Repère et coordonnées de vecteurs
Introduction :
Dans le cours précédent, nous avons découvert les vecteurs. Nous allons ici les manipuler dans un repère. Cela nous permettra de définir les coordonnées d’un vecteur et de nous en servir avec les définitions et propriétés que nous avons apprises : vecteurs égaux, vecteurs opposés, somme, colinéarité… afin de démontrer certaines propriétés géométriques.
Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan
Coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan
Base et repère du plan
Base et repère du plan
Définition
Base et repère du plan :
Soit $O$, $I$ et $J$ trois points non alignés du plan.
Posons $\vec \imath=\overrightarrow{OI\ }$ et $\vec \jmath=\overrightarrow{OJ\ }$.
- Les vecteurs $\vec \imath$ et $\vec \jmath$, non colinéaires (puisque $O$, $I$ et $J$ ne sont pas alignés), forment une base du plan, notée $(\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
- Le triplet $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ est appelé repère du plan.
Un repère du plan
À retenir
Si les directions de $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont perpendiculaires, alors :
- la base $(\vec \imath,\,\vec \jmath)$ est dite orthogonale ;
- le repère $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ est dit orthogonal.
Repère orthogonal
Si, en outre, les vecteurs $\vec \imath$ et $\vec \jmath$ sont de norme $1$, alors :
- la base $(\vec \imath,\,\vec \jmath)$ est dite orthonormée ;
- le repère $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$ est dit orthonormé.
Repère orthonormé
Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Coordonnées d’un vecteur dans un repère
Définition
Coordonnées d’un vecteur :
On considère un vecteur quelconque $\vec u$ dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
Les coordonnées du vecteur $\vec u$ dans ce repère sont les coordonnées du point $M$ tel que $\overrightarrow{OM\ }=\vec u$. Si les coordonnées de $M$ sont $(x\ ;\, y)$, on note :
$$\vec u \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$
On note aussi : $\vec u=x\vec \imath + y\vec \jmath$.
- Ce couple de réels $(x\ ;\, y)$ est unique.
Le vecteur nul a pour coordonnées $\binom 00$.
Nous pouvons ainsi lire graphiquement les coordonnées d’un vecteur, comme le montre l’exemple suivant.
Exemple
Dans le repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, on considère le vecteur $\vec u$ suivant :
Effectuer une translation de vecteur $\vec u$ revient à faire :
- une translation de $2$ unités vers la gauche, soit dans le sens contraire à $\vec \imath$ ;
- une translation de $3$ unités vers le bas, soit dans le sens contraire à $\vec \jmath$.
- Nous avons donc :
$$\begin{aligned} &\vec u\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \\ &\vec u=-2\vec \imath-3\vec \jmath \end{aligned}$$
Propriété
Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux points $A$ et $B$, respectivement de coordonnées $(x_A\ ;\, y_A)$ et $(x_B\ ;\, y_B)$.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ sont alors :
$$\overrightarrow{AB\ }\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$$
Exemple
Dans le repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit le point $A$, de coordonnées $(4\ ;\, 2)$, et le point $B$ de coordonnées $(2\ ;\, -1)$.
Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ sont :
$$\begin{aligned} \begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2-4 \\ -1-2 \end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned}$$
Propriétés
Propriétés
Maintenant que nous avons défini les coordonnées d’un vecteur dans un repère du plan, nous pouvons revoir les notions vues dans le cours précédent, en donnant quelques propriétés, très utiles.
Propriété
Dans un repère du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\, \binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$, et $k$ un réel.
- Égalité de vecteurs :
$\vec u=\vec v$ si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, autrement dit, si et seulement si $x=x^{\prime}$ et $y=y^{\prime}$.
- Somme de deux vecteurs :
$$\vec u+\vec v\begin{pmatrix} x+x^{\prime} \\ y+y^{\prime} \end{pmatrix}$$
- Produit d’un vecteur par un réel :
$$k\vec u \begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix}$$
- Vecteur opposé :
$$-\vec u\begin{pmatrix} -x \\ -y \end{pmatrix}$$
- Milieu d’un segment :
Soit les points $A\,(x_A\ ;\, y_A)$ et $B\,(x_B\ ;\, y_B)$.
