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Programme Lycée TleCours MathématiquesPrimitives et équations différentiellesFiche de révision : Primitives et équations différentiellesPrimitives et équations différentielles
Notion de primitive
Notion de primitive
- Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$.
- On appelle primitive d’une fonction $f$ sur $I$ une fonction $F$ dérivable sur $I$ dont la dérivée est égale à $f$.
- Pour tout $x$ de $I$, $F^{\prime} (x)=f(x)$.
- Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
- Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, les fonctions de la forme $F+k$, où $k$ est une fonction constante, sont aussi des primitives de $f$.
Calculs de primitives
Calculs de primitives
- Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$, et $F$ et $G$ deux primitives de $f$ et $g$ respectivement. Soit un réel $k$.
- La fonction $F+G$ est une primitive de $f+g$.
- La fonction $kF$ est une primitive de $kf$.
- Primitives de fonctions usuelles
| Fonction $f$ | Une primitive $F$ | Ensemble de définition |
| $x \mapsto a$ | $x \mapsto ax$ | $\mathbb R$ |
| $x \mapsto x^n$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $n\neq -1$ entier relatif]}}}$ |
$x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1}$ | $\mathbb R$ si $n \geq 0$
$\mathbb R^*$ si $n<0$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ | $x \mapsto \ln x$ | $\mathbb R^{*+}$ |
| $x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x}$ | $x \mapsto 2\sqrt x$ | $\mathbb R^{*+}$ |
| $x \mapsto$ e$^x$ | $x \mapsto$ e$^x$ | $\mathbb R$ |
| $x \mapsto \cos x$ | $x \mapsto \sin x$ | $\mathbb R$ |
| $x \mapsto \sin x$ | $x \mapsto -\cos x$ | $\mathbb R$ |
- Primitives de fonctions composées
- Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur l’intervalle $I$.
| Fonction $f$ | Une primitive $F$ |
| $u^{\prime} u^n$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $n\neq -1$ entier relatif}}}$ $\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ et, si $n<0$, $u$ ne s’annulant pas sur $I$]}}}$ |
$\dfrac{1}{n+1}u^{n+1}$ |
| $u^{\prime} \text{e}^u$ | ${\text{e}}^u$ |
| $u^{\prime} \cos{(u)}$ | $\sin{(u)}$ |
| $u^{\prime} \sin{(u)}$ | $-\cos{(u)}$ |
| $\dfrac{u^{\prime} }{u}$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$ |
$\ln {(u)}$ |
| $\dfrac{u^{\prime} }{\sqrt u}$
$\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $u>0$ sur $I$]}}}$ |
$2\sqrt u$ |
Équations différentielles du premier ordre
Équations différentielles du premier ordre
- Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay$, avec $a \in \mathbb R$.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$
- Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction $y$ dérivable, qui s’écrit sous la forme : $y^\prime = ay + b$, avec $a\neq 0$ et $b$ deux réels.
- Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :
$$y(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$
- À l’aide d’une condition initiale sur la fonction $y$, nous pouvons déterminer la valeur de $k$ et la fonction $y$ solution sera unique.
- Pour résoudre les équations différentielles du premier ordre du type $y^\prime = ay + f$ ($a$ réel, $f$ une fonction), il faut connaître ou avoir déterminé une solution particulière $y_0$.
- Les solutions de cette équation sont alors les fonctions définies sur $\mathbb R$ par :
$$ y(x)=y_0(x) + k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec $k \in \mathbb R$]}}}$$