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Le point de vue géométrique des nombres complexes

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2022. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪
  • Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), appelé plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

  • Soit un nombre complexe zz dont l’écriture algébrique est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels.
  • L’image de ce nombre complexe zz dans le plan complexe est le point MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b).
  • Et à zz est associé tout vecteur w \overrightarrow{w\ } de coordonnées (ab)\binom ab.
  • Axes et origine du repère :
  • Les images des réels sont sur l’axe des abscisses (O ;u)(O\ ;\, \vec u), appelé axe des réels.
  • Les images des imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées (O ;v)(O\ ;\, \vec v), appelé axe des imaginaires.
  • Le complexe nul z=0z=0 a pour image l’origine du repère.

Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes point de vue géométrique

  • À tout point du plan complexe MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b), avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zMzM, dont l’écriture algébrique est zM=a+ibzM=a+\text{i}b.
  • zMz_M est alors appelé affixe du point MM.
  • Soit les points MM d’affixe zz, MM^\prime d’affixe z-z et MM^{\prime\prime} d’affixe zˉ\bar z.
  • MM^{\prime} est l’image de MM par symétrie centrale de centre OO ;
  • MM^{\prime\prime} est l’image de MM par symétrie axiale selon l’axe des réels.
  • À tout vecteur w \overrightarrow{w\ } du plan complexe de coordonnées (ab)\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}, avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zw z{\overrightarrow{w\ }} dont l’écriture algébrique est zw =a+ibz{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b.
  • zw z_{\overrightarrow{w\ }} est alors appelé affixe du vecteur w \overrightarrow{w\ }.
  • Soit les points AA d’affixe zAzA et BB d’affixe zBzB.
    Soit les vecteurs w \overrightarrow {w\ } d’affixe zw z{\overrightarrow{w\ }} et w \overrightarrow{w^{\prime}\ } d’affixe zw z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}.

Propriétés
AA et BB sont confondus si et seulement si zA=zBzA=zB
Le milieu du segment [AB][AB] a pour affixe : zA+zB2\dfrac{zA+zB}{2}
Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour affixe : zBzA zB-zA
Le vecteur w +w \overrightarrow{w\ }+\overrightarrow{w^{\prime}\ } a pour affixe : zw +zw  z{\overrightarrow{w\ }}+z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}
Le vecteur kw k\overrightarrow{w\ } (avec kk réel) a pour affixe : kzw k\,z_{\overrightarrow{w\ }}

Module et argument d’un nombre complexe

  • Soit un point MM du plan d’affixe z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels.
  • La distance OMOM, avec OO l’origine du repère, est aussi appelée module de zz :

z=OM=a2+b2\vert z\vert=OM=\sqrt{a^2+b^2}

  • Nous avons aussi les égalités suivantes :

zzˉ=z2z=zzˉ\begin{aligned} z \bar{z}&=\vert z\vert ^2 \ \vert z\vert &=\sqrt{z\bar{z}} \end{aligned}

  • Les modules permettent notamment de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures.
  • Soit un point MM d’affixe zz non nulle situé dans le plan complexe associé au repère (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), alors une mesure en radian de l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) est un argument de zz.
  • On le note arg(z)\arg{(z)}.
  • Il existe une infinité d’arguments possibles au complexe zz associé à MM, et on utilise souvent la notation :

arg(z)=θ[2π]\arg{(z)}=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack

  • 00 n’a pas d’argument.

Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes point de vue géométrique

zz réel strictement positif arg(z)=0[2π]\arg{(z)}=0\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz réel strictement négatif arg(z)=π[2π]\arg{(z)}=\pi\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement positive

arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement négative

arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack
  • Tout nombre complexe zz non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

z=r(cos(θ)+isin(θ))[avec r=z et θ=arg(z)]\begin {aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)}$]}}} \end{aligned}

  • Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo 2π2\pi).
  • Propriétés opératoires :
  • zz et zz^{\prime} sont deux nombres complexes non nuls, nn un entier naturel.

Opposé z=z\vert -z\vert=\vert z\vert arg(z)=arg(z)+π[2π]\arg(-z)=\arg(z)+\pi \,\lbrack 2\pi\rbrack
Conjugué zˉ=z\vert \bar z\vert=\vert z\vert arg(zˉ)=arg(z)[2π]\arg(\bar{z})=-\arg(z) \,\lbrack 2\pi\rbrack
Produit z×z=z×z\vert z\times z^{\prime}\vert =\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert arg(zz)=arg(z)+arg(z)\arg(zz^{\prime})=\arg(z)+\arg(z^{\prime})
Puissance zn=zn\vert z^n\vert=\vert z\vert ^n arg(zn)=narg(z)\arg(z^n)= n\,\arg(z)
Inverse 1z=1z\left\vert \dfrac{1}{z}\right\vert =\dfrac{1}{\vert z\vert } arg(1z)=arg(z)\arg\left(\dfrac 1z\right)=- \arg(z)
Quotient zz=zz\left\vert \dfrac z{z^{\prime}}\right\vert =\dfrac{\vert z\vert }{\vert z^{\prime}\vert } arg(zz)=arg(z)arg(z)\arg\left(\dfrac z{z^{\prime}}\right)=\arg(z)- \arg(z^{\prime})
  • Notons que les formules pour les modules de l’opposé, du conjugué, d'un produit et d'une puissance sont aussi valables pour zz et zz^\prime nuls.

Ensemble U\mathbb U des nombres complexes de module 11

  • L’ensemble des nombres complexes de module 11 est noté U\mathbb U.
  • L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre OO et de rayon 11, appelé cercle trigonométrique.
  • Soit z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels, un nombre complexe appartenant à U\mathbb U.
  • On a alors : a2+b2=1a^2+b^2=1.
  • U\mathbb U est stable par produit et par passage à l’inverse.