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Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace

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Celles présentes sont juste des « brouillons »
afin de permettre une meilleure compréhension du cours,
jusqu’à ce que les définitives soient prêtes.

Nos graphistes font tout leur possible pour les réaliser au plus vite.

😉

Introduction :

En première, nous avons découvert le produit scalaire de deux vecteurs du plan. Il permet de calculer des longueurs, des angles, de démontrer des configurations géométriques liées à des droites perpendiculaires.
Cette notion existe aussi dans l’espace et trouve une utilité dans des problèmes de distance, d’orthogonalité, de lieux géométriques.

Nous allons, dans ce cours, définir le produit scalaire dans l’espace, retrouver ses propriétés et nous en servir pour définir l’orthogonalité dans une première partie.
Dans une deuxième partie, nous l’utiliserons dans un repère particulier de l’espace qui est un repère orthonormé : cela facilitera les preuves d’orthogonalité et les calculs de longueur.
Enfin, nous définirons la distance dans l’espace entre un point et une droite, ou entre un point et un plan dans une troisième partie.

  • Dans tout le cours, nous travaillerons dans l’espace noté E\mathcal E.

Produit scalaire de deux vecteurs de E\mathcal E

Définition

u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs non nuls et AA un point de E\mathcal E.
On note BB le point tel que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ } et CC le point tel que v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ }.

  • Si u\vec u et v\vec v sont colinéaires, alors les points AA, BB, et CC sont alignés.
  • Sinon, (AB)(AB) et (AC)(AC) sont sécantes et déterminent un plan.
  • Dans les deux cas, AA, BB et CC sont contenus dans un plan (P)(P).

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Plaçons-nous dans (P)(P) : nous pouvons exprimer et calculer le produit scalaire AB AC \overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ } dans le plan comme nous l’avons fait en première.

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Rappel

u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs du plan.

  • Le produit scalaire de u\vec u par v\vec v est le nombre réel :

uv=u×v×cos(u,v)\vec u\cdot \vec v=\Vert \vec u\Vert \times\Vert \vec v\Vert \times \cos{(\vec u,\,\vec v)}

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  • Nous pouvons aussi calculer le produit scalaire de deux vecteurs en utilisant le projeté orthogonal de CC sur (AB)(AB) :

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Dans ce cas, nous avons :

uv=AB AC ={AB×AH si H[AB)AB×AH si H[AB)\begin{aligned} \vec u\cdot \vec v &=\overrightarrow{AB\ } \cdot \overrightarrow{AC\ } \ &=\begin{cases} AB\times AH \text{ si } H\in [AB) \ -AB\times AH \text{ si } H\notin [AB) \end{cases} \end{aligned}

Revenons dans E\mathcal E, et changeons de représentants pour u\vec u et v\vec v.

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{u=AB =DE v=AC =DF {u=AB=DEv=AC=DF(AB ,AC )=(DE ,DF )\begin{cases} \vec u=\overrightarrow{AB\ }=\overrightarrow{DE\ } \ \vec v=\overrightarrow{AC\ }=\overrightarrow{DF\ } \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \Vert \vec u\Vert =AB=DE \ \Vert \vec v\Vert =AC=DF \ \left(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right)= \left( \overrightarrow{DE\ },\,\overrightarrow{DF\ }\right)\end{cases}

En conclusion :

AB AC =AB×AC×cos(AB ,AC )=DE×DF×cos(DE ,DF )=DE DF \begin{aligned} \overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ } &= AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) \ &= DE\times DF\times \cos\left(\overrightarrow{DE\ },\,\overrightarrow{DF\ }\right) \ &=\overrightarrow{DE\ }\cdot \overrightarrow{DF\ } \end{aligned}

  • Nous pouvons ainsi définir le produit scalaire uv\vec u\cdot \vec v dans E\mathcal E par cet unique nombre.
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Définition

Angle de vecteurs dans l’espace :

Soit deux vecteurs u0\vec u\neq\vec 0 et v0\vec v\neq \vec 0, et AA, BB et CC trois points tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ } et v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ }.

L’angle de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v) est égal à l’angle orienté (AB ,AC )\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) dans un plan contenant AA, BB et CC.

  • Cette mesure ne change pas lorsqu’on change les représentants de u\vec u et de v\vec v.
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Définition

Produit scalaire de deux vecteurs de E\mathcal E :

  • u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs non nuls. AA, BB et CC sont trois points tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ } et v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ }.

