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Primitives et équations différentielles

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Introduction :

Soit ff une fonction continue sur un intervalle II. Nous pouvons être amenés à résoudre une équation de la forme : y=fy^\prime = f, où l’inconnue est la fonction yy.
C’est-à-dire de déterminer une fonction dérivable sur II dont la dérivée est connue. Ces équations sont appelées « équations différentielles ».

Pour cela, dans un premier temps, nous allons introduire la notion de primitives d’une fonction sur un intervalle, puis nous verrons des méthodes permettant de les calculer.
Comme nous le verrons dans le cours suivant sur le calcul intégral, une primitive sert aussi à calculer des intégrales qui, concrètement, représentent des aires.
Dans un second temps, nous allons résoudre des équations différentielles du premier ordre, c’est-à-dire des équations de la forme y=ayy^\prime = ay ou y=ay+by^\prime = ay + b (avec aa et bb deux réels non nuls), ou encore y=ay+fy^\prime = ay + f, où ff est une fonction continue sur II.

Notion de primitive

Définitions et vocabulaire

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Définition

Primitive :

Soit ff une fonction continue sur l’intervalle II.

On appelle primitive d’une fonction ff sur II, une fonction FF dérivable sur II dont la dérivée est égale à ff.

  • Pour tout xx de II, F(x)=f(x)F^{\prime} (x)=f(x).
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Exemple

La fonction xx2x \mapsto x^2 est dérivable sur R\mathbb{R} et sa dérivée est la fonction x2xx \mapsto 2x.

  • On dit alors que la fonction xx2x \mapsto x ^2 est une primitive de la fonction x2xx \mapsto 2x.
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Propriété

  • Toute fonction ff continue sur un intervalle II admet des primitives sur II.
  • Si FF est une primitive de ff sur II, les fonctions de la forme F+kF+k, où kk est une fonction constante, sont aussi des primitives de ff.

Une seule de ces primitives prend une valeur y0y0 donnée en un x0x0 de II donné.

  • La condition initiale y0=F(x0)y0 = F(x0) permet donc de définir de façon unique une primitive de la fonction ff parmi l’ensemble des primitives de ff.
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Démonstration

Démontrons que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Pour une fonction ff définie et continue sur un intervalle II, soit FF et GG deux primitives de la fonction ff sur II.

  • Nous avons :

Pour tout xIx\in I, F(x)=f(x)F^\prime(x) = f(x) et G(x)=f(x)G^\prime(x) = f(x).

  • F(x)=G(x)F^\prime(x) = G^\prime(x)
  • Développons l’égalité.

Pour tout xIx\in I:

G(x)F(x)=0(GF)(x)=0(GF)(x)=0\begin{aligned} G^\prime(x) - F^\prime(x) &= 0\ (G^\prime - F^\prime)(x) &= 0\ (G - F)^\prime(x) &= 0\ \end{aligned}

  • On en déduit, avec kk réel :

(GF)(x)=k[car une primitive de la fonction nulle est une fonction constante]G(x)=F(x)+k\begin{aligned} (G - F)(x) &= k\ \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car une primitive de la fonction nul}}} & \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{le est une fonction constante]}}} \ G(x) &= F(x) + k \end{aligned}

  • Finalement, deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
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Exemple

On a vu précédemment que la fonction F(x)=x2F(x)=x^2 est une primitive de la fonction f(x)=2xf(x)=2x.

Alors, toutes les fonctions de la forme xx2+kx \mapsto x^2+k, où kk est une constante réelle, sont des primitives de la fonction ff.

  • La fonction G(x)=x2+2G(x)=x^2+2 est la primitive de f(x)=2xf(x)=2x telle que G(0)=2G(0)=2.
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À retenir

Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction x1xx\mapsto \dfrac{1}{x} qui s’annule en x=1x = 1.

Vérifier qu’une fonction FF est une primitive d’une fonction ff

Avant de calculer des primitives, nous allons d’abord apprendre vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction.

