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Optimisation et modélisation du transport de l’électricité

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Introduction :

La découverte des propriétés de l’électricité est le fruit du travail acharné des plus brillants scientifiques de ces derniers siècles. La compréhension des différentes propriétés électriques, aujourd’hui acquise, est au moins aussi importante que l’invention de la roue. L’électricité peut être considérée comme le moteur de la civilisation moderne.
Dans le chapitre précédent, nous avons vu comment produire de l’énergie et également comment la convertir en énergie électrique. Ici, nous nous proposons d’étudier un élément essentiel à son utilisation : son transport.

Ainsi, nous étudierons dans un premier temps les lois qui régissent le transport de l’électricité et les défis que pose ce transport sur les longues distances. Puis, nous verrons en détail le réseau de distribution électrique, de son lieu de production à son utilisation. Enfin, nous nous intéresserons à une méthode schématique permettant, de façon simple, l’optimisation du transport de l’électricité, en intégrant les différentes lois étudiées précédemment.

Les principes physiques du courant électrique

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Rappel

Le courant électrique est un phénomène physique qui provient du déplacement de charges électriques dans un matériau conducteur.

Lois électriques

  • L’intensité électrique
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Rappel

L’intensité électrique est une grandeur qui désigne le nombre de charges électriques transitant à travers une surface par unité de temps.
Mathématiquement, cela se traduit de la manière suivante : I=qtI=\dfrac{q}{t}II est l’intensité du courant électrique en ampère (A\text{A}), qq la quantité de charges électriques traversant une surface donnée en coulomb (C\text{C}) durant le temps tttt représente le temps en seconde.

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Astuce

Le coulomb (C\text{C}) se définit comme la charge électrique traversant une surface SS parcourue par un courant d’intensité de 11 ampère durant une seconde.
Ainsi, le coulomb n’est pas une unité de base (comme le sont le mètre ou la seconde par exemple), car il se définit par rapport à d’autres unités.

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Exemple

Prenons un exemple concret :

Électrons déplacement fil de cuivre

Dans un fil de cuivre, un milliard d’électrons traversent la surface SS chaque nanoseconde.
Quelle serait alors l’intensité du courant électrique traversant ce fil, tout en sachant que la valeur absolue de la charge électrique d’un électron est de 1,61019C1,6\cdot 10^{-19}\,\text{C} ?

Si nous reprenons donc la formule mathématique du calcul de l’intensité du courant électrique, nous avons :

I=qtI=\dfrac{q}{t}
I=1milliard×chargeeˊlectron1nanosecondeI=\dfrac{1\,\text{milliard}\times\text{charge}_{\text{électron}}}{1\,\text{nanoseconde}}
I=109×(1,61019109=0,16AI=\dfrac{10^9\times (1,6\cdot 10^{-19}}{10^{-9}}=0,16\,\text{A}

Nous obtenons un courant de 0,16A0,16\,\text{A}.

  • La tension et la résistance électrique

L’électricité est basée sur le déplacement des électrons, porteurs de charge négative, dans un matériau conducteur.

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Rappel

Revenons un instant sur la structure même de la matière : un atome est composé d’un noyau (protons + neutrons) et de plusieurs électrons gravitant autour de ce noyau.

Dans un matériau conducteur, certains électrons ne sont plus liés au noyau de leur atome, comme c’est le cas dans l’exemple du cuivre proposé plus haut, où un électron par atome est dit « libre ».
En soumettant une différence de potentiel électrique (ou tension électrique) aux deux bouts d’un matériau conducteur, les électrons libres vont tous se déplacer dans une même direction, créant ainsi un courant électrique, de la borne - vers la borne ++.
Toutefois, la circulation des électrons est freinée par leur frottement avec le conducteur (ici le fil de cuivre) : c’est cette propriété de régulation que l’on nomme la résistance électrique (notée RR).

Nous pouvons relier cette différence de potentiel électrique (tension) au courant électrique (intensité) par la loi d’Ohm : U=RIU=RIUU est la différence de potentiel électrique (ou la tension) en volt (V\text{V}), RR la résistance électrique en ohm (Ω\Omega) et II l’intensité du courant électrique en ampère (A\text{A}).