Les coordonnées du point $I$, milieu du segment $[AB]$, sont alors :
$$\left( \dfrac {x_A+x_B}2\ ;\, \dfrac {y_A+y_B}2\right)$$
Ces propriétés sont valables dans tout repère du plan.
Nous en donnons une autre sur la norme d’un vecteur, qui, elle, n’est valable que dans un repère orthonormé.
Propriété
Dans un repère orthonormé du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, nous considérons un vecteur $\vec u$ de coordonnées $\binom xy$.
Nous avons alors :
$$\Vert \vec u \Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$
Démonstration
Cette propriété se démontre assez simplement grâce au théorème de Pythagore.
Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit un vecteur $\vec u$ de coordonnées $\binom xy$, les points $A$ et $B$ tels que $\overrightarrow{AB\ }=\vec u$, et le point $C$ tel que $\overrightarrow{AC\ }=x\vec \imath$ et $\overrightarrow{CB\ }=y\vec \jmath$.
Le repère étant orthonormé, et donc orthogonal, le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
- Nous avons donc, d’après le théorème de Pythagore :
$$ AB^2=AC^2+CB^2$$
Or, nous avons :
- $AB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\Vert \vec u\Vert$,
- $AC=\Vert \overrightarrow{AC\ }\Vert =\Vert x\vec \imath\Vert$,
- $CB=\Vert \overrightarrow{CB\ }\Vert =\Vert y\vec \jmath\Vert$.
- Nous pouvons donc écrire :
$$\begin{aligned} \Vert \vec u\Vert ^2&=\Vert x\vec \imath\,\Vert ^2+\Vert y\vec \jmath\,\Vert ^2 \\ &=(\vert x \vert \times \Vert \vec \imath\,\Vert )^2+(\vert y \vert \times \Vert \vec \jmath\,\Vert )^2 \\ &=\vert x \vert^2 \times \Vert \vec \imath\,\Vert^2+\vert y \vert^2 \times \Vert \vec \jmath\,\Vert^2 \\ &=x^2 \times \Vert \vec \imath\,\Vert^2+y^2 \times \Vert \vec \jmath\,\Vert^2 \end{aligned}$$
Le repère étant orthonormé, nous avons $\Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =1$ et donc :
$$\begin{aligned} \Vert \vec u\Vert ^2&=x^2\times 1^2+y^2\times 1^2 \\ &=x^2+y^2 \end{aligned}$$
Une norme étant une longueur, elle est positive, donc :
$$\Vert \vec u\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$$
Avec cette formule, nous pouvons calculer la distance entre deux points, si nous connaissons leurs coordonnées dans un repère orthonormé.
À retenir
Dans un repère orthonormé $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, soit deux points $A$, de coordonnées $(x_A\ ;\, y_A)$, et $B$, de coordonnées $(x_B\ ;\, y_B)$.
Le vecteur $\overrightarrow{AB\ }$ a pour coordonnées :
$$\begin{pmatrix} x_B-x_A \\ y_B-y_A \end{pmatrix}$$
Nous avons alors, avec la propriété précédente :
$$AB=\Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert =\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$
Illustrons ces propriétés par un exemple.
Exemple
Dans un repère orthonormé du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$, nous considérons quatre points :
- $A$, de coordonnées $(2\ ;\, 3)$ ;
- $B$, de coordonnées $(6\ ;\, 2)$ ;
- $C$, de coordonnées $(7\ ;\, -2)$ ;
- $D$, de coordonnées $(3\ ;\, -1)$.
- Calculons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$, ainsi que du vecteur opposé à ce dernier.
Les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} 6-2 \\ 2-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Celles de $\overrightarrow{CD\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} 3-7 \\ -1-(-2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Celles de $-\overrightarrow{CD\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} -(-4) \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Comme $-\overrightarrow{CD\ }=\overrightarrow{DC\ }$, $\overrightarrow{DC\ }$ a pour coordonnées :
$$\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$$
Nous remarquons que les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ et celles de $\overrightarrow{DC\ }$ sont égales ; nous avons donc :
$$\overrightarrow{\red A\green B\ }=\overrightarrow{\purple D\blue C\ }$$
- Comme nous l’avons vu dans le cours précédent, nous pouvons donc dire que le quadrilatère $\red A\green B\blue C\purple D$ est un parallélogramme.