Le produit scalaire de u\vec u et v\vec v, noté uv\vec u\cdot \vec v, est le nombre réel :

uv=AB AC =AB×AC×cos(AB ,AC )\begin{aligned} \vec u\cdot \vec v &= \overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ } \ &=AB\times AC\times\cos\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) \end{aligned}

  • Le choix des représentants ne change pas la valeur du produit scalaire. Comme dans le plan :

uv=u×v×cos(u,v)\vec u\cdot \vec v=\Vert \vec u\Vert \times\Vert \vec v\Vert \times\cos{(\vec u,\,\vec v)}

  • Par convention, si u=0\vec u=\vec 0 ou v=0\vec v=\vec 0, alors uv=0\vec u\cdot \vec v=0.

Nous venons de définir le produit scalaire de deux vecteurs de E\mathcal E comme le produit scalaire de leurs représentants dans un plan.
Les propriétés vues en première sur le produit scalaire sont donc applicables ; nous allons les reprendre.

Propriétés du produit scalaire

u\vec u, v\vec v et w\vec w sont trois vecteurs de E\mathcal E, et λR\lambda \in \mathbb R.

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Propriété

  • uv=vu\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u.
  • Le produit scalaire est symétrique.
  • u(v+w)=uv+uw\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w.
  • Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition.
  • (λu)v=u(λv)=λuv(\lambda\vec u)\cdot \vec v=\vec u\cdot (\lambda\vec v)=\lambda\vec u\cdot \vec v.
  • Le produit scalaire est associatif.
  • uu=u2\vec u\cdot \vec u=\Vert \vec u\Vert ^2.

Nous pouvons démontrer toutes ces propriétés en utilisant la définition du produit scalaire dans le plan.

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Démonstration

En particulier intéressons-nous à la dernière : uu=u2\vec u\cdot \vec u=\Vert \vec u\Vert ^2.

uu=u×u×cos(u,u)=u2×cos(0)=u2 [car cos(0)=1]\begin{aligned} \vec u\cdot \vec u&=\Vert \vec u\Vert \times \Vert \vec u\Vert \times \cos{(\vec u,\,\vec u)} \ &=\Vert \vec u\Vert ^2\times\cos{(0)} \ &=\Vert \vec u\Vert ^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\cos{(0)}=1$]}}} \end{aligned}

Dans E\mathcal E, nous avons également les mêmes formules de polarisation que dans le plan.

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Propriété

u\vec u et v\vec v sont deux vecteurs de E\mathcal E :

  • u+v2=u2+v2+2uv\Vert \vec u +\vec v\Vert ^2 = \Vert \vec u\Vert ^2 + \Vert \vec v \Vert ^2+2\vec u\cdot \vec v.
  • uv=12(u+v2u2v2)\vec u\cdot \vec v=\frac 12(\Vert \vec u+\vec v\Vert ^2-\Vert \vec u\Vert ^2-\Vert \vec v\Vert ^2).
  • uv=12(u2+v2uv2)\vec u\cdot \vec v=\frac 12(\Vert \vec u\Vert ^2+\Vert \vec v\Vert ^2-\Vert \vec u-\vec v\Vert ^2).
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Démonstration

Démontrons la première propriété.

u+v2=(u+v)(u+v) [car ww=w2]=uu+uv+vu+vv[par distributiviteˊ]=u2+v2+2uv[par symeˊtrie : uv=vu]\begin{aligned} \Vert \vec u+\vec v\Vert ^2 &=(\vec u + \vec v)\cdot (\vec u + \vec v) \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\vec w\cdot \vec w=\Vert \vec w\Vert ^2$]}}} \ &=\vec u\cdot \vec u+\vec u\cdot \vec v+\vec v\cdot \vec u+\vec v\cdot \vec v \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par distributivité]}}} \ &=\Vert \vec u\Vert ^2+\Vert \vec v\Vert ^2+2\vec u\cdot \vec v \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[par symétrie\ :\ $\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u$]}}} \end{aligned}

Nous utilisons les propriétés du produit scalaire pour calculer des longueurs, des angles ou des aires.
Prenons un exemple.

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Exemple

Considérons le pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH où les faces ABCDABCD et EFGHEFGH sont des carrés de côté 44.
Nous allons calculer les nombres suivants :

  • EH CB \overrightarrow{EH\ }\cdot \overrightarrow{CB\ },
  • AD OG \overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{ OG \ },
  • l’angle (AD ,OG )\left( \overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right).
  • Nous calculerons, finalement, FG HC \overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HC\ }.

