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Primitives et équations différentielles

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Notion de primitive

  • Soit ff une fonction continue sur l’intervalle II.
  • On appelle primitive d’une fonction ff sur II une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est égale à ff.
  • Pour tout xx de II, F(x)=f(x)F^{\prime} (x)=f(x).
  • Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est une primitive de ff sur II, les fonctions de la forme F+kF+k, où kk est une fonction constante, sont aussi des primitives de ff.

Calculs de primitives

  • Soit ff et gg deux fonctions continues sur un intervalle II, et FF et GG deux primitives de ff et gg respectivement. Soit un réel kk.
  • La fonction F+GF+G est une primitive de f+gf+g.
  • La fonction kFkF est une primitive de kfkf.
  • Primitives de fonctions usuelles

Fonction ff Une primitive FF Ensemble de définition
xax \mapsto a xaxx \mapsto ax R\mathbb R
xxnx \mapsto x^n

 [avec n1 entier relatif]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}</span

x1n+1xn+1x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} R\mathbb R si n0n \geq 0

R*\mathbb R^* si n<0n<0</span

x1xx \mapsto \dfrac{1}{x} xlnxx \mapsto \ln x R*+\mathbb R^{*+}
x1xx \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x} x2xx \mapsto 2\sqrt x R*+\mathbb R^{*+}
xx \mapsto ex^x xx \mapsto ex^x R\mathbb R
xcosxx \mapsto \cos x xsinxx \mapsto \sin x R\mathbb R
xsinxx \mapsto \sin x xcosxx \mapsto -\cos x R\mathbb R
  • Primitives de fonctions composées
  • Soit uu une fonction définie et dérivable sur l’intervalle II.

Fonction ff Une primitive FF
uunu^{\prime} u^n

[avec n1 entier relatif\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif}}}

 et, si n<0u ne s’annulant pas sur I]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et, si $n<0$, $u$ ne s’annulant pas sur $I$]}}}

1n+1un+1\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}
ueuu^{\prime} \text{e}^u eu{\text{e}}^u
ucos(u)u^{\prime} \cos{(u)} sin(u)\sin{(u)}
usin(u)u^{\prime} \sin{(u)} cos(u)-\cos{(u)}
uu\dfrac{u^{\prime} }{u}

[avec u<mo

0 sur I]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}>>

ln(u)\ln {(u)}
uu\dfrac{u^{\prime} }{\sqrt u}

[avec u<mo

0 sur I]\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}>>

2u2\sqrt u

Équations différentielles du premier ordre

  • Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ayy^\prime = ay, avec aRa \in \mathbb R.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

y(x)=keax [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}

  • Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ay+by^\prime = ay + b, avec a0a\neq 0 et bb deux réels.
  • Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

y(x)=keaxba [avec kR]y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}

  • À l’aide d’une condition initiale sur la fonction yy, nous pouvons déterminer la valeur de kk et la fonction yy solution sera unique.
  • Pour résoudre les équations différentielles du premier ordre du type y=ay+fy^\prime = ay + f (aa réel, ff une fonction), il faut connaître ou avoir déterminé une solution particulière y0y_0.
  • Les solutions de cette équation sont alors les fonctions définies sur R\mathbb R par :

y(x)=y0(x)+keax [avec kR] y(x)=y_0(x) + k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}