Primitives et équations différentielles

Notion de primitive

Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
On appelle primitive d’une fonction $f$ sur $I$ une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.
Pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime} (x)=f(x)$.
Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les fonctions de la forme $F+k$, où $k$ est une fonction constante, sont aussi des primitives de $f$.

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ respectivement. Soit un réel $k$.
La fonction $F+G$ est une primitive de $f+g$.
La fonction $kF$ est une primitive de $kf$.
Primitives de fonctions usuelles

Fonction $f$	Une primitive $F$	Ensemble de définition
$x \mapsto a$	$x \mapsto ax$	$\mathbb R$
$x \mapsto x^n$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}$	$x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$	$\mathbb R$ si $n \geq 0$ $\mathbb R^*$ si $n<0$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$x \mapsto \ln x$	$\mathbb R^{*+}$
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$	$x \mapsto 2\sqrt x$	$\mathbb R^{*+}$
$x \mapsto$ e$^x$	$x \mapsto$ e$^x$	$\mathbb R$
$x \mapsto \cos x$	$x \mapsto \sin x$	$\mathbb R$
$x \mapsto \sin x$	$x \mapsto -\cos x$	$\mathbb R$

Fonction $f$	Une primitive $F$
$u^{\prime} u^n$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif}}}$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et, si $n<0$, $u$ ne s’annulant pas sur $I$]}}}$	$\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$
$u^{\prime} \text{e}^u$	${\text{e}}^u$
$u^{\prime} \cos{(u)}$	$\sin{(u)}$
$u^{\prime} \sin{(u)}$	$-\cos{(u)}$
$\dfrac{u^{\prime} }{u}$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$	$\ln {(u)}$
$\dfrac{u^{\prime} }{\sqrt u}$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$	$2\sqrt u$

Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay$, avec $a \in \mathbb R$.
Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$

Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay + b$, avec $a\neq 0$ et $b$ deux réels.
Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$

À l’aide d’une condition initiale sur la fonction $y$, nous pouvons déterminer la valeur de $k$ et la fonction $y$ solution sera unique.
Pour résoudre les équations différentielles du premier ordre du type $y^\prime = ay + f$ ($a$ réel, $f$ une fonction), il faut connaître ou avoir déterminé une solution particulière $y_0$.
Les solutions de cette équation sont alors les fonctions définies sur $\mathbb R$ par :

$$ y(x)=y_0(x) + k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$