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Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l’espace

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Si tu es un lycéen en terminale, tu dois déjà avoir planifié tes révisions pour ton baccalauréat 2023. Si ce n’est pas le cas, tu peux te baser sur notre programme de révision en le planifiant en fonction des épreuves ou des coefficients des matières … 💪
  • Dans tout le cours, nous travaillerons dans l’espace noté E\mathcal E.

Produit scalaire de deux vecteurs de E\mathcal E

  • Soit deux vecteurs u0\vec u\neq\vec 0 et v0\vec v\neq \vec 0, et AA, BB et CC trois points tels que u=AB \vec u=\overrightarrow{AB\ } et v=AC \vec v=\overrightarrow{AC\ }.
  • L’angle de vecteurs (u,v)(\vec u,\,\vec v) est égal à l’angle orienté (AB ,AC )\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) dans un plan contenant AA, BB et CC. Cette mesure ne change pas lorsqu’on change les représentants de u\vec u et de v\vec v.
  • Le produit scalaire de u\vec u et v\vec v, noté uv\vec u\cdot \vec v, est le nombre réel :

uv=AB AC =AB×AC×cos(AB ,AC )=u×v×cos(u,v)\begin{aligned} \vec u\cdot \vec v &= \overrightarrow{AB\ }\cdot \overrightarrow{AC\ } \ &=AB\times AC\times\cos\left( \overrightarrow{AB\ },\,\overrightarrow{AC\ }\right) \ &=\Vert \vec u\Vert \times\Vert \vec v\Vert \times\cos{(\vec u,\,\vec v)} \end{aligned}

  • Par convention, si u=0\vec u=\vec 0 ou v=0\vec v=\vec 0, alors uv=0\vec u\cdot \vec v=0.
  • u\vec u, v\vec v et w\vec w vecteurs de E\mathcal E, et λR\lambda \in \mathbb R.

Propriétés
uv=vu\vec u\cdot \vec v=\vec v\cdot \vec u
u(v+w)=uv+uw\vec u\cdot (\vec v+\vec w)=\vec u\cdot \vec v+\vec u\cdot \vec w
(λu)v=u(λv)=λuv(\lambda\vec u)\cdot \vec v=\vec u\cdot (\lambda\vec v)=\lambda\vec u\cdot \vec v
uu=u2\vec u\cdot \vec u=\Vert \vec u\Vert ^2
u+v2=u2+v2+2uv\Vert \vec u +\vec v\Vert ^2 = \Vert \vec u\Vert ^2 + \Vert \vec v \Vert ^2+2\vec u\cdot \vec v
uv=12(u+v2u2v2)\vec u\cdot \vec v=\dfrac 12(\Vert \vec u+\vec v\Vert ^2-\Vert \vec u\Vert ^2-\Vert \vec v\Vert ^2)
uv=12(u2+v2uv2)\vec u\cdot \vec v=\dfrac 12(\Vert \vec u\Vert ^2+\Vert \vec v\Vert ^2-\Vert \vec u-\vec v\Vert ^2)
  • Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs non colinéaires :
  • on se place dans un plan contenant les représentants de ces vecteurs ;
  • on calcule le produit scalaire dans ce plan, en utilisant les propriétés de calcul et les propriétés de la figure.
  • u0\vec u\neq \vec 0 et v0\vec v\neq \vec 0 sont orthogonaux si et seulement si il existe deux droites coplanaires, perpendiculaires et de vecteurs directeurs respectifs u\vec u et v\vec v.
  • 0\vec 0 est orthogonal à tous les vecteurs de E\mathcal E.
  • u\vec u et v\vec v sont orthogonaux uv=0\Leftrightarrow \vec u\cdot \vec v=0.
  • Deux droites (d)(d) et (d)(d^{\prime}) sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.
  • (d)=(A ;u)(d)=(A\ ;\, \vec u) et (d)=(B ;v)(d^{\prime})=(B\ ;\, \vec v) sont orthogonales si et seulement si uv=0\vec u\cdot \vec v=0.
  • Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas nécessairement sécantes. Elles peuvent être non coplanaires.
  • Méthodologie pour montrer que deux droites de E\mathcal E sont orthogonales :
  • trouver un vecteur directeur de chaque droite ;
  • calculer le produit scalaire des vecteurs directeurs.
  • Si ce produit scalaire est nul, alors les deux droites sont orthogonales.
  • Si ce produit scalaire est différent de 00 alors les deux droites ne sont pas orthogonales.