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  • EH CB \overrightarrow{EH\ }\cdot \overrightarrow{CB\ }

EH CB =CB CB  [car EH =CB ]=CB2 [car uu=u2 et CB =CB]=42=16\begin{aligned} \overrightarrow{EH\ }\cdot \overrightarrow{CB\ } &= -\overrightarrow{CB\ }\cdot \overrightarrow{CB\ } \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\overrightarrow{EH\ }=-\overrightarrow{CB\ }$]}}} \ &=-CB^2 \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $\vec u\cdot \vec u=\Vert \vec u\Vert ^2$ et $\Vert \overrightarrow{CB\ }\Vert=CB$]}}} \ &=-4^2 \ &=\boxed{-16} \end{aligned}

Avant de continuer l’exemple avec le point 2, expliquons la méthodologie suivante.

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À retenir

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs non colinéaires :

  • se placer dans un plan contenant les représentants de ces vecteurs ;
  • calculer le produit scalaire dans ce plan, en utilisant les propriétés de calcul et les propriétés de la figure.

Ceci étant précisé, revenons à notre exemple.

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Exemple

  • AD OG \overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{OG\ }

Dans (EFG)(EFG), EH \overrightarrow{EH\ } est un représentant de AD \overrightarrow{AD\ } et OG =EO \overrightarrow{OG\ }=\overrightarrow{EO\ }.

  • Nous avons ainsi :

AD OG =EH EO \overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{OG\ }=\overrightarrow{EH\ }\cdot \overrightarrow{EO\ }

Utilisons la méthode du projeté orthogonal : EFGHEFGH est un carré, donc le projeté orthogonal de OO sur (EH)(EH) est le milieu de [EH][EH].

  • En conclusion :

AD OG =EH×EH2=422=8\begin{aligned} \overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{OG\ }&= EH\times \dfrac{EH}2 \ &=\dfrac{4^2}2 \ &=\boxed 8 \end{aligned}

  • Nous pouvons également en déduire l’angle (AD ,OG )\left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right).

AD OG =AD×OG×cos(AD ,OG )cos(AD ,OG )=AD OG AD×OG\begin{aligned} \overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{OG\ } &= AD\times OG\times\cos\left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right) \ \Leftrightarrow \cos\left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right)&= \dfrac{\overrightarrow{AD\ }\cdot \overrightarrow{OG\ }}{AD\times OG} \end{aligned}

OGOG est la longueur d’une demi-diagonale du carré EFGHEFGH. Donc :

OG=22×EF=22×4=22\begin{aligned} OG&=\dfrac{\sqrt{2}}2 \times EF \ &=\dfrac{\sqrt{2}}2 \times 4 \ &=2\sqrt{2} \end{aligned}

Nous avons ainsi :

cos(AD ,OG )=84×22=12=22En conclusion : (AD ,OG )=π4 rad\begin{aligned} \cos\left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right) &=\dfrac 8{4\times2\sqrt{2}} \ &=\dfrac 1{\sqrt 2} \ &=\dfrac{\sqrt{2}}2 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{En conclusion\ :\ }} \left(\overrightarrow{AD\ },\,\overrightarrow{OG\ } \right)&=\boxed{\dfrac \pi4\ \text{rad}} \end{aligned}

  • FG HC \overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HC\ }

Pour ce dernier, il est difficile de trouver des représentants de FG \overrightarrow{FG\ } et HC \overrightarrow{HC\ } dans une face du pavé.

  • Utilisons donc la relation de Chasles pour décomposer le vecteur HC \overrightarrow{HC\ }.

Nous choisissons d’introduire le point GG qui est l’extrémité de FG \overrightarrow{FG\ }.

FG HC =FG (HG +GC )=FG HG +FG GC \begin{aligned} \overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HC\ } &= \overrightarrow{FG\ }\cdot \left( \overrightarrow{HG\ }+\overrightarrow{GC\ } \right) \ &=\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HG\ }+\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{GC\ } \end{aligned}

Dans (FGH)(FGH), (FG)(GH)(FG)\perp (GH).
Nous savons qu’alors FG GH =0\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{GH\ }=0.

  • Nous rappelons que ces vecteurs sont appelés orthogonaux.

Dans (FGC)(FGC), (FG)(GC)(FG)\perp(GC), donc FG \overrightarrow{FG\ } et GC \overrightarrow{GC\ } sont orthogonaux : FG GC =0\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{GC\ }=0.

  • Nous obtenons finalement :

FG HC =0\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HC\ }=\boxed 0

Dans ce dernier exemple, nous avons utilisé une propriété vue en première : dans un plan, le produit scalaire de deux vecteurs vaut 00 si et seulement si les deux vecteurs sont orthogonaux.

  • Nous allons étendre cette notion d’orthogonalité aux vecteurs de l’espace E\mathcal E.