  • La résistance électrique est une notion essentielle : elle représente la propension d’un matériau à s’opposer au courant électrique.
  • La puissance électrique

De même, nous pouvons définir la puissance électrique à partir de la différence de potentiel électrique.
La puissance d’un appareil électrique est le produit de la tension (UU) par l’intensité (II).

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Définition

Puissance électrique :

En régime continu, la puissance électrique d’un générateur (ou récepteur) est l’énergie électrique échangée entre les charges électriques et le générateur (récepteur) par unité de temps.
Elle est exprimée en watt et est équivalente à : P=UIP=UI La puissance électrique reçue est donc une mesure de l’énergie par unité de temps.

Toutefois, la puissance électrique émise par un générateur n’est pas exactement égale à celle reçue par un utilisateur. En effet, durant le transport de l’électricité, il y a des pertes électriques.

Les pertes par effet Joule

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À retenir

Quand les électrons se déplacent dans un fil conducteur, ils entrent en collision avec les atomes constituant ce fil et sont donc freinés : c’est ce qui se cache derrière la notion de résistance électrique.
Ce frein est accompagné d’une perte de puissance.

Regardons de plus près cette perte de puissance :

Ligne électrique

Le schéma d’une ligne électrique est composé d’une force électromotrice EE (tension fournie par le générateur), ainsi que d’une résistance RR représentant la résistance de la ligne électrique elle-même.
Nous voyons que la force électromotrice EE fournie par le générateur n’est pas la même que la tension UU reçue par l’utilisateur. Nous pouvons schématiquement en déduire que : U=EURU=E-URURUR représente la tension aux bornes de la résistance de la ligne électrique en volt (V\text{V}).

En reprenant les lois précédemment étudiées, nous pouvons calculer la puissance PP reçue par l’utilisateur :
P=UIP=UI
P=(EUR)IP=(E-UR)I
P=EIURIP=EI-U
RI
P=EI(RI)IP=EI-(RI)I
P=EIRI2P=EI-RI^2

EIEI représente la puissance électrique fournie par le générateur en watt (W\text{W}) et RI2RI^2 la puissance électrique perdue (d’où le signe négatif devant) par la résistance électrique du fil : c’est ce que nous appellerons les pertes dissipées par effet Joule.

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À retenir

Les pertes dissipées par effet Joule se manifestent par une augmentation de la température du fil conducteur.
Ces pertes sont donc dissipées sous forme de chaleur.

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Définition

Effet Joule :

L’effet Joule est la chaleur produite à partir de l’énergie électrique lorsque le courant passe dans un conducteur qui présente une résistance électrique de valeur RR. Cette chaleur correspond donc à des pertes de puissance, appelées pertes par effet Joule, qui sont équivalentes à : Peffet Joule=RI2P_{\text{effet Joule}}=RI^2

  • Ainsi, dans l’optique de diminuer les pertes par effet Joule, il sera donc préférable de diminuer l’intensité II.
    Dans le même temps, pour pouvoir garantir une puissance PP constante, il faudra donc augmenter la tension EE du générateur : P=EIRI2P=EI-RI^2

Dans le transport de l’électricité, il est donc possible de conserver la puissance d’un courant électrique, tout en diminuant les pertes par effet Joule : c’est là tout l’intérêt des lignes à haute tension.

Le réseau électrique en France

Dans cette partie, nous détaillerons l’architecture du réseau de distribution de l’électricité en France. Pour cela, nous allons d’abord faire la distinction entre les courants continu et alternatif.

Courant continu et courant alternatif

À la fin des années 1880 aux États-Unis, il y eu ce que l’on appelle « la guerre des courants » qui opposait Thomas Edison à George Westinghouse et Nikola Tesla.
Il s’agissait de l’opposition entre l’utilisation de l’électricité par courant continu ou par courant alternatif. Bien que cette opposition fut finalement plus une question d’ordre financier, elle demeure fondamentale pour le transport de l’électricité.

Jusqu’à présent, nous avons essentiellement abordé la notion de courant électrique sous sa forme continue. Dans ce cas, il s’agit donc d’un transport continu d’électrons dans un fil conducteur, dans un seul sens, de la borne - vers la borne ++.

