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Le point de vue géométrique des nombres complexes

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  • Nous nous plaçons dans le plan muni d’un repère orthonormé direct (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), appelé plan complexe.

Nombres complexes et représentation dans un repère

  • Soit un nombre complexe zz dont l’écriture algébrique est z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb des nombres réels.
  • L’image de ce nombre complexe zz dans le plan complexe est le point MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b).
  • Et à zz est associé tout vecteur w \overrightarrow{w\ } de coordonnées (ab)\binom ab.
  • Axes et origine du repère :
  • Les images des réels sont sur l’axe des abscisses (O ;u)(O\ ;\, \vec u), appelé axe des réels.
  • Les images des imaginaires purs sont sur l’axe des ordonnées (O ;v)(O\ ;\, \vec v), appelé axe des imaginaires.
  • Le complexe nul z=0z=0 a pour image l’origine du repère.

Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes point de vue géométrique

  • À tout point du plan complexe MM de coordonnées (a ;b)(a\ ;\, b), avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zMzM, dont l’écriture algébrique est zM=a+ibzM=a+\text{i}b.
  • zMz_M est alors appelé affixe du point MM.
  • Soit les points MM d’affixe zz, MM^\prime d’affixe z-z et MM^{\prime\prime} d’affixe zˉ\bar z.
  • MM^{\prime} est l’image de MM par symétrie centrale de centre OO ;
  • MM^{\prime\prime} est l’image de MM par symétrie axiale selon l’axe des réels.
  • À tout vecteur w \overrightarrow{w\ } du plan complexe de coordonnées (ab)\begin{pmatrix} a \ b \end{pmatrix}, avec aa et bb des réels, est associé un unique nombre complexe zw z{\overrightarrow{w\ }} dont l’écriture algébrique est zw =a+ibz{\overrightarrow{w\ }}=a+\text{i}b.
  • zw z_{\overrightarrow{w\ }} est alors appelé affixe du vecteur w \overrightarrow{w\ }.
  • Soit les points AA d’affixe zAzA et BB d’affixe zBzB.
    Soit les vecteurs w \overrightarrow {w\ } d’affixe zw z{\overrightarrow{w\ }} et w \overrightarrow{w^{\prime}\ } d’affixe zw z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}.

Propriétés
AA et BB sont confondus si et seulement si zA=zBzA=zB
Le milieu du segment [AB][AB] a pour affixe : zA+zB2\dfrac{zA+zB}{2}
Le vecteur AB \overrightarrow{AB\ } a pour affixe : zBzA zB-zA
Le vecteur w +w \overrightarrow{w\ }+\overrightarrow{w^{\prime}\ } a pour affixe : zw +zw  z{\overrightarrow{w\ }}+z{\overrightarrow{w^{\prime}\ }}
Le vecteur kw k\overrightarrow{w\ } (avec kk réel) a pour affixe : kzw k\,z_{\overrightarrow{w\ }}

Module et argument d’un nombre complexe

  • Soit un point MM du plan d’affixe z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels.
  • La distance OMOM, avec OO l’origine du repère, est aussi appelée module de zz :

z=OM=a2+b2\vert z\vert=OM=\sqrt{a^2+b^2}

  • Nous avons aussi les égalités suivantes :

zzˉ=z2z=zzˉ\begin{aligned} z \bar{z}&=\vert z\vert ^2 \ \vert z\vert &=\sqrt{z\bar{z}} \end{aligned}

  • Les modules permettent notamment de démontrer des égalités de longueur et des propriétés de certaines figures.
  • Soit un point MM d’affixe zz non nulle situé dans le plan complexe associé au repère (O ;u,v)(O\ ;\, \vec{u},\,\vec{v}), alors une mesure en radian de l’angle (u,OM )(\vec{u},\,\overrightarrow{OM\ }) est un argument de zz.
  • On le note arg(z)\arg{(z)}.
  • Il existe une infinité d’arguments possibles au complexe zz associé à MM, et on utilise souvent la notation :

arg(z)=θ[2π]\arg{(z)}=\theta\, \lbrack 2\pi\rbrack

  • 00 n’a pas d’argument.

Alt terminale option mathématiques expertes nombres complexes point de vue géométrique

zz réel strictement positif arg(z)=0[2π]\arg{(z)}=0\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz réel strictement négatif arg(z)=π[2π]\arg{(z)}=\pi\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement positive

arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack
zz imaginaire pur

avec sa partie imaginaire

strictement négative

arg(z)=π2[2π]\arg{(z)}=-\dfrac{\pi}{2}\,\lbrack 2\pi\rbrack
  • Tout nombre complexe zz non nul admet une écriture trigonométrique tel que :

z=r(cos(θ)+isin(θ))[avec r=z et θ=arg(z)]\begin {aligned} z&=r \big(\cos{(\theta)}+\text{i} \sin{(\theta)}\big) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $r=\vert z\vert$ et $\theta=\arg{(z)}$]}}} \end{aligned}

  • Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont même module et même argument (modulo 2π2\pi).
  • Propriétés opératoires :
  • zz et zz^{\prime} sont deux nombres complexes non nuls, nn un entier naturel.

Opposé z=z\vert -z\vert=\vert z\vert arg(z)=arg(z)+π[2π]\arg(-z)=\arg(z)+\pi \,\lbrack 2\pi\rbrack
Conjugué zˉ=z\vert \bar z\vert=\vert z\vert arg(zˉ)=arg(z)[2π]\arg(\bar{z})=-\arg(z) \,\lbrack 2\pi\rbrack
Produit z×z=z×z\vert z\times z^{\prime}\vert =\vert z\vert \times \vert z^{\prime}\vert arg(zz)=arg(z)+arg(z)\arg(zz^{\prime})=\arg(z)+\arg(z^{\prime})
Puissance zn=zn\vert z^n\vert=\vert z\vert ^n arg(zn)=narg(z)\arg(z^n)= n\,\arg(z)
Inverse 1z=1z\left\vert \dfrac{1}{z}\right\vert =\dfrac{1}{\vert z\vert } arg(1z)=arg(z)\arg\left(\dfrac 1z\right)=- \arg(z)
Quotient zz=zz\left\vert \dfrac z{z^{\prime}}\right\vert =\dfrac{\vert z\vert }{\vert z^{\prime}\vert } arg(zz)=arg(z)arg(z)\arg\left(\dfrac z{z^{\prime}}\right)=\arg(z)- \arg(z^{\prime})
  • Notons que les formules pour les modules de l’opposé, du conjugué, d'un produit et d'une puissance sont aussi valables pour zz et zz^\prime nuls.

Ensemble U\mathbb U des nombres complexes de module 11

  • L’ensemble des nombres complexes de module 11 est noté U\mathbb U.
  • L’ensemble des points qui leur sont associés dans le plan complexe forme un cercle de centre OO et de rayon 11, appelé cercle trigonométrique.
  • Soit z=a+ibz=a+\text{i}b, avec aa et bb réels, un nombre complexe appartenant à U\mathbb U.
  • On a alors : a2+b2=1a^2+b^2=1.
  • U\mathbb U est stable par produit et par passage à l’inverse.