexe non nul. Alors :

  • zz est un nombre réel positif si et seulement si :

arg(z)=0[2π]\arg{(z)}=0\,\lbrack 2\pi\rbrack

  • zz est un nombre réel négatif si et seulement si :

arg(z)=π[2π]\arg{(z)}=\pi\,\lbrack 2\pi\rbrack

  • zz est un nombre imaginaire pur avec sa partie imaginaire positive si et seulement si :

arg(z)=π2[2π]\arg(z)=\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack

  • zz est un nombre imaginaire pur avec sa partie imaginaire négative si et seulement si :

arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack

  • De même, pour raison de symétrie :

arg(z)=arg(z)+π[2π]arg(zˉ)=arg(z)[2π]\begin{aligned} \arg{(-z)}&=\arg{(z)}+\pi \,\lbrack 2\pi\rbrack \ \arg{(\bar{z})}&=-\arg{(z)} \,\lbrack 2\pi\rbrack \end{aligned}

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Comme nous l’avons fait pour le module, donnons maintenant les propriétés opératoires sur les arguments, que nous admettons.

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Propriété

Soit zz et zz^{\prime} deux nombres complexes non nuls et nn un entier naturel, alors :

arg(zz)=arg(z)+arg(z)arg(zn)=narg(z)arg(1z)=arg(z)arg(zz)=arg(z)arg(z)\begin{aligned} \arg(zz^{\prime})&=\arg(z)+\arg(z^{\prime}) \ \arg(z^n)&= n\,\arg(z) \ \arg\left(\dfrac 1z\right)&=- \arg(z) \ \arg\left(\dfrac z{z^{\prime}}\right)&=\arg(z)- \arg(z^{\prime}) \end{aligned}

À part dans des cas bien particuliers (réels ou imaginaires purs notamment), on ne peut pas directement déterminer un argument de zz, mais on peut faire le lien avec la trigonométrie.

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À retenir

Soit zz un nombre complexe non nul dont la forme algébrique est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels, alors, considérant le repère orthonormal (0 ;u,v)(0\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), et HH le projeté orhogonal de MM sur l’axe des réels, le triangle OHMOHM est rectangle en HH et l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) a pour mesure θ\theta.

  • En appliquant la définition du cosinus et du sinus de θ\theta, on a :

cos(θ)=OHOM=azsin(θ)=HMOM=bz\begin{aligned} \cos{(\theta)}&=\dfrac{OH}{OM} \ &=\dfrac{a}{\vert z\vert } \ \sin{(\theta)}&=\dfrac{HM}{OM} \ &=\dfrac{b}{\vert z\vert} \end{aligned}

Et un argument de zz est arg(z)=θ\arg(z)=\theta modulo 2π2\pi.

Formule trigonométrique d’un nombre complexe

Définition

Nous avons vu qu’un nombre complexe zz non nul admet une forme algébrique du type z=a+ibz=a+\text{i}b.
Nous avons aussi vu qu’un nombre complexe admet un module z\vert z\vert et un argument arg(z)\arg(z) modulo 2π2\pi, qui suffisent à définir totalement un nombre complexe zz non nul.

  • On peut donc associer ces deux paramètres à une autre écriture d’un complexe zz, que l’on appelle l’écriture trigonométrique.
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Définition

Écriture trigonométrique d’un nombre complexe :

Tout nombre complexe zz non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

z=r(cos(θ)+isin(θ))z=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big)

Avec r=zr=\vert z\vert, le module de zz, et θ=arg(z)\theta=\arg(z) un argument de zz (modulo 2π2\pi).

Cette écriture définit de manière unique le nombre complexe zz, c’est-à-dire que deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo 2π2\pi).

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Exemple

Soit AA un point du plan complexe, associé à l’affixe zAz_A