Vecteurs orthogonaux et droites orthogonales de E\mathcal E

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Définition

Vecteurs orthogonaux de E\mathcal E :

  • u0\vec u\neq \vec 0 et v0\vec v\neq \vec 0 sont orthogonaux si et seulement si il existe deux droites coplanaires, perpendiculaires et de vecteurs directeurs respectifs u\vec u et v\vec v.
  • 0\vec 0 est orthogonal à tous les vecteurs de E\mathcal E.

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Soit u\vec u et v\vec v deux vecteurs non nuls.
u\vec u et v\vec v sont orthogonaux signifie que, dans (ABC)(ABC), AB AC =0\overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ }=0.

  • Nous en déduisons la propriété suivante.
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Propriété

u\vec u et v\vec v sont orthogonaux uv=0\Leftrightarrow \vec u\cdot \vec v=0.

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Définition

Droites orthogonales de l’espace :

Deux droites (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

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À retenir

(d)=(A ;u)(d)=(A\ ;\, \vec u) et (d)=(B ;v)(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v) sont orthogonales si et seulement si uv=0\vec u\cdot \vec v=0.

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Attention

Contrairement à ce qu’il se passe dans le plan, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Elles peuvent être non coplanaires.
Deux droites orthogonales et coplanaires sont perpendiculaires ; elles se coupent en formant un angle droit.

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À retenir

Méthodologie :

Pour montrer que deux droites de E\mathcal E sont orthogonales, nous privilégierons les vecteurs.

  • Trouver un vecteur directeur de chaque droite.
  • Calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs.
  • Si ce produit scalaire est nul, alors les deux droites sont orthogonales.
  • Si ce produit scalaire est différent de 00 alors les deux droites ne sont pas orthogonales.

Nous allons donc utiliser le produit scalaire pour démontrer que deux droites sont orthogonales.

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Exemple

Nous reprenons le pavé droit ABCDEFGHABCDEFGH ci-dessus.

  • Nous avons montré que FG HC =0\overrightarrow{FG\ }\cdot \overrightarrow{HC\ }=0. Ces deux vecteurs sont orthogonaux.
  • Nous en déduisons que (FG)(FG) et (HC)(HC) sont orthogonales. Mais, elles ne sont pas coplanaires.
  • Pour trouver deux droites coplanaires qui ont la même direction, il suffit de se placer dans (BCH)(BCH) :
  • BC =FG \overrightarrow{BC\ }=\overrightarrow{FG\ }, donc (BC)(BC) et (FG)(FG) sont parallèles, et (BC)(BC) et (HC)(HC) sont orthogonales, sécantes et perpendiculaires en CC.

Nous allons maintenant calculer les produits scalaires dans un repère particulier de E\mathcal E : le repère orthonormé. Cela rendra l’outil encore plus efficace.

Produit scalaire dans un repère orthonormé

Bases et repères orthonormés de E\mathcal E

Dans un plan, nous connaissons déjà la définition d’un repère orthonormé : c’est un repère (O ;ı,ȷ)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath\,) dans lequel les vecteurs ı\vec \imath et ȷ\vec \jmath sont orthogonaux et ı=ȷ=1\Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =1.

De façon analogue, nous allons définir une base et un repère orthonormés de E\mathcal E.
Dans les définitions suivantes, ı\vec \imath, ȷ\vec \jmath et k\vec k sont trois vecteurs de E\mathcal E, non nuls et non coplanaires.

  • Nous savons vu dans un cours précédent qu’ils forment une base de E\mathcal E.
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Définition

Base orthonormée de E\mathcal E :

(ı,ȷ,k) est une base orthonormeˊe de E{Les vecteurs sont deux aˋ deux orthogonauxLes trois vecteurs sont non coplanairesı=ȷ=k=1\begin{aligned} &(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) \text{ est une base orthonormée de } \mathcal E \ &\Leftrightarrow \ &\begin{cases} \text{Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux} \ \text{Les trois vecteurs sont non coplanaires} \ \Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =\Vert \vec k \Vert =1 \end{cases} \end{aligned}

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Définition

Repère orthonormé de E\mathcal E :

OO est un point de l’espace E\mathcal E.
(O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) forme un repère orthonormé de E\mathcal E lorsque (ı,ȷ,k)( \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) est une base orthonormée de E\mathcal E.

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Dans ce repère orthonormé (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k), nous pouvons toujours repérer les points et les vecteurs comme nous l’avons fait dans un cours précédent.

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Rappel

AA est un point de l’espace. Le triplet (xA ;yA ;zA)(xA\ ;\, yA\ ;\, zA) tel que OA =xAı+yAȷ+zAk\overrightarrow{OA\ }=xA\cdot \vec \imath + yA\cdot \vec \jmath + zA\cdot \vec k