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Exemple

La fonction définie par F(x)=ln(x+1)+1x+1F(x)=\ln {(x+1)} +\dfrac{1}{x+1} est-elle une primitive de la fonction définie sur R+\mathbb{R}^+ par f(x)=x(x+1)2f(x)=\dfrac{x}{(x+1)^2} ?

  • On part de la supposée primitive FF et on calcule sa dérivée.
  • La fonction FF est définie sur R+\mathbb{R}^+.

On reconnaît la forme ln(u)\ln {(u)}, dont la dérivée est uu\frac {u^{\prime}}u, et la forme 1u\frac 1u, dont la dérivée est uu2-\frac{u^\prime}{u^2}, avec uu définie par u(x)=x+1u(x) = x+1, qui est bien une fonction dérivable sur R+\mathbb{R}^+.

  • La fonction FF est définie sur R+\mathbb{R}^+, comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
  • On a donc, pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+ :

F(x)=1x+1+(1(x+1)2)=1x+11(x+1)2\begin{aligned} F^{\prime} (x) &=\dfrac{1}{x+1}+\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)\ &=\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2} \end{aligned}

  • On met l’expression sur le même dénominateur, à savoir (x+1)2(x+1)^2.

Pour tout xR+x\in \mathbb{R}^+ :

F(x)=1x+1×x+1x+11(x+1)2=x+1(x+1)21(x+1)2=x(x+1)2=f(x)\begin{aligned} F^{\prime} (x)&=\dfrac{1}{x+1}\times \dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{(x+1)^2} \ &=\dfrac{x+1}{(x+1)^2}-\dfrac{1}{(x+1)^2}\ &=\dfrac{x}{(x+1)^2}\ &=f(x) \end{aligned}

  • On vient de démontrer que, en dérivant la fonction xF(x)x\mapsto F(x), on obtenait la fonction xf(x)x\mapsto f(x).
  • La fonction FF est bien une primitive de ff.

Calculs de primitives

Dans cette partie, nous allons voir qu’il existe un formulaire pour déterminer des primitives d’une fonction.

  • Nous utiliserons un tableau de primitives, qui est à connaître.

Primitives de fonctions usuelles

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À retenir

Fonction ff Une primitive FF Ensemble de définition
xax \mapsto a xaxx \mapsto ax R\mathbb R
xxnx \mapsto x^n pour nZn \in \mathbb Z et n1n \neq -1 x1n+1xn+1x \mapsto \dfrac{1}{n+1}x^{n+1} R\mathbb R si n0n \geq 0

R*\mathbb R^* si n<0n<0

x1xx \mapsto \dfrac{1}{x} xlnxx \mapsto \ln x R*+\mathbb R^{*+}
x1xx \mapsto \dfrac{1}{\sqrt x} x2xx \mapsto 2\sqrt x R*+\mathbb R^{*+}
xx \mapsto ex^x xx \mapsto ex^x R\mathbb R
xcosxx \mapsto \cos x xsinxx \mapsto \sin x R\mathbb R
xsinxx \mapsto \sin x xcosxx \mapsto -\cos x R\mathbb R

Nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.

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Exemple

  • f(x)=4x+5\boxed{f(x)=-4x+5} définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • D’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xxx\mapsto x est :

x12x2x\mapsto \dfrac{1}{2}x^2

  • De même, une primitive de la fonction x4xx\mapsto -4x est :

x4×12x2=2x2x\mapsto -4\times \dfrac{1}{2}x^2=-2x^2

  • Enfin, une primitive de la fonction x5x\mapsto 5 est :

x5xx\mapsto 5x

  • La fonction FF définie et dérivable sur R\mathbb{R} par F(x)=2x2+5xF(x)=-2x^2+5x est donc une primitive de ff.
  • g(x)=x3+2x+4\boxed{g(x)=x^3+2x+4} définie sur R\mathbb{R}.
  • Toujours d’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xx3x\mapsto x^3 est :

x14x4x\mapsto \dfrac{1}{4}x^4

  • De même, une primitive de la fonction x2xx\mapsto 2x est :

x2×12x2=x2x\mapsto 2\times \dfrac{1}{2}x^2=x^2

  • Enfin, une primitive de la fonction x4x\mapsto 4 est :