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Attention

Le sens conventionnel du courant est de la borne positive vers la borne négative.
Les électrons se déplacent à sens inverse du courant, donc de la borne - à la borne ++.

Or, le réseau de distribution de l’électricité est un réseau de transport de courant alternatif.
Le courant alternatif est un courant périodique et sinusoïdal :

  • il est périodique, car il est constitué d’un motif (perturbation qui augmente et diminue de manière périodique) se répétant à intervalles de temps réguliers (période notée TT et exprimée en seconde) ;
  • il est sinusoïdal, car sa tension varie au fil du temps, avec des phases d’accélération et de décélération du flux d’électrons, et peut se définir mathématiquement à l’aide de la fonction sinus.

courant continu alternatif temps

Par exemple, en France, l’électricité nous est distribuée en 50Hz50\,\text{Hz}, ce qui signifie qu’il y a 5050 périodes dans une seconde et que la période du signal électrique que nous recevons est donc de 20millisecondes20\,\text{millisecondes}.

Comme nous l’avons vu, l’un des points essentiels à retenir dans le transport de l’électricité est de diminuer autant que faire se peut l’effet Joule : pour cela, il est intéressant de transporter l’électricité avec une tension la plus grande possible.

  • L’idée est donc de produire de l’électricité à très haute tension, la transporter sur de longues distances et la transformer en basse tension juste avant distribution.
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À retenir

Et c’est là que prend tout le sens d’utiliser le courant alternatif, car les pertes liées à la transformation d’un courant alternatif de haute tension en basse tension sont bien moindres qu’en utilisant un courant continu, avec nos technologies actuelles.

Sachant que le réseau de distribution est en courant alternatif, il est important de connaître les lois de la physique qui s’y rattachent.
Par définition, les pertes par effet Joule ainsi que la puissance électrique sont proportionnels à l’intensité du courant électrique. Mais concernant un signal électrique alternatif, l’intensité du courant électrique varie au cours du temps. Ainsi, les pertes par effet Joule ainsi que la puissance électrique vont elles-mêmes varier au cours du temps, ce qui rend difficile leur calcul. Néanmoins, sachant que les variations de ces grandeurs se répètent à chaque période TT, il est donc possible d’en définir des valeurs moyennes. Pour cela, nous allons utiliser le courant continu IeffI{eff}, dit « efficace ». Sa valeur est de : Ieff=Imax2I{eff}=\dfrac{I{max}}{\sqrt 2}ImaxI{max} est l’intensité du courant électrique maximale en ampère.

La puissance électrique PP et les pertes par effet Joule Peffet JouleP{\text{effet Joule}} dans le cas d’un courant alternatif sont donc de :
P=Ueff×Ieff×cosϕP=U
{eff}\times I{eff}\times\cos\phi
PeffetJoule=RIeff2P
{effet\,Joule}={RI_{eff}}^2

Pour se donner une idée de ce que représente ce courant continu dit « efficace » pour un courant alternatif, on peut se dire que les pertes par effet Joule provenant d’un courant alternatif d’intensité maximale ImaxI{max} sont les mêmes que les pertes par effet Joule provenant d’un courant continu IeffI{eff}.

Architecture du réseau en France

Il existe une multitude de technologies différentes permettant la production d’électricité.
À grande échelle, nous parlerons de centrales : éolienne, nucléaire, thermique à flamme (charbon), hydraulique, électrique solaire, etc.
Il est plus intéressant d’un point de vue économique et logistique de construire plusieurs grandes centrales qu’une multitude de moindre taille.

Se pose alors le problème de l’acheminement de l’électricité de son lieu de production à son lieu d’utilisation sur plusieurs centaines de kilomètres.

réseau distribution électricité France tension

Pour ce faire, le transport de l’électricité commence par une très haute tension de l’ordre de 400000V400\,000\,\text{V} sur de longues distances, puis de haute tension de 90000V90\,000\,\text{V} environ, suivi de moyenne tension de 20000V20\,000\,\text{V} et enfin de basse tension de 230V230\,\text{V} pour alimenter les foyers.
L’abaissement de tension est réalisé à l’aide de transformateurs.

