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Marianne

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Primitives, équations différentielles

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Ce cours est en cours de création par nos équipes et il sera prêt pour la rentrée 2019 💪

Cette section introduit la notion d’équation différentielle sur des cas simples. Les élèves découvrent en situation le concept d’équation dont l’inconnue est une fonction. L’équation 𝑦′=𝑓 est l’occasion de définir la notion de primitive. Par définition, la recherche d’une primitive est l’opération inverse de la dérivation, ce qui permet de traiter les cas usuels par lecture inverse du tableau des dérivées. Il est utile d’admettre ici que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, résultat qui est démontré dans la section sur le calcul intégral. On note aussi que, pour certaines fonctions, on ne dispose pas de primitive explicite.

L’équation y=ay+by^\prime=ay+b est l’occasion de réinvestir les propriétés de la fonction exponentielle. Lorsque b=0b=0, on remarque que la somme de deux solutions et le produit d’une solution par une constante sont encore solutions.

Pour travailler le concept d’équation différentielle, on peut donner d’autres exemples d’équations différentielles, dont on peut donner des solutions sans en faire de résolution complète : y=y2y^\prime=y^2, y+ω2y=0y^{\prime\prime}+\omega^2 y=0 .

Contenus

  • Équation différentielle y=fy^\prime=f. Notion de primitive d’une fonction continue sur un intervalle. Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
  • Primitives des fonctions de référence : xxnx\mapsto x^n pour nZn\in \mathbb Z, x1xx\mapsto 1\sqrt x, exponentielle, sinus, cosinus.
  • Équation différentielle y=ayy^\prime=ay, où aa est un nombre réel ; allure des courbes. Équation différentielle y=ay+by^\prime=ay+b.

Capacités attendues

  • Calculer une primitive en utilisant les primitives de référence et les fonctions de la forme (vu)×u(v^\prime\circ u)\times u^\prime.
  • Pour une équation différentielle y=ay+b (a0)y^\prime=ay+b\ (a\neq0) : déterminer une solution particulière constante ; utiliser cette solution pour déterminer toutes les solutions.
  • Pour une équation différentielle y=ay+fy^\prime=ay+f : à partir de la donnée d’une solution particulière, déterminer toutes les solutions.

Démonstrations

  • Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
  • Résolution de l’équation différentielle y=ayy^\prime=ayaa est un nombre réel.