Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace

• Dans tout le cours, nous travaillerons dans l’espace noté $\mathcal E$.

Produit scalaire de deux vecteurs de $\mathcal E$

• Soit deux vecteurs $\vec u\neq\vec 0$ et $\vec v\neq \vec 0$, et $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec u=\overrightarrow{AB\ }$ et $\vec v=\overrightarrow{AC\ }$.
• L’angle de vecteurs $(\vec u,\,\vec v)$ est égal à l’angle orienté $\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right)$ dans un plan contenant $A$, $B$ et $C$. Cette mesure ne change pas lorsqu’on change les représentants de $\vec u$ et de $\vec v$.
• Le produit scalaire de $\vec u$ et $\vec v$, noté $\vec u\cdot \vec v$, est le nombre réel :

$$\begin{aligned} \vec u\cdot \vec v &= \overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ } \\ &=AB\times AC\times\cos\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) \\ &=\Vert \vec u\Vert \times\Vert \vec v\Vert \times\cos{(\vec u,\,\vec v)} \end{aligned}$$

• Par convention, si $\vec u=\vec 0$ ou $\vec v=\vec 0$, alors $\vec u\cdot \vec v=0$.
• $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ vecteurs de $\mathcal E$, et $\lambda \in \mathbb R$.

• Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs non colinéaires :
• on se place dans un plan contenant les représentants de ces vecteurs ;
• on calcule le produit scalaire dans ce plan, en utilisant les propriétés de calcul et les propriétés de la figure.
• $\vec u\neq \vec 0$ et $\vec v\neq \vec 0$ sont orthogonaux si et seulement si il existe deux droites coplanaires, perpendiculaires et de vecteurs directeurs respectifs $\vec u$ et $\vec v$.
• $\vec 0$ est orthogonal à tous les vecteurs de $\mathcal E$.
• $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux $\Leftrightarrow \vec u\cdot \vec v=0$.
• Deux droites $(d)$ et $(d^{\prime})$ sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
• $(d)=(A\ ;\, \vec u)$ et $(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v)$ sont orthogonales si et seulement si $\vec u\cdot \vec v=0$.
• Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Elles peuvent être non coplanaires.
• Méthodologie pour montrer que deux droites de $\mathcal E$ sont orthogonales :
• trouver un vecteur directeur de chaque droite ;
• calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs.
• Si ce produit scalaire est nul, alors les deux droites sont orthogonales.
• Si ce produit scalaire est différent de $0$ alors les deux droites ne sont pas orthogonales.

Produit scalaire dans un repère orthonormé

• $(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ est une base orthonormée de $\mathcal E$ si et seulement si :

$$\begin{cases} \text{Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux} \\ \text{Les trois vecteurs sont non coplanaires} \\ \Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =\Vert \vec k \Vert =1 \end{cases}$$

• $O$ est un point de l’espace $\mathcal E$.
• $(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ forme un repère orthonormé de $\mathcal E$ lorsque $( \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k)$ est une base de $\mathcal E$.
• $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{pmatrix}$ sont deux vecteurs de $\mathcal E$ muni d’un repère orthonormé.
• $\vec u\cdot \vec v=xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}$.
• $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si et seulement si $xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}=0$.
• Dans un repère orthonormé, soit $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.
• La norme du vecteur $\vec u$ est : $\Vert \vec u\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.
• Soit $A\,(x_A\ ;\, y_A\ ;\, z_A)$ et $B\,(x_B\ ;\, y_B\ ;\, z_B)$ deux points de $\mathcal E$, muni d’un repère orthonormé.
• La distance entre deux points $A$ et $B$ est :

$$ AB= \sqrt{(x_B-x_A )^2+(y_B-y_A )^2+(z_B-z_A)^2}$$

Distance d’un point à une droite, distance d’un point à un plan

• On considère un plan $(P)$ et un vecteur $\vec n\neq \vec 0$.
• $\vec n$ est un vecteur normal à $(P)$ si et seulement si $\vec n$ est orthogonal à une base de $(P)$.
• $\vec n$ est un vecteur normal à $(P)=(A\ ;\,\vec v,\,\vec w)$ si et seulement si $\vec n\cdot \vec v=0$ et $\vec n\cdot \vec w=0$.
• $(P)$ est un plan de vecteur normal $\vec n$ et $(d)$ une droite de $\mathcal E$.
• $(d)$ est dite orthogonale à $(P)$ si $\vec n$ est un vecteur directeur de $(d)$.
• Soit $\vec n\neq \vec 0$ et $A$ un point de $\mathcal E$.
• Il existe un unique plan passant par $A$ et ayant $\vec n$ comme vecteur normal. Ce plan est appelé le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$.
• Si $(d)$ est orthogonale à $(P)$, alors elle est orthogonale à toutes les droites de $(P)$.
• $(d)$ est orthogonale à $(P)$ si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de $(P)$.
• Méthodologie pour montrer qu’une droite $(d)$ est orthogonale à un plan $(P)$ (deux possibilités) :
• nous pouvons montrer que $(d)$ est orthogonale à deux droites sécantes de $(P)$ ;
• ou nous pouvons montrer qu’un vecteur directeur de $(d)$ est normal à $(P)$.
• Dans ces deux cas, il s’agit de montrer l’orthogonalité du vecteur directeur de la droite avec deux vecteurs dont les représentants sont dans le plan.
• Soit $(d)$ une droite de vecteur directeur $\vec u$ et $M$ un point de $\mathcal E$.
• Le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$ est le point d’intersection de $(d)$ avec le plan passant par $M$ et normal à $\vec u$.
• Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(d)$.
• La longueur $MH$ est la plus courte distance entre $M$ et un point de $(d)$.
• $MH$ est appelée distance de $M$ à la droite $(d)$.
• Dans $\mathcal E$, $A$ est un point et $(P)$ un plan de vecteur normal $\vec n$.
• Le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$ est l’unique point d’intersection $A^{\prime}$ de la droite $(d)=(A\ ;\, \vec n)$ et de $(P)$.
• Dans le cas particulier où $A$ appartient à $(P)$, $A^{\prime}$ est confondu avec $A$.
• Soit $A^{\prime}$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(P)$.
• $AA^{\prime}$ est la plus courte distance entre $A$ et un point du plan.
• Cette distance est la distance de $A$ au plan $(P)$.