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Orthogonalité et distances dans l’espace

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L’extension à l’espace du produit scalaire de deux vecteurs donne un outil efficace pour les problèmes de distance et d’orthogonalité. Dans cette section, on continue de combiner les outils algébriques (vecteurs, produit scalaire) et la vision géométrique de l’espace, notamment autour de l’orthogonalité : orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite, projection orthogonale sur un plan ou sur une droite.

Contenus

  • Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace. Bilinéarité, symétrie.
  • Orthogonalité de deux vecteurs. Caractérisation par le produit scalaire.
  • Base orthonormée, repère orthonormé.
  • Coordonnées d’un vecteur dans une base orthonormée. Expressions du produit scalaire et de la norme. Expression de la distance entre deux points.
  • Développement de u+v2\Vert\vec u+\vec v\Vert^2 , formules de polarisation.
  • Orthogonalité de deux droites, d’un plan et d’une droite.
  • Vecteur normal à un plan. Étant donnés un point AA et un vecteur non nul n\vec n , plan passant par AA et normal à n\vec n.
  • Projeté orthogonal d’un point sur une droite, sur un plan.

Capacités attendues

  • Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans l’espace.
  • Utiliser la projection orthogonale pour déterminer la distance d’un point à une droite ou à un plan.
  • Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs et mesures : longueur, angle, aire, volume.
  • Étudier des problèmes de configuration dans l’espace : orthogonalité de deux droites, d’une droite et d’un plan ; lieux géométriques simples, par exemple plan médiateur de deux points.

Démonstration

  • Le projeté orthogonal d’un point MM sur un plan P\mathscr P est le point de P\mathscr P le plus proche de MM.