Maintenant que nous avons vu l’architecture du réseau électrique ainsi que les différentes lois qui s’y appliquent, nous allons aborder l’optimisation du transport de l’électricité.

Optimisation du transport de l’électricité

Représentation schématique d’un réseau de distribution électrique

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Astuce

Leonhard Euler introduisit la notion de graphe lors de la résolution du problème mathématique des sept ponts de Königsberg. Pour votre culture générale et pour satisfaire votre curiosité, nous vous invitons à vous documenter sur ce cas précis !

Pour optimiser le transport de l’électricité dans un réseau de transport de distribution électrique où le but sera de limiter les pertes par effet Joule, nous utiliserons les graphes orientés pour pouvoir poser le problème le plus simplement possible.

Pour construire un graphe orienté, on part du modèle du circuit électrique :

Modèle réseau distribution électricité sources cibles

Schématiquement, nous représentons donc un réseau de transport électrique par modèle qui donne à voir :

  • les lignes assorties d’une résistance, notée RR, représentant les lignes électriques ;
  • les sommets, représentant les sources distributrices, notées SS ;
  • les cibles destinatrices, notés CC ;
  • les nœuds intermédiaires entre les sources et les cibles.

Ici, il pourrait s’agir donc de la représentation de l’approvisionnement de cinq villes (CC) alimentées par trois centrales (SS).

La simplification de ce modèle, pour mettre en évidence les sources, les cibles, les nœuds et le sens du courant, donnera donc le graphe orienté suivant :

Graphe orienté réseau distribution électricité sources cibles

Pour simplifier la résolution de l’optimisation du transport de l’électricité, nous supposerons que les courants et tensions sont tous continus.
Pour cette optimisation, il faut prendre en considération plusieurs lois.

  • Tout d’abord, l’intensité électrique maximale délivrée par une source est limitée par la puissance maximale PmaxP{max} fournie par celle-ci : IPmaxEI\le\dfrac{P{max}}{E}EE représente la tension délivrée par la source. Ainsi, si l’on se réfère au graphe orienté ci-dessus :
    I1P1,maxEI1\le\dfrac{P{1, max}}{E}
    I2P2,maxEI2\le\dfrac{P{2, max}}{E}
    I3P3,maxEI3\le\dfrac{P{3, max}}{E}

  • La loi des nœuds est aussi à prendre en compte. La somme des intensités électriques entrantes dans un nœud est égale à la somme des intensités sortantes : Itot=I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I8I{tot}=I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I8ItotI{tot} représente l’intensité électrique totale entrante (ou sortante) dans le nœud.

  • Enfin, l’intensité totale arrivant à chaque cible est imposée par la puissance qui y est utilisée. Si par exemple la ville C1C1 utilise 13,5meˊgawatts13,5\,\text{mégawatts} et que la tension délivrée à la ville est de 90kilovolts90\,\text{kilovolts}, alors l’intensité électrique I4I4 sera de : I=PU=13,510690103=150AI=\dfrac{P}{U}=\dfrac{13,5\cdot 10^6}{90\cdot 10^3}=150\,\text{A}

Étude d’un cas particulier

  • Exposition du problème et identification des différentes valeurs et des pertes par effet Joule

Ici, nous nous proposons de résoudre entièrement le cas d’une optimisation du transport de l’électricité de deux cibles C1C1 et C2C2 alimentées par deux sourcesS1S1 et S2S2, à l’aide d’un graphe orienté.

modèle électrique graphe orienté réseau transport distribution sources cibles

Nous souhaitons donc déterminer les intensités I1I1 et I2I2 de sorte à minimiser la puissance totale dissipée par effet Joule équivalente à :
Peffet Joule=k=1nRkIk2P{\text{effet Joule}}=\displaystyle\sum{k=1}^n Rk\cdot I^2k
Peffet Joule=R1I12+R2I22+R3I32+R4I42P{\text{effet Joule}}=R1\cdot I^21+R2\cdot I^22+R3\cdot I^23+R4\cdot I^2_4

D’après la loi des nœuds, le courant électrique total entrant dans le nœud et en sortant est de : Itot=I1+I2=I3+I4I{tot}=I1+I2=I3+I_4

Puis notons K=R3I32+R4I42K=R3\cdot I^23+R4\cdot I^24, la constante correspondant aux pertes par effet Joule des cibles C1C1 et C2C2.
Par ailleurs, I1+I2=ItotI1+I2=I{tot} donc nous pouvons remplacer I2I2 par ItotI1I{tot}-I1 et nous pouvons en déduire queI1ItotS2I1\le I{tot}-S2. Alors l’intensité I1I1 est contrainte à varier dans l’intervalle [ItotS2,S1][I{tot}-S2,S_1].