Produit scalaire dans un repère orthonormé

  • (ı,ȷ,k)(\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) est une base orthonormée de E\mathcal E si et seulement si :

{Les vecteurs sont deux aˋ deux orthogonauxLes trois vecteurs sont non coplanairesı=ȷ=k=1\begin{cases} \text{Les vecteurs sont deux à deux orthogonaux} \ \text{Les trois vecteurs sont non coplanaires} \ \Vert \vec \imath\,\Vert =\Vert \vec \jmath\,\Vert =\Vert \vec k \Vert =1 \end{cases}

  • OO est un point de l’espace E\mathcal E.
  • (O ;ı,ȷ,k)(O\ ;\,\vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) forme un repère orthonormé de E\mathcal E lorsque (ı,ȷ,k)( \vec \imath,\,\vec \jmath,\,\vec k) est une base de E\mathcal E.
  • u(xyz)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} et v(xyz)\vec v\begin{pmatrix} x^{\prime} \ y^{\prime} \ z^{\prime} \end{pmatrix} sont deux vecteurs de E\mathcal E muni d’un repère orthonormé.
  • uv=xx+yy+zz\vec u\cdot \vec v=xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}.
  • u\vec u et v\vec v sont orthogonaux si et seulement si xx+yy+zz=0xx^{\prime}+yy^{\prime}+zz^{\prime}=0.
  • Dans un repère orthonormé, soit u(xyz)\vec u\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix}.
  • La norme du vecteur u\vec u est : u=x2+y2+z2\Vert \vec u\Vert =\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
  • Soit A(xA ;yA ;zA)A\,(xA\ ;\, yA\ ;\, zA) et B(xB ;yB ;zB)B\,(xB\ ;\, yB\ ;\, zB) deux points de E\mathcal E, muni d’un repère orthonormé.
  • La distance entre deux points AA et BB est :

AB=(xBxA)2+(yByA)2+(zBzA)2 AB= \sqrt{(xB-xA )^2+(yB-yA )^2+(zB-zA)^2}

Distance d’un point à une droite, distance d’un point à un plan

  • On considère un plan (P)(P) et un vecteur n0\vec n\neq \vec 0.
  • n\vec n est un vecteur normal à (P)(P) si et seulement si n\vec n est orthogonal à une base de (P)(P).
  • n\vec n est un vecteur normal à (P)=(A ;v,w)(P)=(A\ ;\,\vec v,\,\vec w) si et seulement si nv=0\vec n\cdot \vec v=0 et nw=0\vec n\cdot \vec w=0.
  • (P)(P) est un plan de vecteur normal n\vec n et (d)(d) une droite de E\mathcal E.
  • (d)(d) est dite orthogonale à (P)(P) si n\vec n est un vecteur directeur de (d)(d).
  • Soit n0\vec n\neq \vec 0 et AA un point de E\mathcal E.
  • Il existe un unique plan passant par AA et ayant n\vec n comme vecteur normal. Ce plan est appelé le plan passant par AA et de vecteur normal n\vec n.
  • Si (d)(d) est orthogonale à (P)(P), alors elle est orthogonale à toutes les droites de (P)(P).
  • (d)(d) est orthogonale à (P)(P) si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de (P)(P).
  • Méthodologie pour montrer qu’une droite (d)(d) est orthogonale à un plan (P)(P) (deux possibilités) :
  • nous pouvons montrer que (d)(d) est orthogonale à deux droites sécantes de (P)(P) ;
  • ou nous pouvons montrer qu’un vecteur directeur de (d)(d) est normal à (P)(P).
  • Dans ces deux cas, il s’agit de montrer l’orthogonalité du vecteur directeur de la droite avec deux vecteurs dont les représentants sont dans le plan.
  • Soit (d)(d) une droite de vecteur directeur u\vec u et MM un point de E\mathcal E.
  • Le projeté orthogonal de MM sur (d)(d) est le point d’intersection de (d)(d) avec le plan passant par MM et normal à u\vec u.
  • Soit HH le projeté orthogonal de MM sur (d)(d).
  • La longueur MHMH est la plus courte distance entre MM et un point de (d)(d).
  • MHMH est appelée distance de MM à la droite (d)(d).
  • Dans E\mathcal E, AA est un point et (P)(P) un plan de vecteur normal n\vec n.
  • Le projeté orthogonal de AA sur (P)(P) est l’unique point d’intersection AA^{\prime} de la droite (d)=(A ;n)(d)=(A\ ;\, \vec n) et de (P)(P).
  • Dans le cas particulier où AA appartient à (P)(P), AA^{\prime} est confondu avec AA.
  • Soit AA^{\prime} le projeté orthogonal de AA sur (P)(P).
  • AAAA^{\prime} est la plus courte distance entre AA et un point du plan.
  • Cette distance est la distance de AA au plan (P)(P).