- Montrons d’une autre façon que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculons, d’une part, les coordonnées de la somme des vecteurs $\overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ }$.
Pour cela, nous avons déjà les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$, calculons donc celles de $\overrightarrow{AD\ }$ :
$$\begin{pmatrix} 3-2 \\ -1-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$$
Les coordonnées du vecteur somme $\overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ }$ sont ainsi :
$$\begin{pmatrix} 4+1 \\ -1+(-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$$
Calculons, d’autre part, les coordonnées de $\overrightarrow{AC\ }$ :
$$\begin{pmatrix} 7-2 \\ -2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -5 \end{pmatrix}$$
Leurs coordonnées étant égales, les vecteurs $\overrightarrow{AC\ }$ et $\overrightarrow{AB\ }+\overrightarrow{AD\ }$ sont donc égaux :
$$\overrightarrow{\red A\blue C\ }=\overrightarrow{\red A\green B\ }+\overrightarrow{\red A\purple D\ }$$
- Par la règle du parallélogramme, aussi vue dans le cours précédent, nous pouvons conclure que le quadrilatère $\red A\green B\blue C\purple D$ est un parallélogramme.
- Déterminons les coordonnées du point d’intersection $I$ des diagonales de $ABCD$.
Nous venons de montrer (de deux façons, qui sont équivalentes) que $ABCD$ est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent donc en leur milieu, d’après la propriété vue au collège, et le point $I$ est le milieu du segment $[AC]$ (et du segment $[BD]$).
Nous utilisons la propriété sur le milieu d’un segment, ici $[AC]$, pour déterminer les coordonnées de $I$ :
$$\left( \dfrac {2+7}2\ ;\, \dfrac {3-2}2\right)=\left( \dfrac 92\ ;\, \dfrac 12\right)$$
- Les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ du parallélogramme $ABCD$ se coupent donc au point $I$, de coordonnées $(4,5\ ;\, 0,5)$.
- Calculons maintenant la norme des vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AD\ }$.
Nous travaillons dans un repère orthonormé, nous pouvons donc utiliser la propriété vue plus haut pour calculer ces normes, en utilisant les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AD\ }$ que nous avons déjà déterminées :
$$\begin{aligned} \Vert \overrightarrow{AB\ }\Vert &=\sqrt{4^2+(-1)^2} \\ &=\sqrt{17} \\ \\ \Vert \overrightarrow{AD\ }\Vert &=\sqrt{1^2+(-4)^2} \\ &=\sqrt{17} \\ \end{aligned}$$
Nous avons donc $AB=AD$. Ainsi, le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme dont deux côtés consécutifs sont de même longueur.
- $ABCD$ est donc un losange.
Nous pouvons aussi remarquer que, donc, ses diagonales, en plus de se couper en leur milieu, sont perpendiculaires. - Nous cherchons enfin les coordonnées du point $E\,(x_E\ ;\, y_E)$ tel que :
$$\overrightarrow{AE\ }=1,5 \overrightarrow{BC\ }$$
Nous déterminons pour commencer les coordonnées du vecteur $1,5\overrightarrow{BC\ }$, en remarquant que, comme $ABCD$ est un parallélogramme, $\overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{AD\ }$.
Les coordonnées de $1,5\overrightarrow{BC\ }$ sont donc égales aux coordonnées de $1,5\overrightarrow{AD\ } :$
$$\begin{pmatrix} 1,5 \times 1 \\ 1,5\times (-4) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1,5 \\ -6 \end{pmatrix}$$
Celles de $\overrightarrow{AE\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} x_E-2 \\ y_E-3 \end{pmatrix}$$
Comme deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales, nous obtenons :
$$\begin{cases} x_E-2=1,5 \\ y_E-3=-6 \end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x_E=3,5 \\ y_E=-3 \end{cases}$$
- Les coordonnées du point $E$ sont donc $(3,5\ ;\, -3)$.
Le schéma suivant représente tous les éléments que nous avons travaillés dans cet exemple. Il permet aussi de vérifier que nos calculs correspondent :
Colinéarité et déterminant de deux vecteurs
Colinéarité et déterminant de deux vecteurs
- Dans cette deuxième partie, nous nous plaçons dans un repère orthonormé du plan $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,)$.
