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Primitives et équations différentielles
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Pour retrouver le cours correspondant de l’option « Mathématiques complémentaires » :
Introduction :
Soit une fonction continue sur un intervalle . Nous pouvons être amenés à résoudre une équation de la forme : , où l’inconnue est la fonction .
C’est-à-dire de déterminer une fonction dérivable sur dont la dérivée est connue. Ces équations sont appelées « équations différentielles ».
Pour cela, dans un premier temps, ce cours de la spécialité « Mathématiques » introduira la notion de primitives d’une fonction sur un intervalle, puis donnera des méthodes permettant de les calculer. Comme nous le verrons dans le cours suivant sur le calcul intégral, une primitive sert aussi à calculer des intégrales qui, concrètement, représentent des aires.
Dans un second temps, nous verrons comment résoudre des équations différentielles du premier ordre.
Notion de primitive
En première, nous avons découvert la notion de dérivée d’une fonction, que nous avons complétée en terminale.
Ici, pour résoudre une équation différentielle du type , il nous faut en quelque sorte faire le chemin inverse, c’est-à-dire trouver une fonction dont la dérivée est , que nous connaissons.
Définitions et vocabulaire
Primitive :
Soit une fonction continue sur l’intervalle .
On appelle primitive d’une fonction sur une fonction dérivable sur dont la dérivée est égale à .
Prenons un premier exemple simple, avec la fonction carrée.
La fonction est dérivable sur et sa dérivée est la fonction .
Donnons maintenant les premières propriétés.
Une seule de ces primitives prend une valeur donnée en un de donné.
Démontrons que deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.
Pour une fonction définie et continue sur un intervalle , soit et deux primitives de la fonction sur .
Pour tout , et .
Pour tout :
On a vu précédemment que la fonction est une primitive de la fonction .
Alors, toutes les fonctions de la forme , où est une constante réelle, sont des primitives de la fonction .
Intéressons-nous à la fonction que nous avons découverte cette année : le logarithme népérien.
Par définition, la fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction qui s’annule en .
Vérifier qu’une fonction est une primitive d’une fonction
Avant de calculer des primitives, nous allons d’abord apprendre à vérifier qu’une fonction est une primitive d’une autre fonction sur un intervalle donné.
La fonction définie par est-elle une primitive de la fonction définie sur par ?
On reconnaît la forme , dont la dérivée est , et la forme , dont la dérivée est , avec définie par , qui est bien une fonction dérivable sur .
Calculs de primitives
Dans cette partie, nous allons voir qu’il existe un formulaire pour déterminer des primitives d’une fonction.
Primitives de fonctions usuelles
Fonction | Une primitive | Ensemble de définition |
</span |
si
si </span |
|
e | e | |
Donnons aussi les propriétés de linéarité des primitives.
Soit et deux fonctions continues sur un intervalle .
Soit maintenant et deux primitives de et respectivement.
Soit enfin un réel .
Nous avons alors :
Nous allons maintenant donner quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.
Primitives plus complexes
Étudions maintenant le calcul de primitives de fonctions composées.
Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle .
Fonction | Une primitive |
|
|
Là aussi, donnons quelques exemples de calcul d’une primitive pour les fonctions définies de la manière suivante.
Équations différentielles du premier ordre
Maintenant que nous avons défini la notion de primitives, résolvons des équations différentielles dites du premier ordre.
Équations différentielles du premier ordre sans second membre
Équation différentielle du premier ordre sans second membre :
Une équation différentielle du premier ordre sans second membre est une équation d’inconnue une fonction
Les solutions de cette équation sont les fonctions définies sur
Démontrons que les solutions de l’équation
Soit
Soit
Prenons un premier exemple simple.
Les solutions de l’équation différentielle
À l’aide d’une condition initiale sur la fonction
Nous allons cette fois prendre un exemple où une condition initiale est donnée.
Trouvons la solution de l’équation différentielle
Si on change la valeur
Équations différentielles du premier ordre avec second membre constant
Équation différentielle du premier ordre avec second membre constant :
Une équation différentielle du premier ordre avec second membre constant est une équation, d’inconnue une fonction
Soit l’équation différentielle
Étudions d’abord la fonction constante
\begin{aligned} \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’une part :\ }}g^{\prime}(x)&=0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{d’autre part\ :\ }} ag(x)+b&=a\times (-\dfrac ba)+b \ &=-b+b \ &=0 \ \ \textcolor{#A9A9A9}{\text{donc\ :\ }}g^{\prime}(x)&=ag(x)+b \end{aligned}
Et nous avons la propriété suivante.
Les solutions de l’équation différentielle
À partir des solutions que nous avons données, dans la partie précédente, pour les équations différentielles du premier ordre sans second membre, nous pouvons déduire la propriété suivante.
Les solutions de l’équation différentielle
Les solutions de l’équation différentielle
À l’aide d’une condition initiale sur la fonction
Trouvons la solution de l’équation différentielle
Équations différentielles du premier ordre du type
Méthode :
On souhaite résoudre sur
Montrons d’abord que la fonction
Pour tout
Conclusion :
Dans ce cours, nous avons défini la notion de primitives d’une fonction
Dans la pratique, nous déterminerons les primitives d’une fonction à l’aide des tableaux de primitives.
Nous avons ensuite appris à résoudre des équations différentielles du premier ordre.
Dans le prochain cours, nous verrons les primitives s’avèrent utiles pour calculer des aires.