x4xx\mapsto 4x

  • La fonction GG définie et dérivable sur R\mathbb{R} par G(x)=x4+x2+4xG(x)= x^4+x^2+4x est donc une primitive de gg.
  • h(x)=1x3\boxed{h(x)=\dfrac{1}{x^3}} définie et dérivable sur R{\mathbb{R}}^*.
  • La première étape consiste à transformer l’écriture de h(x)h(x) pour se ramener à une forme du tableau :

h(x)=1x3=x3h(x)=\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}

  • Ainsi, d’après la deuxième formule du tableau, une primitive de la fonction xx3x \mapsto x^{-3} est :

x12x2x \mapsto -\dfrac{1}{2}x^{-2}

  • La fonction HH dérivable et définie sur R\mathbb{R}^* par H(x)=12x2=12x2H(x)=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^2} est donc une primitive de hh.

Primitives plus complexes

Étudions maintenant le calcul de primitives de fonctions composées.

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À retenir

Soit uu une fonction définie et dérivable sur l’intervalle II.

Fonction ff Une primitive FF Conditions sur uu
uunu^\prime u^n pour nZn \in \mathbb Z et n1n \neq -1 1n+1un+1\dfrac{1}{n+1}u^{n+1} si n<0n<0, uu ne s’annule pas sur II

si n0n \geq0, aucune condition n’est nécessaire

uu\dfrac{u^\prime}{u} lnu\ln u u>0u>0 sur II
uu\dfrac{u^\prime}{\sqrt u} 2u2 \sqrt u u>0u>0 sur II
ueuu^\prime \text{e}^u eu^u aucune condition nécessaire
ucosuu^\prime \cos u sinu\sin u
usinuu^\prime \sin u cosu- \cos u

Là aussi, donnons quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.

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Exemple

  • f(x)=3(2x1)(x2x+4)5\boxed{f(x)=3(2x-1)(x^2-x+4)^5} définie et dérivable sur R\mathbb{R}.
  • On considère la fonction u:xx2x+4u\,:\,x\mapsto x^2-x+4, et on constate que la fonction v:x2x1v\,:\,x \mapsto 2x-1 est la dérivée de uu.
  • La fonction peut donc se définir par :

f(x)=3×u(x)×u5(x)f(x)=3\times u^{\prime}(x) \times u^5(x)

  • D’après la première formule du tableau :

F(x)=3×15+1×u5+1(x)=3×16×(x2x+4)6=12(x2x+4)6\begin{aligned} F(x) &=3\times \dfrac{1}{5+1}\times u^{5+1}(x) \ &=3\times \dfrac{1}{6}\times (x^2-x+4)^6\ &=\dfrac{1}{2}(x^2-x+4)^6 \end{aligned}

  • La fonction FF ainsi définie sur R\mathbb{R} est une primitive de ff.
  • g(x)=2x(x2+1)4\boxed{g(x)=\dfrac{2x}{(x^2+1)^4}} définie sur R\mathbb{R}.
  • On considère la fonction u:xx2+1u\,:\,x\mapsto x^2+1, et on constate que la fonction v:x2xv\,:\,x\mapsto 2x est la dérivée de la fonction uu.
  • La fonction peut donc se définir par :

g(x)=u(x)u4(x)=u(x)u4(x)g(x)=\dfrac{u^\prime(x)}{u^4(x)}=u^\prime(x) u^{-4}(x)

  • Toujours d’après la première formule du tableau :

G(x)=14+1×u4+1(x)=13×(x2+1)3=13(x2+1)3\begin{aligned} G(x) &=\dfrac{1}{-4+1}\times u^{-4+1}(x) \ &=\dfrac{1}{-3}\times {(x^2+1)}^{-3} \ &=-\dfrac{1}{3(x^2+1)^3} \end{aligned}

  • La fonction GG ainsi définie sur R\mathbb R est une primitive de gg.
  • h(x)=exex+2\boxed{h(x)=\dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x+2}} définie sur R\mathbb{R}.
  • On considère la fonction u:xex+2u\,:\,x \mapsto \text{e}^x+2, et on constate que la fonction v:xexv\,:\,x \mapsto {\text{e}}^x est la dérivée de la fonction uu.
  • La fonction hh est donc écrite sous la forme uu\dfrac{u^{\prime}}{u}.
  • D’après la deuxième formule du tableau, HH s’écrira sous la forme ln(u)\ln{(u)}.
  • La fonction HH définie sur R\mathbb{R} par H(x)=ln(ex+2)H(x)=\ln {(\text{e}^x+2)} est donc une primitive de hh.