Ainsi, nous pouvons réécrire les pertes par effet Joule comme ceci :
Peffet Joule=R1I12+R2(ItotI1)2+R3I32+R4I42P{\text{effet Joule}}=R1\cdot I^21+R2\cdot (I{tot}-I1)^2+R3\cdot I^23+R4\cdot I^24
Peffet Joule=R1I12+R2(ItotI1)2+KP{\text{effet Joule}}=R1\cdot I^21+R2\cdot (I{tot}-I1)^2+K

Le but ici étant de mettre les pertes par effet Joule en fonction d’une seule intensité électrique.

  • Résoudre un problème de distribution de l’électricité à deux sources et deux cibles revient donc à minimiser la puissance totale dissipée par effet Joule sous la forme d’une équation du second degré :
    Peffet Joule=R1I12+R2(ItotI1)2+KP{\text{effet Joule}}=R1\cdot I^21+R2\cdot (I{tot}-I1)^2+K

Dans notre exemple, admettons que :

  • R1=1ΩR1=1\,\Omega, R2=0,5ΩR2=0,5\,\Omega, R3=0,1ΩR3=0,1\,\Omega et R4=0,1ΩR4=0,1\,\Omega ;
  • la source S2S2 peut produire un courant d’intensité I2I2 de 4,5A4,5\,\text{A} maximum ;
  • les cibles C1C1 et C2C2 consomment 1150W1\,150\,\text{W} et 230W230\,\text{W} respectivement et sont branchées sur le secteur (230V230\,\text{V}).
  • Calcul du courant électrique total sortant du nœud

Avec les données que nous avons, nous pouvons calculer l’intensité totale du courant électrique ItotI{tot} :
Itot=I3+I4I
{tot}=I3+I4
Itot=PC1U+PC2UI{tot}=\dfrac{P{C1}}{U}+\dfrac{P{C2}}{U}
Itot=1150230+230230I
{tot}=\dfrac{1\,150}{230}+\dfrac{230}{230}
Itot=5+1=6AI_{tot}=5+1=6\,\text{A}

Sachant que Itot=6AI{tot}=6\,\text{A} et que I26AI2\le 6\,\text{A}, alors I2=6I1I2=6-I1. Nous pouvons donc en déduire l’intervalle dans lequel I1I_1 se trouve :

Itot=6I{tot}=6, donc forcément I16I1\le 6
I2S2I2\le S2, et S24,5AS2\le 4,5\,\text{A} max, alors on a I11,5I1\ge 1,5
I1=[1,5;6]I_1=[1,5; 6]

  • Minimisation de l’effet Joule

Peffet Joule=R1I12+R2I22+R3I32+R4I42P{\text{effet Joule}}=R1\cdot I^21+R2\cdot I^22+R3\cdot I^23+R4\cdot I^24
Peffet Joule=I12+0,5×(6I1)2+(0,1×52)+(0,1×11)P
{\text{effet Joule}}=I^21+0,5\times(6-I1)^2+(0,1\times 5^2)+(0,1\times 1^1)
Peffet Joule=I12+(6I1)22+2,5+0,1P{\text{effet Joule}}=I^21+\dfrac{(6-I1)^2}{2}+2,5+0,1
Peffet Joule=3I1226I1+20,6P
{\text{effet Joule}}=\dfrac{3I^21}{2}-6I1+20,6

  • Reformulation des pertes par effet Joule de façons canoniques et résolution

Pour minimiser la fonction Peffet JouleP{\text{effet Joule}} et ainsi obtenir la valeur de l’intensité électrique I1I1 pour laquelle les pertes par effet Joule sont moindres, le plus simple est de passer par sa forme canonique.

