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Optimisation et modélisation du transport de l’électricité

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Les principes physiques du courant électrique

  • Le courant électrique est un phénomène physique qui provient du déplacement de charges électriques dans un matériau conducteur.
  • L’intensité électrique (II) est une grandeur qui désigne le nombre de charges électriques transitant à travers une surface par unité de temps. Elle s’exprime en ampère (AA) et se note : I=qtI=\dfrac{q}{t}
  • La tension électrique (UU) désigne la différence de potentiel électrique aux deux bouts d’un matériau conducteur pour créer un courant électrique, de la borne - vers la borne ++. Elle s’exprime en volt (VV) et, selon la loi d’Ohm, elle se note: U=RIU=RIRR est la résistance électrique en ohm (Ω\Omega).
  • La résistance électrique est une notion essentielle : elle représente la propension d’un matériau à s’opposer au courant électrique.
  • La puissance électrique est le produit de la tension (UU) par l’intensité (II). Elle est exprimée en watt (WW) et est équivalente à : P=UIP=UI
  • La puissance électrique émise par un générateur n’est pas exactement égale à celle reçue par un utilisateur : durant le transport de l’électricité, il y a des pertes électriques.
  • L’effet Joule est la chaleur produite à partir de l’énergie électrique lorsque le courant passe dans un conducteur qui présente une résistance électrique de valeur RR.
    Cette chaleur correspond donc à des pertes de puissance, appelées pertes par effet Joule, qui sont équivalentes à : Peffet Joule=RI2P_{\text{effet Joule}}=RI^2
  • Ainsi, dans l’optique de diminuer les pertes par effet Joule, il sera donc préférable de diminuer l’intensité II.
    Dans le même temps, pour pouvoir garantir une puissance PP constante, il faudra donc augmenter la tension EE du générateur : P=EIRI2P=EI-RI^2

Le réseau électrique en France

  • Le réseau de distribution de l’électricité est un réseau de transport de courant alternatif (courant périodique et sinusoïdal).
  • L’idée est de produire de l’électricité à très haute tension, la transporter sur de longues distances (lignes à haute tension) et la transformer en basse tension juste avant distribution.
  • Les pertes liées à la transformation d’un courant alternatif de haute tension en basse tension sont bien moindres qu’en utilisant un courant continu.
  • L’intensité du courant électrique alternatif varie au cours du temps. Ainsi, les pertes par effet Joule ainsi que la puissance électrique vont elles-mêmes varier au cours du temps, ce qui rend difficile leur calcul. Néanmoins, sachant que les variations de ces grandeurs se répètent à chaque période TT, il est possible d’en définir des valeurs moyennes en utilisant le courant continu IeffI{eff}, dit « efficace » : Ieff=Imax2I{eff}=\dfrac{I_{max}}{\sqrt 2}
  • La puissance électrique PP et les pertes par effet Joule Peffet JouleP{\text{effet Joule}} dans le cas d’un courant alternatif sont donc de :
    P=Ueff×Ieff×cosϕP=U
    {eff}\times I{eff}\times\cos\phi
    PeffetJoule=RIeff2P
    {effet\,Joule}={RI_{eff}}^2
  • L’abaissement de tension lors du transport et de la distribution de l’électricité est réalisé à l’aide de transformateurs.

Optimisation du transport de l’électricité

  • Pour optimiser le transport de l’électricité dans un réseau de transport de distribution électrique où le but sera de limiter les pertes par effet Joule, nous utiliserons un graphes orienté, construit à partir du modèle du circuit électrique. Sur ce graphe orienté, on représente les sources d’électricité (SS), les cibles (CC), le sens du courant (II) et les nœuds.

Graphe orienté réseau transport distribution électricité

  • L’intensité électrique maximale délivrée par une source est limitée par la puissance maximale PmaxP{max} fournie par celle-ci : IPmaxEI\le\dfrac{P{max}}{E}EE représente la tension délivrée par la source.
  • La loi des nœuds détermine que la somme des intensités électriques entrantes dans un nœud est égale à la somme des intensités sortantes : Itot=I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I8I{tot}=I1+I2+I3+I4+I5+I6+I7+I_8
  • L’intensité totale arrivant à chaque cible est imposée par la puissance qui y est utilisée.
  • Résumé des différentes étapes de l’optimisation :
  • Poser le problème avec les différentes valeurs et les pertes par effet Joule.
  • Calculer le courant électrique total sortant du nœud (qui est le même que celui entrant) en additionnant les différents courants électriques traversant chaque cible.
  • Exprimer la minimisation de l’effet Joule.
  • Reformuler les pertes par effet Joule de façons canoniques et résoudre.
  • Tracer les pertes par effet Joule en fonction de l’intensité électrique initiale I1I_1 pour vérifier si le résultat obtenu est correct.