Équations différentielles du premier ordre

Maintenant que nous avons défini la notion de primitives, revenons au problème de départ qui était de résoudre des équations, d’inconnue une fonction continue et dérivable, contenant la dérivée de cette fonction.

Équations différentielles du premier ordre du type y=ayy^\prime = ay (aa réel)

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Définition

Équation différentielle du type y=ayy^\prime = ay (aa réel) :

Une équation différentielle du premier ordre de ce type est une équation d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ayy^\prime = ay, avec aRa \in \mathbb R.

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Théorème

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=keaxy(x) = k {\text{e}}^{ax}, avec kRk \in \mathbb R.

Remarque :
À l’aide d’une condition initiale sur la fonction yy, nous pouvons déterminer la valeur kk et la fonction yy sera une solution unique à cette équation.

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Démonstration

Démontrons que les solutions de l’équation y=ayy^\prime = ay, avec aRa \in \mathbb R, sont des fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=keaxy(x) = k {\text{e}}^{ax}, avec kRk \in \mathbb R.

Soit aa un nombre réel.

  • Résolvons l’équation différentielle y=ayy^\prime = ay.
  • Supposons qu’il existe une fonction ff solution de cette équation différentielle, telle que ff ne s’annule pas sur R\mathbb{R}.
  • Pour tout xx réel :

f(x)=af(x)f(x)f(x)=a\begin{aligned} f^\prime(x) &= af(x)\ \dfrac{f^\prime(x)}{f(x)} &= a \end{aligned}

  • On détermine la primitive de chaque fonction :
  • ff\dfrac{f^\prime}{f} est de la forme uu\dfrac{u^\prime}{u}, on reconnaît ici une formule du second tableau et on en déduit qu’une primitive de ff est ln(f)\ln{(f)}.
  • aa est un nombre réel, on reconnait ici une formule du premier tableau et on déduit qu’une primitive est xaxx\mapsto ax. avec bRb \in \mathbb R.
  • On a donc :

f(x)f(x)=aln(f(x))=ax+b[avec bR, deux primitives diffeˊrant d’une constante]f(x)=eax+bf(x)=ebeaxf(x)=keax [avec k=eb>0]f(x)=keax [car keax>0, pour tout x reˊel]\begin{aligned} \dfrac{f^\prime(x)}{f(x)} = a &\Leftrightarrow \ln{(\vert f(x) \vert)} = ax + b \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[avec $b\in \mathbb R$, deux primitives différant d’une constante]}}} \ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = {\text{e}}^{ax+b}\ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = {\text{e}}^b {\text{e}}^{ax}\ &\Leftrightarrow \vert f(x) \vert = k{\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec }k=\text{e}^b >0]}} \ &\Leftrightarrow f(x) = k {\text{e}}^{ax}\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car $k \text{e}^{ax}>0$, pour tout xx réel]}}} \end{aligned}

  • Montrons maintenant que les fonctions ff définies sur R\mathbb{R} par f(x)=keaxf(x) = k{\text{e}}^{ax}, avec kRk \in \mathbb R, sont solutions de l’équation différentielle y=ayy^\prime= ay.
  • Soit $x$ un nombre réel, on a :

f(x)af(x)=kaeaxkaeax[car (eu)=ueu et, en prenantu(x)=ax , on a u(x)=a]=0\begin{aligned} f^\prime(x) - af(x) &= ka{\text{e}}^{ax} - ka{\text{e}}^{ax}\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{[car (e}^u)^\prime=u^\prime e^u\ \text{et, en prenant}}}\ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{u(x)=ax\ \text{, on a}\ u^\prime(x)=a]}}\ &= 0 \end{aligned}

  • L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y=ayy^\prime = ay est l’ensemble des fonctions ff définies par f(x)=keaxf(x) = k{\text{e}}^{ax}, avec kRk \in \mathbb R.
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Exemple

Les solutions de l’équation différentielle y=3yy^\prime = 3y sont les fonctions définies et dérivables sur R\mathbb{R} par : y(x)=ke3xy(x) = k {\text{e}}^{3x}, avec kRk \in \mathbb R.