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Propriété

Toute fonction polynôme du second degré, et donc de type f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c peut se mettre sous une forme dite canonique et qui correspond à : f(x)=a(xα)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaaa, bb, cc, α\alpha et β\beta sont des constantes.

Voici les étapes pour reformuler les pertes par effet Joule de façon canonique :
Peffet Joule=3I1226I1+20,6P{\text{effet Joule}}=\dfrac{3I^21}{2}-6I1+20,6
Peffet Joule=32(I122×6I13+20,6P
{\text{effet Joule}}=\dfrac{3}{2}(I^21-\dfrac{2\times 6I1}{3}+20,6
Peffet Joule=32(I124I1)+20,6P{\text{effet Joule}}=\dfrac{3}{2}(I^21-4I1)+20,6
Peffet Joule=32[(I12)24]+20,6P
{\text{effet Joule}}=\dfrac{3}{2}[(I1-2)^2-4]+20,6
Peffet Joule=32(I12)2+14,6P
{\text{effet Joule}}=\dfrac{3}{2}(I_1-2)^2+14,6

Il est très simple de minimiser une fonction sous forme canonique. Nous voyons que (I12)2(I1-2)^2 est forcément positif puisqu’il s’agit d’une fonction au carré. Ainsi, pour la minimiser, il faudra donc la mettre à 00. Nous voyons donc directement que la minimisation se fait pour I1=2I1=2.

  • Vérification du résultat en traçant les pertes par effet Joule en fonction de l’intensité électrique initiale I1I_1

On peut vérifier ce résultat en le comparant à la fonction Peffet Joule(I1)P{\text{effet Joule}}(I1) où nous regarderons plus particulièrement les valeurs de I1I_1 comprise dans l’intervalle [1,5;6][1,5; 6] :

Puissance dissipée effet Joule intensité

La minimisation se fait bien pour une intensité électrique de 2ampeˋres2\,\text{ampères}. Ainsi, cela confirme bien notre résultat obtenu précédemment. Sachant que Itot=I3+I4=6AI{tot}=I3+I4=6\,\text{A}, le résultat final est donc que les pertes par effet Joule sont minimisées avec I1=2AI1=2\text{A} et I2=4AI2=4\,\text{A}.
Il est important de noter qu’il faut être vigilant à l’intervalle étudié. Ainsi, en reprenant le problème ci-dessus, si I1I
1 avait été compris entre 33 et 5ampeˋres5\,\text{ampères}, nous voyons graphiquement que la solution aurait été I1=3AI1=3\,\text{A}. Au contraire, si I1I1 avait été compris entre 00 et 1ampeˋre1\,\text{ampère}, nous voyons graphiquement que la solution aurait été I1=1AI_1=1\,\text{A}.

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Astuce

Résumé des différentes étapes de l’optimisation :

  • Poser le problème avec les différentes valeurs et les pertes par effet Joule.
  • Calculer le courant électrique total sortant du nœud (qui est le même que celui entrant) en additionnant les différents courants électriques traversant chaque cible.
  • Exprimer la minimisation de l’effet Joule.
  • Reformuler les pertes par effet Joule de façons canoniques et résoudre.
  • Tracer les pertes par effet Joule en fonction de l’intensité électrique initiale I1I_1 pour vérifier si le résultat obtenu est correct.

Conclusion

Le déplacement des électrons dans un câble électrique provoque des pertes par effet Joule. Pour limiter ces pertes, il est préférable d’utiliser des câbles électriques sous haute tension.
Le transport de l’électricité peut se modéliser à l’aide d’un graphe orienté. Celui-ci est particulièrement utile pour optimiser le transport de l’électricité en diminuant les pertes par effet Joule.

Nous avons donc étudié en détail l’optimisation du transport de l’électricité. Il serait donc maintenant judicieux de s’attarder sur sa production en elle-même. Le choix énergétique, que ce soit le choix de l’énergie atomique, des éoliennes ou du charbon entres autres, ou bien de l’utilisation de plusieurs de ces énergies à la fois, est un choix stratégique de la plus grande importance pour une société. Ce choix peut être simplement historique, économique ou pratique. Mais au jour d’aujourd’hui, la situation écologique nous force à revoir ces choix et c’est ce que nous verrons dans la deuxième partie de ce chapitre.