Critère de colinéarité
Critère de colinéarité
De la définition de deux vecteurs colinéaires $\vec u$ et $\vec v$, que nous avons vue dans le cours précédent, et des coordonnées de $k\vec v$ que nous venons d’apprendre à déterminer, nous pouvons tirer la propriété suivante.
Propriété
Soit deux vecteurs non nuls $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$.
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si il existe un réel $k$ tel que :
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} kx^{\prime} \\ ky^{\prime} \end{pmatrix}$$
- Autrement dit, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
Exemple
Soit deux vecteurs :
$$\vec u\begin{pmatrix} \red 9 \\ \textcolor{#FFA500}{-6} \end{pmatrix} \quad \text{et}\quad \vec v\begin{pmatrix} \blue{-3} \\ \purple 2 \end{pmatrix}$$
Nous remarquons que :
$$\begin{pmatrix} \red 9 \\ \textcolor{#FFA500}{-6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \green{-3} \times (\blue{-3}) \\ \green{-3}\times \purple 2 \end{pmatrix}$$
Nous en déduisons que :
$$\vec u=\green{-3}\vec v$$
- Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires.
Déterminant de deux vecteurs et colinéarité
Déterminant de deux vecteurs et colinéarité
Parfois, il n’est pas évident de trouver le coefficient de proportionnalité entre les coordonnées de deux vecteurs. Nous allons donc voir une autre façon de caractériser la colinéarité de deux vecteurs, par leur déterminant.
Définition
Déterminant de deux vecteurs :
Soit deux vecteurs $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$ dans un repère orthonormé.
Le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est le nombre réel : $x\times y^{\prime}- y\times x^{\prime}$.
- On note :
$$\text{det}(\vec u,\,\vec v)=\begin{vmatrix} \green x & \purple{x^{\prime}} \\ \purple y & \green{y^{\prime}} \end{vmatrix}=\green{xy^{\prime}}-\purple{yx^{\prime}}$$
Propriété
Soit deux vecteurs du plan $\vec u\,\binom xy$ et $\vec v\,\binom {x^{\prime}}{y^{\prime}}$ dans un repère orthonormé.
Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
$$\text{det}(\vec u,\,\vec v)=xy^{\prime}-yx^{\prime}=0$$
Démontrons cette propriété.
Démonstration
- Traitons d’abord le cas où $\vec u$ ou $\vec v$ est nul.
Dans ce cas-là, l’équivalence est assez immédiate.
En effet :
- le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur ;
- si $\vec u$ est nul, alors nous avons :
$$\begin{aligned} \text{det}(\vec 0,\,\vec v)&=\begin{vmatrix} 0 & x^{\prime} \\ 0 & y^{\prime} \end{vmatrix} \\ &=0\times y^{\prime}-0\times x^{\prime} \\ &=0 \end{aligned}$$
- idem si $\vec v$ est nul : $\text{det}(\vec u,\,\vec 0)=0$.
- Traitons maintenant le cas où $\vec u$ et $\vec v$ sont non nuls.
- Montrons d’abord que, si $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires, alors leur déterminant est nul.
Par hypothèse, $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires. Donc, comme nous l’avons dit plus haut, leurs coordonnées sont proportionnelles et le tableau de leurs coordonnées est un tableau de proportionnalité :
| $x$ | $y$ |
| $x^\prime$ | $y^\prime$ |
Puisque c’est un tableau de proportionnalité, les produits en croix $x\times y^{\prime}$ et $y\times x^{\prime}$ sont égaux :
$$x\times y^{\prime}=y\times x^{\prime}\Leftrightarrow x\times y^{\prime}-y\times x^{\prime}=0$$
Finalement, comme par définition $\text{det}(\vec u,\,\vec v)=x\times y^{\prime}-y\times x^{\prime}$, nous trouvons bien que le déterminant des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est nul.
- Nous venons de montrer que, si deux vecteurs sont colinéaires, alors leur déterminant est nul.
- Il nous reste donc à montrer la réciproque : si le déterminant de $\vec u$ et $\vec v$ est nul, alors ils sont colinéaires.