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Exemple

Trouvons la solution de l’équation différentielle y=5yy^\prime = - 5y qui vérifie y(0)=2y(0) = 2.

  • Les solutions de l’équation y=5yy^\prime = - 5y sont les fonctions définies et dérivables sur R\mathbb{R} par : y(x)=ke5xy(x) = k {\text{e}}^{-5x}, avec kRk \in \mathbb R.
  • Déterminons la valeur de kk avec la condition initiale : y(0)=2ke0=2k=2\begin{aligned} y(0) = 2 &\Leftrightarrow k {\text{e}}^0=2\ &\Leftrightarrow k=2 \end{aligned}
  • L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie et dérivable sur R\mathbb{R} par y(x)=2e5xy(x) = 2 {\text{e}}^{-5x} .

Représentation graphique de la fonction yy :

Alt mathématiques terminale spécialité primitives équations différentielles

Remarque :
Si on change la valeur kk dans l’expression de la fonction par son opposé k-k, nous obtenons une courbe symétrique à la première courbe par rapport à l’axe des abscisses.

Équations différentielles du premier ordre du type y=ay+by^\prime = ay + b (aa et bb réels)

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Définition

Équation différentielle du premier ordre du type y=ay+by^\prime = ay + b (aa et bb réels) :

Une équation différentielle du premier ordre de ce type est une équation, d’inconnue une fonction yy dérivable, qui s’écrit sous la forme : y=ay+by^\prime = ay + b, avec aa et bb deux réels non nuls.

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Théorème

Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=keaxbay(x) = k {\text{e}}^{ax} - \dfrac{b}{a}, avec kRk \in \mathbb R.

Remarque :
À l’aide d’une condition initiale sur la fonction yy, nous pouvons déterminer la valeur de kk et la fonction yy solution sera unique.

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Exemple

Les solutions de l’équation différentielle y=3y+4y^\prime = 3y+4 sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=ke3x43y(x) = k {\text{e}}^{3x} - \dfrac{4}{3}, avec kk un nombre réel.

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Exemple

Trouvons la solution de l’équation différentielle y=6y+3y^\prime= - 6y + 3 qui vérifie y(0)=1y(0) = 1.

  • Les solutions de l’équation y=6y+3y^\prime= - 6y + 3 sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par y(x)=ke6x+36=ke6x+12y(x) = k {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{3}{6} = k {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{1}{2}, avec kk un nombre réel.
  • Déterminons la valeur de kk avec la condition initiale :

y(0)=1ke0+12=1k+12=1k=112k=12\begin{aligned} y(0) = 1 &\Leftrightarrow k {\text{e}}^0 + \dfrac{1}{2}=1\ &\Leftrightarrow k + \dfrac{1}{2} = 1\ &\Leftrightarrow k=1 - \dfrac{1}{2}\ &\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{2} \end{aligned}

  • L’unique solution de l’équation qui vérifie la condition initiale est donc la fonction définie sur R\mathbb{R} par y(x)=12e6x+12=12(e6x+1)y(x) = \dfrac{1}{2} {\text{e}}^{-6x} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} ({\text{e}}^{-6x} + 1).