Par hypothèse, le vecteur $\vec v$ est non nul, donc une de ses coordonnées est non nulle.
Supposons que ce soit $x^{\prime}$. Nous pouvons alors écrire :
$$\begin{aligned} \text{det}(\vec u,\,\vec v)=0 &\Leftrightarrow xy^{\prime}-yx^{\prime}=0 \\ &\Leftrightarrow xy^{\prime}=yx^{\prime} \\ &\Leftrightarrow y=\green{\dfrac x{x^{\prime}}}y^{\prime} \end{aligned}$$
Posons $k=\green{\frac x{x^{\prime}}}$. Nous avons donc :
$$\begin{cases} x=kx^{\prime} \\ y=ky^{\prime} \end{cases}$$
Il existe donc un réel $k$ tel que $\vec u=k\vec v$. Les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont donc colinéaires.
Si nous supposons cette fois que c’est $y^{\prime}$ qui est non nul, alors, de la même façon :
$$\text{det}(\vec u,\,\vec v)=0 \Leftrightarrow x=\dfrac y{y^{\prime}}x^{\prime}$$
En posant, $k=\frac y{y^{\prime}}$, nous arrivons à la même conclusion.
- Nous venons de montrer que, si le déterminant de deux vecteurs est nul, alors ils sont colinéaires.
Applications
Applications
Rappel
Dans le cours précédent, nous avons appris les propriétés suivantes :
- deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{CD\ }$ sont colinéaires ;
- trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB\ }$ et $\overrightarrow{AC\ }$ sont colinéaires
Ces propriétés peuvent ainsi s’écrire de la manière suivante.
Propriété
- Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan, avec, d’une part, $A$ et $B$ distincts et, d’autre part, $C$ et $D$ distincts.
- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })=0$.
- Soit $A$, $B$ et $C$ trois points du plan.
- Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si $\text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ })=0$.
Exemple
Dans un repère orthonormé, soit les cinq points suivants :
- $A$, de coordonnées $(-1\ ;\, -3)$ ;
- $B$, de coordonnées $(5\ ;\, -7)$ ;
- $C$, de coordonnées $(2\ ;\, 4)$ ;
- $D$, de coordonnées $(-19\ ;\, 18)$ ;
- $E$, de coordonnées $(14\ ;\, -13)$.
- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Les coordonnées de $\overrightarrow{AB\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} 5-(-1) \\ -7-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}$$
Les coordonnées de $\overrightarrow{CD\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} -19-2 \\ 18-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -21 \\ 14 \end{pmatrix}$$
Nous avons donc :
$$\begin{aligned} \text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{CD\ })&=\begin{vmatrix} \green 6 & \purple{-21} \\ \purple{-4} & \green{14}\end{vmatrix} \\ &=\green{6\times 14}-\big(\purple{-21\times (-4)} \big) \\ &=\green{84}-\purple{84} \\ &=0 \end{aligned}$$
- Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont donc parallèles.
- Le point $E$ appartient-il à la droite $(AB)$ ?
Autrement dit : les points $A$, $B$ et $E$ sont-ils alignés ?
Les coordonnées de $\overrightarrow{AE\ }$ sont :
$$\begin{pmatrix} 14-(-1) \\ -13-(-3) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15 \\ -10 \end{pmatrix}$$
Nous avons donc :
$$\begin{aligned} \text{det}(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AE\ })&=\begin{vmatrix} \green 6 & \purple{15} \\ \purple{-4} & \green{-10}\end{vmatrix} \\ &=\green{6\times (-10)}-\big(\purple{15\times (-4)} \big) \\ &=\green{-60}-(\purple{-60}) \\ &= -60 + 60 \\ &=0 \end{aligned}$$
- Les points $A$, $B$ et $E$ sont alignés, et $E$ appartient donc à $(AB)$.
Conclusion :
Dans les deux derniers cours, nous avons découvert cette notion extrêmement importante que sont les vecteurs. Vous vous en servirez à l’avenir très souvent, tant pour modéliser des problèmes en physique que pour démontrer des propriétés géométriques, comme nous l’avons un peu déjà fait dans les exemples de cette fiche.
Il est donc important de manipuler souvent ces vecteurs, afin d’acquérir certains automatismes, qui vous permettront de résoudre nombre d’exercices.