Équations différentielles du premier ordre du type y=ay+fy^\prime = ay + f (aa réel, ff une fonction)

Méthode :

  • Il s’agit de résoudre une équation différentielle (E)(E) de la forme y=ay+fy^\prime = ay + f, avec aa un réel non nul et ff une fonction donnée.
  • Supposons que nous connaissons ou que nous avons trouvé une solution particulière y0y_0 à cette équation différentielle.
  • y0=ay0+fy0^{\prime} = ay0^{\prime} +f

y solution de (E)y=ay+fyy0=ay+f(ay0+f) [car y0=ay0+f](yy0)=a(yy0)yy0 est solution de l’eˊquation diffeˊrentielle Y=aYyy0=keax [avec kR]y=y0+keax\begin{aligned} y\ \text{solution de } (E) &\Leftrightarrow y^\prime = ay + f \ &\Leftrightarrow y^\prime -y0^\prime = ay+f-(ay0+f) \ &\footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [car }y0 ^\prime = ay0 + f]}} \ &\Leftrightarrow (y - y0)^\prime = a(y - y0)\ &\Leftrightarrow y - y0\ \text{est solution de l’équation différentielle}\ Y^\prime = aY \ &\Leftrightarrow y - y0 = k {\text{e}}^{ax} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec }k\in\mathbb R]}}\ &\Leftrightarrow \boxed{y = y_0 + k {\text{e}}^{ax}} \end{aligned}

  • Les solutions de l’équation différentielle y=ay+fy^\prime = ay + f sont donc de la forme suivante : la somme d’une solution particulière de cette équation et de toutes les solutions de l’équation différentielle Y=aYY^\prime = aY.
  • La deuxième équation différentielle est la première équation différentielle sans la fonction ff, elle est donc plus simple à résoudre.
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Exemple

On souhaite résoudre sur R\mathbb{R} l’équation différentielle (E)(E) :

y(x)=2y(x)+2(e2x1)y^\prime(x) = 2y(x) + 2({\text{e}}^{2x} -1)

Montrons d’abord que la fonction hh définie sur R\mathbb{R} par h(x)=2xe2x+1h(x) = 2x {\text{e}}^{2x} + 1 est solution de l’équation différentielle (E)(E).

  • La fonction hh est dérivable sur R\mathbb{R} en tant que produit et somme de fonctions dérivables sur cet ensemble.
  • Calculons sa dérivée.

Pour tout xRx\in \mathbb R :

h(x)=2e2x+4xe2x=(4x+2)e2x\begin{aligned} h^\prime(x) &= 2{\text{e}}^{2x} + 4x {\text{e}}^{2x}\ &= (4x + 2){\text{e}}^{2x} \end{aligned}

  • Calculons 2h(x)+2(e2x1)2h(x) + 2({\text{e}}^{2x} -1).

2h(x)+2(e2x1)=4xe2x+2+2ex2=(4x+2)e2x=h(x)\begin{aligned} 2h(x) + 2({\text{e}}^{2x} -1) &= 4x \text{e}^{2x} + 2 + 2 e^x - 2 \ &=(4x+2)e^{2x} \ &=h^{\prime} (x) \end{aligned}

  • La fonction hh est donc bien solution de l’équation différentielle (E) (E).
  • Comme nous l’avons vu précédemment, si nous connaissons une solution particulière de l’équation différentielle (E)(E), il faut ensuite déterminer l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y=2yy^\prime = 2y.
  • Par théorème, ces solutions sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par : y(x)=ke2xy(x) = k{\text{e}}^{2x}, avec kk un nombre réel.
  • Finalement, l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E)(E) sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :

h(x)+y(x)=2xe2x+1+ke2x [avec kR]=(2x+k)e2x+1\begin{aligned} h(x) + y(x) &= 2x {\text{e}}^{2x} + 1 + k{\text{e}}^{2x} \footnotesize{\textcolor{#A9A9A9}{\text{ [avec }k\in\mathbb R ]}}\ &= \boxed{(2x + k){\text{e}}^{2x} + 1} \end{aligned}

Conclusion :

Dans ce cours, nous avons défini la notion de primitives d’une fonction ff continue sur un intervalle II.
Dans la pratique, nous déterminerons les primitives d’une fonction à l’aide des tableaux de primitives.
Nous avons ensuite appris à résoudre des équations différentielles du premier ordre.

Dans le prochain cours, nous verrons les primitives s’avèrent utiles pour calculer des aires.